空間向量與立體幾何--2025屆高中數學一輪復習專題訓練

一、選擇題1．在空間四邊形PABC中,()A. B. C. D.2．已知為平面內一點,若平面的法向量為,則點到平面的距離為()A.2 B. C. D.13．直線的方向向量,直線的方向向量,則不重合直線與的位置關系是()A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能確定4．已知向量為平面法向量,點在內,則點到平面的距離為()A. B. C. D.5．已知空間向量,,且,則向量與的夾角為()A. B. C. D.6．在正方體中,直線與平面所成的角為().A. B. C. D.7．已如向量,,且與互相垂直,則().A. B. C. D.8．在空間四邊形OABC中,,,,點M在OB上,且,N為AC的中點,則()A. B. C. D.9．向量,，若，則x的值為()A. B.1 C. D.310．已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于a，點E、F分別是、的中點，則的值為()A. B. C. D.二、填空題11．設向量,,若,則________.12．已知直線過點,且為其一個方向向量,則點到直線l的距離為________.13．四棱錐中,底面ABCD,底面ABCD是正方形,且,,F是的重心,則PG與平面PAD所成角的正弦值為________.14．已知空間向量,,則在上的投影向量的坐標是________.三、解答題15．如圖甲,中國是風箏的故鄉,南方稱“鷂”,北方稱“鳶”.某種風箏的骨架模型是是四棱錐,其中,,AC交BD于點O,如圖乙.（1）求證:平面PBD;（2）若,,點Q是線段PC的中點,求直線BQ與平面PAD所成角的正弦值.

參考答案1．答案：B解析：.故選:B.2．答案：B解析：,面的法向量為,則點到平面的距離為.故選:B.3．答案：B解析：因為,所以,所以直線與平行.故選:B4．答案：B解析：因為,所以,因為平面的法向量,所以點P到平面的距離.故選:B5．答案：A解析：,解得,則,,,設向量與的夾角為,則,,,即與的夾角為.故選:A.6．答案：B解析：如圖所示,建立空間直角坐標系,設正方體棱長為1,則,,,,所以,,,設平面的一個法向量為,直線與平面所成的角為,則,令,,即,所以,所以.故選:B7．答案：B解析：,,則,與互相垂直,則,.故選:B.8．答案：A解析：.故選:A9．答案：D解析：由，可得，解得，故選：D.10．答案：C解析：由題意，,和,之間夾角均為，結合平面向量線性運算有故選：C11．答案：4解析：因為,所以,即,解得.故答案為:412．答案：解析：因為點,點,所以,所以點到直線l的距離為:,故答案為:13．答案：解析：因為底面ABCD,底面ABCD是正方形,所以DA,DC,DP兩兩垂直,以D為坐標原點,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示空間直角坐標系,則,,,,,則重心,因而,,,設平面PAD的一個法向量為,則,令則,則,故答案為:.14．答案：解析：,,,故在上的投影向量的坐標.故答案為:15．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明:因為,,,所以,有,又,,所以.所以,,所以.同理,,有又因為,平面PBD,平面PBD,所以平面PBD.（2）由（1）可知,因為,,,所以,所以,從而由等面積法,可知,由勾股定理,可知因為,所以,所以.又因為,,OB,平面ABCD,所以平面ABCD.以O為原點,OB,OC,OP所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,由（1）可知,所以,所以,因為,,,,因為點Q為線段PC的中點,所以