第四章指數函數、對數函數與冪函數4.1指數與指數函數4.1.2指數函數的性質與圖象教學設計本課時主要學習指數函數的概念，通過圖像的研究歸納其性質。“指數函數”是函數中的一個重要基本初等函數，是后續知識一一對數函數（指數函數的反函數）的準備知識。通過這部分知識的學習進一步深化學生對函數概念的理解與認識，使學生得較系統函數知識并體會研究函數較為完整的思維方法，此外還可類比學習后面的其它函數。考點學習目標核心素養指數函數的概念理解指數函數的概念，了解對底數的限制條件的合理性數學抽象指數函數的性質與圖像掌握指數函數的性質和圖像直觀想象指數函數的定義域、值域會應用指數函數的性質求指數型函數的定義域、值域數學運算與指數函數有關的復合函數掌握指數函數與其他函數復合所得的函數單調區間的求法及單調性的判斷數學運算指數函數性質的應用能借助指數函數性質比較大小，會解簡單的指數方程、不等式數學運算【教學重點】1、通過具體實例，了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念。2、能用描點法或借助計算工具畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點。【教學難點】1、指數函數中底數的范圍分析，以及如何由圖像和解析式歸納指數函數的性質。預習教材P9－P13的內容，思考以下問題：1．指數函數的概念是什么？2．結合指數函數的圖像，可歸納出指數函數具有哪些性質？3．指數函數的圖像過哪個定點？如何求指數型函數的定義域和值域問題？考古學家經常利用碳14考古學家經常利用碳14的含量來推斷古生物死亡的大致時間。當有機體生存時，會持續不斷地吸收碳14，從而其體內的碳14含量會保持在一定的水平；但當有機體死亡后，就會停止吸收碳14，其體內的碳14含量就會逐漸減少，而且每經過大約5730年后會變為原來的一半。你能用函數表示有機體內的碳14含量與其死亡時間之間的關系嗎？一種死亡已經一萬年的有機體，其體內的碳14含量是其生存時的百分之多少？利用本小節我們要學習的指數函數知識，可以順利地解決情境中的問題。【嘗試與發現】假設有機體生存時碳假設有機體生存時碳14的含量為1，如果用y代表該有機體死亡x年后體內碳14的含量，則x=5730時，y=；x=11460時，.由此可知，y與x的關系可以表示y=上述嘗試與發現的函數關系中，自變量出現在指數在中.指數函數一般地，函數y＝ax稱為指數函數，其中a是常數，a>0且a≠1.（以下談到指數函數y＝ax時，均默認為a是常數，a>0且a≠1）下面來研究指數函數的性質與圖像.作為例子，我們首先分析指數函數y=2x的性質，并得出其對應的圖像.【嘗試與發現】分別求出指數函數分別求出指數函數y=2x在自變量取-2，-1，－eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，1,2時所對應的函數值（填寫下表），并由此猜測指數函數y=2x的定義域、值域、奇偶性、單調性，嘗試說明理由.x-2-1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)12y=2x根據指數運算的定義，可以得到指數函數y=2x的性質：（1）定義域是R；（2）值域是（0，+∞）；（3）奇偶性是非奇非偶函數；（4）單調性是增函數.根據以上性質可知，函數y=2x的圖像都在x軸上方，而且從左往右圖像是逐漸上升的.通過描點（如左下圖所示），可以作出y=2x的圖像，如右下圖所示.函數y=2x的單調性也可借助4.1.1中練習B第3題的結論來理解。下面來研究指數函數y=的性質與圖像.【嘗試與發現】給出研究指數函數y=給出研究指數函數y=的性質與圖像的方法，并用該方法得出這個函數的性質：（1）定義域是R；（2）值城是（0，+∞）；（3）奇偶性是非奇非偶函數；（4）單調性是減函數然后在右圖中作出y=的圖像。注意到，因此不難看出y=和y=2x是有聯系的：當這兩個函數的自變量取互為相反數的兩個值時，對應的函數值相等.也就是說，如果點（x0，y0）在y=的圖像上，那么這個點關于y軸的對稱點（-x0，y0）一定在y=2x的圖像上；反之，y=2x的圖像上任意一點（x0，y0），其關于y軸的對稱點（-x0，y0）也一定在y=的圖像上.因此，指數函數y=2x和的圖像關于y軸對稱，如下圖所示.【嘗試與發現】（1（1）你能指出指數函數y=2x和y=的圖像的公共點嗎？（2）你能得出指數函數y=ax一定過哪個定點嗎？函數y=2x和的圖像的公共點為（0，1）.事實上，因為a0=1（a≠0），所以y=ax的圖像一定過點（0，1）.由以上實例，可以歸納出指數函數y=ax（a>0且a≠1）具有下列性質：定義域是實數集R..（2）值域是（0，+oo），因此，對任何實數x，都有ax>0，也就是說函數圖像一定在x軸的上方.（3）函數圖像一定過點（0，1）.（4）當a>1時，y=ax是增函數；當0<a<1時，y=ax是減函數。【想一想】為什么要限定a>0且a為什么要限定a>0且a≠1？【典型例題】例1利用指數函數的性質，比較下列各題中兩個值的大小：（1）0.8-0.1與0.8-0.2（2）2.5a與2.5a+1.分析：每一組的兩個值都有共同特征，因此可以選取合適的函數，用函數的單調性來解決問題.解：（1）因為0.8-0.1與0.8-0.2都是以0.8為底的冪值，所以考察函數y=0.8x，由于這個函數在實數集R上是減函數，又因為-0.1>-0.2，所以0.8-0.1＜0.8-0.2（2）因為2.5a與2.5a+1都是以2.5為底的冪值，所以考察函數y=2.5x，由于這個函數在實數集R上是增函數，又因為a<a+1，所以2.5a＜2.5a+1例2已知實數a，b滿足，試判斷6a與6b的大小.解：因為函數在在實數集R上是減函數，所以由可知a＜b.又因為y=6x在實數集R上是增函數，所以6a＜6b二、用信息技術作指數函數的圖像在GeoGebra中，只要輸入指數函數的表達式，就可以得到對應的圖像，如下圖所示是用GeoGebra作出的圖像，你能從中得出什么規律嗎？用GeoGebra也能方便地算出死亡已經一萬年的有機體：其體內的碳14含量是其生存時的百分之多少，即根據這一節課的內容特點以及學生對指數冪的掌握情況，指數函數的圖像形成過程是學生缺乏感性認識的最重要的問題，