高中數(shù)學(xué)精編資源3/3《圓及其方程》教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)2圓的一般方程必備知識(shí)學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向圓的方程學(xué)習(xí)理解能力觀察記憶概括理解說(shuō)明論證應(yīng)用實(shí)踐能力分析計(jì)算推測(cè)解釋簡(jiǎn)單問(wèn)題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問(wèn)題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算【考查內(nèi)容】1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程2.掌握直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法,能利用直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題【考查題型】填空題,選擇題,解答題直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模圓與圓的位置關(guān)系數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模一、本節(jié)內(nèi)容分析圓是最常見(jiàn)、最簡(jiǎn)單、最重要的曲線(xiàn)之一,這節(jié)教材安排在學(xué)習(xí)了直線(xiàn)之后,學(xué)習(xí)三大圓錐曲線(xiàn)之前,旨在熟悉曲線(xiàn)和方程的理論為后續(xù)學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備.同時(shí)有關(guān)圓的問(wèn)題,特別是直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題,也是解析幾何中的基本問(wèn)題,這些問(wèn)題的解決為圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的解決提供了基本的思想方法.因此教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)練習(xí),使學(xué)生確實(shí)掌握這單元的知識(shí)和方法.在學(xué)習(xí)中使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想,形成用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)的基礎(chǔ),對(duì)于后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)具有相當(dāng)重要的意義.另外,本部分的學(xué)習(xí)是通過(guò)由特殊到一般逐步展開(kāi)的,可以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生觀察、歸納、類(lèi)比、概括等能力,發(fā)展有條理地思考及靈活處理問(wèn)題的能力.本節(jié)包含的核心知識(shí)和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識(shí)1.圓的方程2.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系3.圓與圓的位置關(guān)系直觀想象數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析圓是學(xué)生比較熟悉的曲線(xiàn),初中平面幾何對(duì)圓的基本性質(zhì)作了比較系統(tǒng)的研究,本節(jié)之前又學(xué)習(xí)了建立平面直角坐標(biāo)系求直線(xiàn)方程的方法,這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了必要的基礎(chǔ).高一時(shí),學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法也有了一定的體驗(yàn)和了解,具備了初步的觀察、類(lèi)比、歸納、概括、表達(dá)能力.通過(guò)五種直線(xiàn)方程的學(xué)習(xí),對(duì)坐標(biāo)系下建立方程進(jìn)行了反復(fù)訓(xùn)練,這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做了能力和方法上的準(zhǔn)備.當(dāng)然,由于學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程認(rèn)識(shí)還不深刻,在探究知識(shí)的形成與方程的運(yùn)用時(shí)可能會(huì)遇到一些困難,在教學(xué)中一定要關(guān)注學(xué)生反饋的信息,循序漸進(jìn)地開(kāi)展教學(xué).學(xué)情補(bǔ)充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動(dòng)準(zhǔn)備【任務(wù)專(zhuān)題設(shè)計(jì)】1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.圓的一般方程3.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系4.圓與圓的位置關(guān)系【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)】1.運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的方程.2.能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.3.在探索圓和圓的位置關(guān)系的過(guò)程中,學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.【教學(xué)策略設(shè)計(jì)】新課程下的教學(xué),力求知識(shí)的形成過(guò)程,為克服課堂時(shí)間不足,需要學(xué)生做好課前預(yù)習(xí),在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生已經(jīng)具備一定探究與研究問(wèn)題的能力.所以在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)應(yīng)考慮周全和靈活性,師生共同探討,共同研究,讓學(xué)生積極思考,主動(dòng)學(xué)習(xí).在教學(xué)過(guò)程中采用討論法,向?qū)W生提供具備啟發(fā)式和思考性的問(wèn)題.因此,要求學(xué)生在課上討論,提高學(xué)生的探索、推理、想象、分析和總結(jié)歸納等方面的能力,使學(xué)生在問(wèn)題的指引下、教師的指導(dǎo)下把探究活動(dòng)層層展開(kāi)、步步深入,力求體現(xiàn)以教師為主導(dǎo),以學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想【教學(xué)方法建議】情境教學(xué)法、問(wèn)題教學(xué)法,討論法,還有__________________________________________【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)1.能運(yùn)用配方法將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的代數(shù)判別法和幾何判別法3.探索圓和圓的位置關(guān)系中兩圓圓心距與兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系.難點(diǎn)1.會(huì)根據(jù)不同的已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程2.用待定系數(shù)法求圓的方程及對(duì)坐標(biāo)法思想的理解.3.用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題4.通過(guò)平移實(shí)驗(yàn)直觀地探究圓和圓的位置關(guān)系,發(fā)展識(shí)圖能力和動(dòng)手操作能力.【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)材料:圓規(guī)、多媒體課件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)教學(xué)導(dǎo)入師:自初中初步接觸圓的概念和研究圓的幾何性質(zhì)以來(lái),上節(jié)課我們又在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行了定義和學(xué)習(xí).師:請(qǐng)大家回憶圓心為C(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？生:(x?a)2+(y?b)2=r2.師:很好.如果圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),那么圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？生:x2+y2=r2.師:大家對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握得很好,下面我們看一個(gè)練習(xí).【鞏固練習(xí)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷下列方程是否表示圓,如果是,說(shuō)出圓心和半徑.(1)(x?1)2+(y?1)2=4;(2)(x+1)2+(y+2)2=m2;(3)x2+y2?2x?4y?4=0.【設(shè)情意巧激趣】以復(fù)習(xí)回顧的形式提出新問(wèn)題,引出新課程,指出本節(jié)課的主要內(nèi)容.采用質(zhì)疑提問(wèn)、小組討論的形式,提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.師:(1)是不是圓？生:是,圓心是(1,1),半徑是2.師:(2)是不是圓？生:當(dāng)m=0時(shí),不是;當(dāng)m≠0時(shí),是,圓心為(?1,?2),半徑為|m|的圓.師:(3)是不是圓呢？這是一個(gè)二元二次方程,但很顯然不是圓的標(biāo)準(zhǔn)形式,那么我們要判斷是不是圓就要看它有沒(méi)有圓心,有沒(méi)有半徑,能不能化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式？生:通過(guò)配方能化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.師:好,我們配方之后得到(x?1)2+(y?2)2=9,可以看到它所表示的是一個(gè)圓心為(1,2),半徑為3的圓.師:那么比較兩個(gè)方程,一個(gè)叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,另一個(gè)就是我們今天要學(xué)習(xí)的????圓的一般方程.教學(xué)精講探究1圓的一般方程師:在上例中我們也可以看出圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程之間的轉(zhuǎn)化把一般情況下的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi),看能得到什么樣的式子.【教師板書(shū),學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐】生:(x?a)2+(y?b)2=r2,x2+y2?2ax?2by+a2+b2?r2=0,令D=?2a,E=?2b,F=a2+b2?r2,上式就變成x2+y2+Dx+Ey+F=0.師:那能不能說(shuō)x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圓的一般方程呢？我們可以從直線(xiàn)方程上尋找啟發(fā),我們?cè)谥v直線(xiàn)方程的概念時(shí)說(shuō),直線(xiàn)方程必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件:(1)直線(xiàn)上所有的點(diǎn)的坐標(biāo)都必須滿(mǎn)足方程:(2)以方程的所有實(shí)數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)都必須在直線(xiàn)上.而我們考慮這個(gè)二元二次方程是不是圓的方程？注意到上面的圓的方程都可以化成這種二元二次方程的形式,那么這種形式所表示的圖形是否一定是圓呢？生:不一定師:為什么？【學(xué)生思考討論】【以學(xué)論教】學(xué)生動(dòng)筆、思考,教師引導(dǎo)、啟發(fā),讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立分析問(wèn)題,解決問(wèn)題,初步體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力.引導(dǎo)學(xué)生自己探索尋找圓的一般方程在什么時(shí)候表示圓,形成分類(lèi)討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性、創(chuàng)造性.師:我們可以把它配方,看滿(mǎn)足什么條件才能是一個(gè)圓,【教師板書(shū),學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐】生:,.師:上式如果表示一個(gè)圓,那么,也即D2+E2?4F>0.【概括理解能力】通過(guò)對(duì)一個(gè)方程的討論,得出圓的一般方程,并指出不是所有的方程都可以表示圓.條件不同,方程表示的圖形不同,使得學(xué)生的認(rèn)識(shí)不斷加深,同時(shí)培養(yǎng)概括理解能力.【歸納總結(jié)】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圖形當(dāng)D2+E2?4F>0時(shí),方程表示的是一個(gè)圓,圓心為,半徑為.當(dāng)D2+E2?4F=0時(shí),方程只有唯一的解,表示的是一個(gè)點(diǎn).當(dāng)D2+E2?4F<0時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解,因而它不表示任何圖形.師:也就是說(shuō)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0要表示圓,必須帶上一個(gè)條件,這個(gè)條件就是D2+E2?4F>0,這樣我們可以得到圓的一般方程.【以學(xué)定教】師生共同總結(jié)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圖形后,教師提醒表示圓的附帶條件,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)該條件的認(rèn)知.【要點(diǎn)知識(shí)】圓的一般方程當(dāng)D2+E2?4F>0時(shí),方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱(chēng)為圓的一般方程.圓心為,半徑為.師:觀察圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0有何特點(diǎn)？【學(xué)生討論,教師歸納總結(jié)】【歸納總結(jié)】圓的一般方程的特點(diǎn)1.(1)x2和y2的系數(shù)相同,都等于1.(2)沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng).2.圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D,E,F,因此只要求出這三個(gè)系數(shù),就能確定圓的一般方程.3.圓的一般方程是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則是幾何特征明顯.【深度學(xué)習(xí)】歸納知識(shí),有利于學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò).強(qiáng)調(diào)概念的本質(zhì),讓學(xué)生理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征,深化學(xué)生對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí).師:圓的一般方程與二元二次方程相比較,圓的一般方程為二元二次方程,而二元二次方程的基本形式為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.如果一個(gè)上述二元二次方程表示的是一個(gè)圓,那么它需要滿(mǎn)足哪些條件？生:(1)x2,y2前面的系數(shù)A=C≠0;(2)不存在xy項(xiàng),即B=0;(3)D2+E2?4F>0.師:下面看一道例題.【典型例題】圓的一般方程例1判斷下列方程是否表示圓,如果是,寫(xiě)出它的圓心坐標(biāo)與半徑;如果不是,說(shuō)明理由.(1)2x2+y2?7x+5=0;(2)x2?xy+y2+6x+7y=0;(3)2x2+2y2?4x+8y+20=0;(4)x2+y2+4x?6y?12=0;(5)4x2+4y2?8x+4y?15=0;(6)x2+y2?2by?2b2=0.【學(xué)生回答問(wèn)題,教師予以肯定】生:(1)不是,x2,y2前面的系數(shù)不相等;(2)不是,含有xy項(xiàng);(3)不是,D2+E2?4F<0或把方程兩邊除以2,然后再配方得(x?1)2+(y+2)2=?5;(4)是,把方程整理配方得(x+2)2+(y?3)2=25,所以圓心坐標(biāo)為(?2,3),半徑為5;(5)是,把方程兩邊除以4,然后再配方得,所以圓心坐標(biāo)為,半徑為;(6)把方程整理配方得x2+(y?b)2=3b2,當(dāng)b=0時(shí),僅表示點(diǎn)(0,0),不是圓的方程;當(dāng)b≠0時(shí),表示圓的方程,圓心坐標(biāo)為(0,b),半徑為|b|.【自主學(xué)習(xí)】通過(guò)例1加深理解二元二次方程表示圓的條件,這里讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)切實(shí)分清概念,為今后學(xué)習(xí)掃清障礙.【分析計(jì)算能力】通過(guò)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐,把圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程,培養(yǎng)了學(xué)生的分析計(jì)算能力.探究2求圓的方程的一般步驟師:下面這道題目可以從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度來(lái)求圓心坐標(biāo).根據(jù)這個(gè)例題,我們總結(jié)一下應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟.【典型例題】求圓心和半徑例2已知點(diǎn)A(0,5),B(1,?2),C(?3,?4)都在⊙P上,求⊙P的方程,并求其半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo).【概括理解能力】進(jìn)一步熟悉圓的一般方程.通過(guò)本題的練習(xí),使學(xué)生掌握待定系數(shù)法求解圓的一般方程的步驟,培養(yǎng)學(xué)生概括理解的能力.【學(xué)生討論并作答,教師指導(dǎo),講解,板書(shū),公布答案】師:圓的一般方程只需確定三個(gè)系數(shù)D,E,F,而條件給出了三個(gè)坐標(biāo),不妨試著先寫(xiě)出圓的一般方程.師解:(方法一)設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵A(0,5),B(1,?2),C(?3,?4)都在⊙P上,∴它們的坐標(biāo)是方程的解,代入方程得到:,即D=6,E=?2,F=?15,∴所求⊙P的方程為x2+y2+6x?2y?15=0,,∴⊙P的半徑為5,圓心坐標(biāo)為(?3,1)【或?qū)2+y2+Dx+Ey+F=0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x+3)2+(y?1)2=25,從而得出⊙P的半徑為5,圓心坐標(biāo)為(?3,1)】師:由于題目還要求出⊙P的半徑和圓心坐標(biāo),所以可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程,師解:(方法二)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a)2+(y?b)2=r2,∵A(0,5),B(1,?2),C(?3,?4)都在⊙P上,∴它們的坐標(biāo)是方程的解,代入方程得到,即a=?3,b=1,r2=25,∴所求⊙P的方程為(x+3)2+(y?1)2=25,半徑為5,圓心坐標(biāo)為(?3,1).師:本題實(shí)際上是求△ABC的外接圓方程,根據(jù)垂徑定理可知圓心在圓中弦的垂直平分線(xiàn)上,所以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別求出弦AC和BC(或AB)的中點(diǎn)坐標(biāo)和各自的斜率,然后根據(jù)兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率乘積為?1求出弦AC和BC的垂直平分線(xiàn)的方程,再聯(lián)立兩直線(xiàn)方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心P的坐標(biāo),從而利用兩點(diǎn)間距離公式求出r=|AP|.【以學(xué)論教】方法二鞏固圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,通過(guò)對(duì)比方法一與方法二,讓學(xué)生體會(huì)圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程在解題中的不同之處,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.師解:(方法三)AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為E,直線(xiàn)AC的斜率為.∴直線(xiàn)AC的垂直平分線(xiàn)方程為,即x+3y=0,①同理,BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為D(?1,?3),直線(xiàn)BC的斜率,∴直線(xiàn)BC的垂直平分線(xiàn)方程為y+3=?2(x+1),即2x+y+5=0,②聯(lián)立①②解得x=?3,y=1.∴圓心P(?3,1),半徑r=|AP|==5,∴⊙P的方程為(x+3)2+(y?1)2=25,半徑r=5,圓心P坐標(biāo)為(?3,1).師:下面來(lái)總結(jié)用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟.【以學(xué)論教】方法三從“形”的角度,利用圓的幾何性質(zhì)得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.在具體應(yīng)用中可根據(jù)題目條件的實(shí)際情況,在這三種解法中選擇適當(dāng)?shù)?培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.【要點(diǎn)知識(shí)】利用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟1.根據(jù)條件,選擇是標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程.2.根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組.3.解出a,b,r或D,E,F并將其代入其相關(guān)方程.師:有了以上探究方法,那么對(duì)于一般的動(dòng)點(diǎn)軌跡,我們?cè)撊绾蝸?lái)求呢？【概括理解能力】總結(jié)題目方法,提煉出解決一般問(wèn)題的方法,形成類(lèi)型題的方法.強(qiáng)調(diào)方法的本質(zhì),加深學(xué)生對(duì)方法的理解應(yīng)用提升概括理解能力.【典型例題】求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例3已知,點(diǎn)A在圓上(x+1)2+y2=4運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(5,4),求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.【教師講解,學(xué)生聽(tīng)課做筆記】師:如圖點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng),而點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足圓的方程(x+1)2+y2=4,根據(jù)條件“點(diǎn)M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)”建立點(diǎn)M與點(diǎn)A的關(guān)系,就可以找到點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件,也就得到了M的軌跡方程.師解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0,y0),由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(5,4),且M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn),所以有,①于是有x0=2x?5,y0=2y?4,①因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4,②把①代入②,得(2x?5+1)2+(2y?4)2=4,整理,得(x?2)2+(y?2)2=1,所以點(diǎn)M的軌跡是以(2,2)為圓心,半徑為1的圓.師:點(diǎn)M的軌跡方程是指點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)滿(mǎn)足的關(guān)系式,軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中形成的圖形.在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí),若給出相關(guān)點(diǎn)的軌跡方程,通常采用代入法求得,根據(jù)上面的例題,我們總結(jié)一下求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟.【簡(jiǎn)單問(wèn)題解決能力】通過(guò)對(duì)直線(xiàn)方程、圓的方程的初步學(xué)習(xí),可以讓學(xué)生慢慢接觸軌跡問(wèn)題,通過(guò)例題讓學(xué)生更好地理解利用代數(shù)法解決幾何問(wèn)題,體會(huì)利用坐標(biāo)法求滿(mǎn)足一定條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的用途,在解題過(guò)程中提升簡(jiǎn)單問(wèn)題解決能力.【歸納總結(jié)】利用代入法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟1.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用有序數(shù)對(duì)(x,y)表示曲線(xiàn)上任意一,點(diǎn)M的坐標(biāo).2.寫(xiě)出適合條件的點(diǎn)M的集合.3.列出方程f(x,y)=0.4.化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式.師:下面我們來(lái)總結(jié)一下本節(jié)課學(xué)了哪些知識(shí).【意義學(xué)習(xí)】進(jìn)一步熟悉圓的一般方程,掌握運(yùn)用代入法求解動(dòng),點(diǎn)的軌跡方程的步驟,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力.【課堂小結(jié)】圓的一般方程1.對(duì)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的討論和圓的一般方程的代數(shù)特征的理解.2.圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化.3.利用待定系數(shù)法求圓的一般方程.4.利用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【設(shè)計(jì)意圖】總結(jié)歸納,把方法系統(tǒng)化,形成能力.啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納整理,培養(yǎng)宏觀掌握知識(shí)的能力.教學(xué)評(píng)價(jià)本講所涉及的知識(shí)都是平面解析幾何中最基礎(chǔ)的內(nèi)容.它們滲透到平面解析幾何的各個(gè)部分,正是它們構(gòu)成了解析幾何問(wèn)題的基礎(chǔ),又是解決這些問(wèn)題的重要工具之一.本部分具體知識(shí)如下:(1)有關(guān)圓的問(wèn)題解答時(shí),應(yīng)注意利用圓的平面幾何性質(zhì),如圓與直線(xiàn)相切、相交的性質(zhì),圓與圓相切的性質(zhì)等,這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化.(2)要注意學(xué)習(xí)如何借助于坐標(biāo)系,用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題,體會(huì)這種數(shù)形結(jié)合思想的用途.應(yīng)用所學(xué)知識(shí),完成下面各題:1.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(4,1),B(6,?3),C(?3,0),求△ABC外接圓的方程.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)鞏固學(xué)習(xí)效果,同時(shí)回顧了學(xué)生已有相關(guān)知識(shí)和方法,鏈接了本章的重點(diǎn)和難點(diǎn),符合學(xué)生學(xué)習(xí)上的認(rèn)知規(guī)律.點(diǎn)撥:求圓的方程,常用待定系數(shù)法,根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.有時(shí)利用幾何特征,解答更為簡(jiǎn)便.解析:解法一:設(shè)所求圓的方程是(x?a)2+(y?b)2=r2.①∵A(4,1),B(6,?3),C(?3,0)都在圓上,∴它們的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程①,于是,解得∴△ABC的外接圓的方程是(x?1)2+(y+3)2=25.解法二:∵△ABC外接圓的圓心既在AB的垂直平分線(xiàn)上,也在BC的垂直平分線(xiàn)上,∴先求AB,BC的垂直平分線(xiàn)方程,求得的交點(diǎn)E的坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo).∵,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為(5,?1),線(xiàn)段BC的中點(diǎn)為,∴AB的垂直平分線(xiàn)方程為①BC的垂直平分線(xiàn)方程為.②解由①②聯(lián)立的方程組可得∴△ABC外接圓的圓心為E(1,?3),半徑.【綜合問(wèn)題解決能力】會(huì)求復(fù)雜條件下的圓的方程,培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問(wèn)題,利用多個(gè)條件靈活消元的能力.【分析計(jì)算能力】通過(guò)對(duì)兩圓位置關(guān)系的應(yīng)用,落實(shí)圓的一般方程、兩圓外切、內(nèi)切、公共弦問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和分析計(jì)算的能力.2.圓C與y軸相切,且圓心在直線(xiàn)x?3y=0上,且直線(xiàn)y=x截圓所得弦長(zhǎng)為2,求圓C的方程.點(diǎn)拔:在解決求圓的方程這類(lèi)問(wèn)題時(shí),應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn):(1)首先明確是標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程;(2)根據(jù)幾何關(guān)系(如本例的相切、弦長(zhǎng)等)建立方程求得a,b,r或D,E,F;(3)待定系數(shù)法的應(yīng)用,解答中要盡量減少未知量的個(gè)數(shù).解析:因圓C與y軸相切,且圓心在直線(xiàn)x?3y=0上,故設(shè)圓方程為(x?3b)2+(y?b)2=9b2.又因?yàn)橹本€(xiàn)y=x截圓所得弦長(zhǎng)為2,則有,解得b=±1.故所求圓方程為(x?3)2+(y?1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.【綜合問(wèn)題解決能力】教師應(yīng)幫助學(xué)生經(jīng)歷如下的過(guò)程:首先將幾何問(wèn)題代數(shù)化,用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系,進(jìn)而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題;處理代數(shù)問(wèn)題:分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義,最終解決幾何問(wèn)題.這種思想應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終,幫助學(xué)生不斷地體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.從而提升綜合問(wèn)題解決能力.3.已知兩圓x2+y2?2x?6y?1=0,x2+y2?10x?12y+m=0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切？(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？(3)當(dāng)m=45時(shí),求兩圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程和公共弦的長(zhǎng).點(diǎn)撥:判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法,即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系.而兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程可由兩圓的方程作差消去x2,y2項(xiàng)得到.解析:因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x?1)2+(y?3)2=11,(x?5)2+(y?6)2=61?m,所以?xún)蓤A的圓心分別為(1,3),(5,6),半徑分別為.(1)當(dāng)兩圓外切時(shí),由解得.(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),因?yàn)槎▓A半徑小于兩圓圓心之間的距離5,所以,解得.(3)當(dāng)m=45時(shí),由(x2+y2?2x?6y