3/6第7講與三角形相關(guān)的范圍問題一．方法綜述與三角形相關(guān)的范圍問題同樣是高考命題的熱點(diǎn)問題之一，要充分利用解三角形知識(shí)，正余弦定理的邊角轉(zhuǎn)化策略以及結(jié)合基本不等式、函數(shù)、方程與不等式思想，運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想求解．二．解題策略類型一轉(zhuǎn)化為函數(shù)（三角函數(shù)或二次函數(shù)）解決【例1】在平面四邊形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，則四邊形ABCD面積的最大值為（）A． B． C． D．【來源】江蘇省蘇州市八校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【例2】（2020·廣東高考模擬）如圖所示，在平面四邊形中，，，是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則面積的最大值為________．【例3】．（2020·湖北黃岡中學(xué)高考模擬）已知中，所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則面積的最大值為______.【舉一反三】1．（2020·安徽高考模擬）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且A是B和C的等差中項(xiàng)，，，則周長的取值范圍是A． B．C． D．2．若是垂心，且，則（）A． B． C． D．【來源】2020屆浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題3．（2020·山東高考模擬）在圓內(nèi)接四邊形中,,,則的面積的最大值為__________．類型二結(jié)合不等式（基本不等式）求解問題【例1】已知?分別為橢圓：的左?右頂點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，與直線交于，兩點(diǎn)，與的外接圓的周長分別為，，則的最小值為（）A． B． C． D．【例2】（2020·江西高考模擬）在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值是_______．【例3】（2020湘贛十四校聯(lián)考）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且恒成立，則的取值范圍是【舉一反三】1．在中，已知，，的面積為6，若為線段上的點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），且，則的最小值為（）.A．9 B． C． D．【來源】福建省仙游第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題2．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，，，點(diǎn)D在邊上，且，則線段長度的最小值為（）A． B． C．3 D．23．（2020·河南高考模擬）在中，角，，的對(duì)邊分別為，設(shè)的面積為，若，則的最大值為_____．三．強(qiáng)化訓(xùn)練1.（2020安徽省蕪湖市高三）銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，則周長的最大值為（）A．B．C．3D．42.（2020黑龍江省鶴崗市一模）中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足，，則面積的最大值是（）A．B．C．D．3．（2020·山東高考模擬）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（）A． B．C． D．4．設(shè)銳角的三個(gè)內(nèi)角..的對(duì)邊分別為..，且，，則周長的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)（文）全真模擬卷（新課標(biāo)Ⅱ卷）5．（2020·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)高考模擬）已知在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的最小值為（）A． B． C． D．6、（2020山西省高考模擬）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若的面積為，周長為6，則b的最小值是（）A．2 B． C．3 D．7、（2020陜西省漢中市質(zhì)檢）在中，角的對(duì)邊分別是，若角成等差數(shù)列，且直線平分圓的周長，則面積的最大值為（）A．B．C．2D．8.（2020湖南省湘潭市模擬）分別為銳角內(nèi)角的對(duì)邊，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．（2020·山東高考模擬）曲線的一條切線l與軸三條直線圍成的三角形記為，則外接圓面積的最小值為A． B． C． D．10．已知三棱錐中，平面，，，則三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的體積為（）A． B． C． D．11．銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，且，，若，變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．13．若面積為1的滿足，則邊的最小值為（）A．1 B． C． D．2【來源】福建省寧德市2020屆高三畢業(yè)班6月質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)試題14．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，若的面積為，則的周長的最小值為（）A．4 B． C．6 D．15．如圖，在平面四邊形中，，，，，則的最小值為（）A． B． C． D．16．已知的周長為9，若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（）A． B．1 C．2 D．【來源】2020屆湖南省衡陽市高三下學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)（理）試題17．（2020·甘肅西北師大附中高考模擬）在銳角中，，則的取值范圍是18．（2020·廣東高考模擬）在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為________．19．（2020·湖南高考模擬）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且恒成立，則的取值范圍是20．（2020·湖北高考模擬）已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，已知，，，若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則的取值范圍是21．（2020·河南高考模擬）在中，角所對(duì)的邊分別是，已知，且，則的取值范圍為22．（2020·江蘇高考模擬）在中，設(shè)角的對(duì)邊分別是若成等差數(shù)列，則的最小值為________.23．（2020·湖南高考模擬）在中，分別為角所對(duì)的邊，若，的面積為，則的最小值為__________．第7講與三角形相關(guān)的范圍問題第7講與三角形相關(guān)的范圍問題一．方法綜述與三角形相關(guān)的范圍問題同樣是高考命題的熱點(diǎn)問題之一，要充分利用解三角形知識(shí)，正余弦定理的邊角轉(zhuǎn)化策略以及結(jié)合基本不等式、函數(shù)、方程與不等式思想，運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想求解．二．解題策略類型一轉(zhuǎn)化為函數(shù)（三角函數(shù)或二次函數(shù)）解決【例1】在平面四邊形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，則四邊形ABCD面積的最大值為（）A． B． C． D．【來源】江蘇省蘇州市八校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】由余弦定理知：在中，有，在中，有，則，由四邊形的面積=三角形ABD的面積+三角形BCD的面積，故，在三角形中，易知，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，故，故選：A.【指點(diǎn)迷津】在處理解三角形問題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，從而求出范圍或最值，從而得最值.【例2】（2020·廣東高考模擬）如圖所示，在平面四邊形中，，，是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則面積的最大值為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，，則的面積，在中，運(yùn)用余弦定理，表示出，根據(jù)是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得到，代入面積公式，利用三角函數(shù)即可求面積的最大值．【詳解】在中，設(shè)，，在中，，，由余弦定理，可得，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即有，由于則，利用余弦定理可得：，化簡(jiǎn)得：，又因?yàn)槭且詾轫旤c(diǎn)的等腰直角三角形，則，在中，由正弦定理可得：，即：，則，由于，即所以的面積當(dāng)時(shí)，取最大值1，所以的面積的最大值為【例3】．（2020·湖北黃岡中學(xué)高考模擬）已知中，所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則面積的最大值為______.【答案】1【解析】【分析】先求出，再證明，再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求的最大值得解.【詳解】由題得，由基本不等式得又因?yàn)椋运?所以，所以，.此時(shí)，故答案為1【舉一反三】1．（2020·安徽高考模擬）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且A是B和C的等差中項(xiàng)，，，則周長的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【解析】∵是和的等差中項(xiàng)，∴，∴，又，則，從而，∴，∵，∴，所以的周長為，又，，，∴．故選B．2．若是垂心，且，則（）A． B． C． D．【來源】2020屆浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題【答案】D【解析】在中，，由，得，連接并延長交于，因?yàn)槭堑拇剐模裕酝艘缘茫驗(yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻糜郑杂校裕缘玫剑缘玫剑蔬x：D.3．（2020·山東高考模擬）在圓內(nèi)接四邊形中,,,則的面積的最大值為__________．【答案】【解析】分析：由,,可知為直角三角形，設(shè)設(shè)∠BAD=，則，，從而，求二次函數(shù)的最值即可.詳解：由,,可知為直角三角形，其中∠ACB=90°，設(shè)∠BAD=，AB=2r，則，，在中，，即，∴，∴令t=，則當(dāng)，即時(shí)，的最大值為類型二結(jié)合不等式（基本不等式）求解問題【例1】已知?分別為橢圓：的左?右頂點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，與直線交于，兩點(diǎn)，與的外接圓的周長分別為，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得、，設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則利用兩點(diǎn)連線的斜率公式可知，，設(shè)直線方程為：，則直線方程為：，根據(jù)對(duì)稱性設(shè)，令得，，即，，則設(shè)與的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得：，，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為故選：A【例2】（2020·江西高考模擬）在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式，可整理出；根據(jù)，結(jié)合兩角和差正切公式可得到；利用換元的方式可將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獾淖钚≈档膯栴}；根據(jù)銳角三角形特點(diǎn)可求出，從而利用基本不等式求解出最小值.【詳解】由正弦定理可得：得：，即又令，得：為銳角三角形得：，即當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)【例3】（2020湘贛十四校聯(lián)考）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且恒成立，則的取值范圍是【答案】【解析】又又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)設(shè)，即當(dāng)時(shí)，恒成立設(shè)則可知可得：【舉一反三】1．在中，已知，，的面積為6，若為線段上的點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），且，則的最小值為（）.A．9 B． C． D．【來源】福建省仙游第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】因?yàn)椋裕驗(yàn)榈拿娣e為，所以，所以，所以，，，由于，所以，所以，所以由余弦定理得：，即.所以，因?yàn)闉榫€段上的點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），所以，根據(jù)題意得所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：C.2．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，，，點(diǎn)D在邊上，且，則線段長度的最小值為（）A． B． C．3 D．2【答案】A【解析】由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴.由于，∴，兩邊平方，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，∴線段長度的最小值為.故選：A.3．（2020·河南高考模擬）在中，角，，的對(duì)邊分別為，設(shè)的面積為，若，則的最大值為_____．【答案】【解析】由題得由題得所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最大值為,故填點(diǎn)睛:本題的難在解題思路,第一個(gè)難點(diǎn)就是把中的分母化簡(jiǎn)成,第二個(gè)難點(diǎn)三．強(qiáng)化訓(xùn)練1.（2020安徽省蕪湖市高三）銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，則周長的最大值為（）A．B．C．3D．4【答案】C【解析】依題意，由正弦定理得，即，由于三角形為銳角三角形，故，由正弦定理得，故三角形的周長為，故當(dāng)，即三角式為等邊三角形時(shí)，取得最大值為，故選C.2.（2020黑龍江省鶴崗市一模）中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足，，則面積的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可知，由正弦定理得，又由在中，，即，即，因?yàn)椋裕谥校捎嘞叶ɡ砜芍遥矗?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，所以的最大面積為，故選A.3．（2020·山東高考模擬）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由銳角三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，,，，,由正弦定理得，即，則b的取值范圍為,故選C.4．設(shè)銳角的三個(gè)內(nèi)角..的對(duì)邊分別為..，且，，則周長的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)（文）全真模擬卷（新課標(biāo)Ⅱ卷）【答案】C【解析】∵為銳角三角形，且，∴，∴，，又∵，∴，又∵，，∴，由，即，∴，令，則，又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)值域?yàn)椋蔬x：C5．（2020·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)高考模擬）已知在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴.又，∴，∴.又∵在銳角中,,∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，故選A.6、（2020山西省高考模擬）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若的面積為，周長為6，則b的最小值是（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】因?yàn)榈拿娣e為，所以整理得，即，，因?yàn)椋杂忠驗(yàn)橹荛L為6，所以，即所以，，所以的最小值是2，故選A7、（2020陜西省漢中市質(zhì)檢）在中，角的對(duì)邊分別是，若角成等差數(shù)列，且直線平分圓的周長，則面積的最大值為（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】因?yàn)榻浅傻炔顢?shù)列,所以，又直線平分圓的周長，所以直線過圓心，即，三角形面積，根據(jù)均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可知面積的最大值為，故選D.8.（2020湖南省湘潭市模擬）分別為銳角內(nèi)角的對(duì)邊，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，函數(shù)為偶函數(shù)且有唯一零點(diǎn)，則，所以.由余弦定理，得，整理得，即，所以，由正弦定理，得，即，所以，所以，所以或（舍），故，結(jié)合銳角，，則，，所以，由，又因?yàn)椋裕吹娜≈捣秶牵蔬xD.9．（2020·山東高考模擬）曲線的一條切線l與軸三條直線圍成的三角形記為，則外接圓面積的最小值為A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線l與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和方程，聯(lián)立直線y＝x求得A的坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圓的半徑，進(jìn)而得到所求面積的最小值．【詳解】設(shè)直線l與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．則直線l方程為，即，可求直線l與y＝x的交點(diǎn)為A（），與y軸的交點(diǎn)為，在△OAB中，，當(dāng)且僅當(dāng)2＝2時(shí)取等號(hào)．由正弦定理可得△OAB得外接圓半徑為，則△OAB外接圓面積，故選：C．10．已知三棱錐中，平面，，，則三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：因?yàn)槠矫妫援?dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，此時(shí)三棱錐的體積最大.設(shè)，則，，所以.所以，當(dāng)，即時(shí)，最大.當(dāng)時(shí)，，則.將三棱錐放入直三棱柱中，，分別為上下底面外接圓圓心，設(shè)外接圓半徑為，則的中點(diǎn)為直三棱柱外接球球心，設(shè)外接球半徑為，如圖所示：根據(jù)正弦定理，解得，所以.故外接球體積.故選：D11．銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，且，，若，變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋裕傻茫海矗驗(yàn)闉殇J角三角形，則有，即，解得：.=，當(dāng)時(shí)，原式有最大值，此時(shí)，則，，，即，所以.故選：A.12．已知銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，由正弦定理得，所以，由于三角形是銳角三角形，所以.由.所以，由于，所以，所以.故選：C13．若面積為1的滿足，則邊的最小值為（）A．1 B． C． D．2【來源】福建省寧德市2020屆高三畢業(yè)班6月質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】的面積，且，，，根據(jù)余弦定理得：，即，可得，，則，解得：，即邊的最小值為.故選：C.14．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，若的面積為，則的周長的最小值為（）A．4 B． C．6 D．【答案】C【解析】解法一：因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫茫捎嘞叶ɡ碇驗(yàn)椋裕桑茫傻茫瑒t，所以，因?yàn)椋裕瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的周長為，易知是關(guān)于的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的周長最小，為；解法二：因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫茫捎嘞叶ɡ碇驗(yàn)椋裕⑷鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋钥稍O(shè)，則，即，所以的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的周長的最小值為6．故選：C15．如圖，在平面四邊形中，，，，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，在中，由正弦定理得，即整理得，由余弦定理得，因?yàn)椋裕谥校捎嘞叶ɡ淼茫援?dāng)時(shí)，．故選：C16．已知的周長為9，若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（）A． B．1 C．2 D．【來源】2020屆湖南省衡陽市高三下學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)（理）試題【答案】C【解析】法一：角靠攏，形助興，整理得：，，如圖有：由，可得，代入，整理可得：，．法二：，得：．法三：，，，得，由正弦定理，得，．，如圖可得：，，，．17．（2020·甘肅西北師大附中高考模擬）在銳角中，，則的取值范圍是【答案】【解析】在銳角中，，由正弦定理可得，===在銳角中有，，可求得結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得．18．（2020·廣東高考模擬）在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為________．【答案】9【解析】分析