一次函數

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命題點1一次函數的圖象與性質

1.（2020?浙江嘉興）一次函數y=2x—1的圖象大致是（）

2.（2020?湖南益陽）一次函數y=kx+b的圖象如圖所示，則下列結論正確的

是（）

A.k<0

B.b=-l

C.y隨x的增大而減小

D.當x>2時，kx+b<0

3.（2019?山東臨沂）下列關于一次函數y=kx+b（k<0,b>0）的說法，錯誤的是

（）

A.圖象經過第一、二、四象限

B.y隨x的增大而減小

C.圖象與y軸交于點（0,b）

D.當x>—%寸，y>0

4.（2020?上海）已知正比例函數y=kx（k是常數，kWO）的圖象經過第二、四

象限，那么y的值隨著x的增大而（填“增大”或“減小”）.

5.（2020?山東東營）已知一次函數y=kx+b（k關0）的圖象經過A（L-1）,B（-

1,3）兩點，則k_____0（填“〉”或“V”）.

命題點2一次函數表達式的確定

6.（2019?山東棗莊）如圖，一直線與兩坐標軸的正半軸分別交于A,B兩點，P

是線段AB上任意一點（不包括端點），過點P分別作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸

圍成的矩形的周長為8,則該直線的函數表達式是（）

A.y=—x+4B.y=x+4

C.y=x+8D.y=-x+8

7.（2020?貴州黔西南州）如圖，正比例函數的圖象與一次函數y=-x+l的圖

象相交于點P,點P到x軸的距離是2,則這個正比例函數的表達式是.

8.（2020?江蘇南通）如圖，直線L：y=x+3與過點A（3,0）的直線b交于點

C（l,m）,與x軸交于點B.

（1）求直線12的表達式；

（2）點M在直線L上，MN〃y軸，交直線k于點N,若MN=AB,求點M的坐標.

9.(2019?江西)如圖，在平面直角坐標系中，點A,B的坐標分別為(一個,0),

,1),連接AB,以AB為邊向上作等邊三角形ABC.

(1)求點C的坐標;

⑵求線段BC所在直線的表達式.

10.(2020?江蘇南京)將一次函數y=-2x+4的圖象繞原點0逆時針旋轉90°,

所得到的圖象對應的函數表達式是.

11.(2020?北京)在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b(kWO)的圖象

由函數y=x的圖象平移得到，且經過點(1,2).

(1)求這個一次函數的表達式；

(2)當x>l時，對于x的每一個值，函數y=mx(mW0)的值都大于一次函數y=

kx+b的值，直接寫出m的取值范圍.

能力點1一次函數與方程（組）、不等式的關系

12.(2018?遼寧遼陽)如圖，直線y=ax+b(aW0)過點A(0,4),B(—3,0),

則方程ax+b=0的解是（)

A.x=-3B.x=4

43

C.x=一§D.x=W

13.（2020?貴州遵義）如圖，直線y=kx+b（k,b是常數，kWO）與直線y=2

交于點A（4,2）,則關于x的不等式kx+b<2的解集為

14.(2019?貴州貴陽)在平面直角坐標系內，一次函數丫=或+匕與y=k2x+b2

y—kix=bi,

的圖象如圖所示，則關于x,y的方程組,?的解是____________.

Ly—k2X=b2

能力點2一次函數的實際應用

15.(2019?廣東深圳)有A,B兩個發電廠，每焚燒一噸垃圾，A發電廠比B發

電廠多發40度電，A焚燒20噸垃圾比B焚燒30噸垃圾少發1800度電.

(1)求焚燒1噸垃圾A和B發電廠各發電多少度；

(2)A,B兩個發電廠共焚燒90噸的垃圾，A焚燒的垃圾不多于B焚燒的垃圾的

兩倍，求A發電廠和B發電廠總發電量的最大值.

16.(2019?吉林)甲、乙兩車分別從A,B兩地同時出發，沿同一條公路相向行

駛，相遇后，甲車繼續以原速行駛到B地，乙車立即以原速原路返回到B地，

甲、乙兩車距B地的路程y(km)與各自行駛的時間x(h)之間的關系如圖所示.

(l)m=，n=；

(2)求乙車距B地的路程y關于x的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍;

(3)當甲車到達B地時一，求乙車距B地的路程.

17.(2020?浙江衢州)2020年5月16日，“錢塘江詩路”航道全線開通.一艘

游輪從杭州出發前往衢州，線路如圖①所示.當游輪到達建德境內的“七里揚

帆”景點時，一艘貨輪沿著同樣的線路從杭州出發前往衢州.已知游輪的速度

為20km/h,游輪行駛的時間記為t(h),兩艘輪船距離杭州的路程s(km)關于

t(h)的圖象如圖②所示(游輪在停靠前后的行駛速度不變).

(1)寫出圖②中點C的橫坐標的實際意義，并求出游輪在“七里揚帆”停靠的時

長.

⑵若貨輪比游輪早36分鐘到達衢州.問：

①貨輪出發后幾小時追上游輪？

②游輪與貨輪何時相距12km?

圖①圖②

18.（2020?湖北荊州）為了抗擊新型冠狀病毒肺炎疫情，我市甲、乙兩廠積極

生產了某種防疫物資共500噸，乙廠的生產量是甲廠的2倍少100噸.這批防

疫物資將運往A地240噸，B地260噸，運費如下表（單位：元/噸）：

目的地

生嬴AB

甲2025

乙1524

（1）求甲、乙兩廠各生產了這批防疫物資多少噸；

⑵設這批物資從乙廠運往A地x噸，全部運往A,B兩地的總運費為y元，求y

與x之間的函數關系式，并設計使總運費最少的調運方案；

⑶當每噸的運費均降低m元（0VmW15且m為整數）時，按（2）中設計的調運方

案運輸，總運費不超過5200元.求m的最小值.

19.（2020?浙江紹興）我國傳統的計重工具一一秤的應用，方便了人們的生

活.如圖①，可以用秤坨到秤紐的水平距離來得出秤鉤上所掛物體的重量.稱

重時，若秤桿上秤泥到秤紐的水平距離為x（厘米）時，秤鉤所掛物重為丫（斤）,

則y是x的一次函數.下表中為若干次稱重時所記錄的一些數據：

X/厘米12471112

y/斤0.751.001.502.753.253.50

（1）在上表x,y的數據中發現有一對數據記錄錯誤，在圖②中通過描點的方法

觀察判斷哪一對是錯誤的；

⑵根據⑴的發現，問秤桿上秤坨到秤紐的水平距離為16厘米時，秤鉤所掛物

重是多少？

圖②

20.（2017?江西）如圖所示的是一種斜挎包，其挎帶由雙層部分、單層部分和

調節扣構成.小敏用后發現，通過調節扣加長或縮短單層部分的長度，可以使

挎帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調節扣所占的長度忽略不計）

加長或縮短.設單層部分的長度為xcm,雙層部分的長度為ycm,經測量，得

到如下數據：

單層部分的長度x/cm???46810???150

??????

雙層部分的長度y/cm737271——

(1)根據表中數據的規律，完成以上表格，并直接寫出y關于x的函數表達式;

(2)根據小敏的身高和習慣，挎帶的長度為120cm時-，背起來正合適，請求出

此時單層部分的長度；

⑶設挎帶的長度為1cm,求1的取值范圍.

參考答案

1.B2,B3,D

4.減小5.<6.A7.y=—2x

8.解：(1)把x=l代入y=x+3中，得y=4,

ACd,4).

設直線b的表達式為y=kx+b,將A,C兩點的坐標分別代入,

k+b=4,k=—2

得解得

3k+b=0,b=6,

直線b的表達式為y=-2x+6.

(2)在y=x+3中，令y=0,解得x=—3,0).

設M(a,a+3),由MN〃y軸，得N(a,-2a+6),

.\MN=|a+3-(-2a+6)|=AB=3—(-3)=6,

解得a=3或a=—1,

AM(3,6)或(一1,2).

9.解：（1）如圖，過點B作BDJ_x軸于點D,

,點A的坐標為（一坐，0）,點B的坐標為（乎，1）,

:.AD=/,BD=1,工由勾股定理得AB=NAD2+BD2=N(小)2+、=2,

..BD1

??sinz^BAD?—.D.\ZBAD=30°.

AD/

又???△ABC是等邊三角形,

ZCAB=60°,AC=AB=2,

.,.ZCAD=90°,

.?.點C的坐標為（，2).

2

（2）設線段BC所在直線的表達式為y=kx+b,將點B（平，1）,

C（一乎,2）分別代入,得

隹k+b=l,k=-*，

[-日k+b=2,[b=],

線段BC所在直線的表達式為y=—半x+|.

O乙

10.y=；x+2

11.解：（1）..,一次函數y=kx+b（kW0）的圖象由y=x的圖象平移得到，

，k=l.將點（1,2）代入y=x+b,可得2=l+b,解得b=l,

這個一次函數的表達式為y=x+l.

⑵當x>l時，對于x的每一個值，函數y=mx（mW0）的值都大于一次函數y=x

+1的值，即其圖象在一次函數y=x+l圖象的上方，由下圖可知.

臨界值為當x=l時，兩條直線都過點（1,2）,

.,.當x>l,m22時,y=mx（mW0）的值都大于y=x+l的值,

...m的取值范圍為口22.

x=2

12.A13.x<414.，

1y=i

15.解：(1)設焚燒1噸垃圾A發電廠發電a度，B發電廠發電b度,

a—b=40,a=300,

根據題意，得<解得，

30b-20a=l800,b=260.

答:焚燒1噸垃圾A發電廠發電300度，B發電廠發電260度.

(2)設A發電廠焚燒x噸垃圾，則B發電廠焚燒(90—x)噸垃圾.設兩廠的總發

電量為y度，則

y=300x+260(90-x)=40x+23400,

[OWx,

<0^90-x,

、xW2(90—x)，

.?.0Wx<60.

隨x的增大而增大，

.?.當x=60時，y有最大值，且最大值為40X60+23400=25800.

答：A發電廠和B發電廠總發電量的最大值是25800度.

16.解：(1)4120

⑵當0<x<2時，設乙車距離B地的路程y關于x的函數表達式為y=kx,

?.?圖象過點(2,120),.,.2k=120,

解得k=60,

此時y關于x的函數表達式為y=60x(0<xW2)；

當2Vx<4時，設乙車距離B地的路程y關于x的函數表達式為y=k.x+b,

\?圖象過(2,120),(4,0)兩點,

2k)+b=120,fk,=-60,

i解得

4L+b=0,〔b=240,

...此時y關于x的函數表達式為y=-60x+240(2VxW4).

綜上所述，乙車距B地的路程y關于x的函數表達式為y=

’60x(0WxW2),

<

-60x+240(2<xW4).

(3)當x=3.5時,y=-60X3.5+240=30.

，當甲車到達B地時，乙車距B地的路程為30km.

17.解：(1)點C橫坐標的實際意義是游輪從杭州出發前往衢州共用了23h,

游輪在“七里揚帆”停靠的時長=23—(420+20)=23-21=2(h).

(2)①280+20=14(h),14+2=16?,

??.點A(14,280),點B(16,280),點D(14,0).

V364-60=0.6(h),23-0.6=22.4(h),

.?.點E(22.4,420).

設直線BC的表達式為s=kt+b,把B(16,280),C(23,420)兩點的坐標分別

280=16k+b,k=20,

代入，得，解得

420=23k+b,b=—40,

線段BC的表達式為s=20t—40(16WtW23).

同理由D(14,0),E(22.4,420)兩點可得線段DE的表達式為s=50t-

700(14WtW22.4),

由題意，得20t—40=50t—700,

解得t=22.

V22-14=8(h),

貨輪出發后8h追上游輪.

②當相遇之前相距12km時,20t-40-(50t-700)=12,

解得t=2L6；

當相遇之后相距12當時,50t-700-(20t-40)=12,

解得t=22.4,

???游輪行駛21.6h或22.4h時游輪與貨輪相距12km.

a+b=500,

18.解：(1)設這批防疫物資甲廠生產了a噸，乙廠生產了b噸，則

2a-b=100,

a=200,

解得

b=300.

這批防疫物資甲廠生產了200噸，乙廠生產了300噸.

(2)由題意，得y=20(240-x)+25[260-(300-x)]+15x+24(300-x)=-4x

+11000,

〃x20,

240-x^0,

由題意，得〈occm解得40WxW240,

300—x^O,

.260-(300-x)20,

,.,一4<0,「.y隨x的增大而減小，

.,.當x=240時，y有最小值，

使總運費最少的調運方案為甲廠的200噸物資全部運往B地，乙廠運往A地

240噸,運往B地60噸.

(