第二十二章二次函數(shù)22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)

學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)1．用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)y=ax2的圖象，知道拋物線(xiàn)y=ax2是軸對(duì)稱(chēng)圖形，知道拋物線(xiàn)y=ax2的開(kāi)口方向與a的符號(hào)有關(guān).（難點(diǎn)）2．掌握二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)：能根據(jù)圖象說(shuō)出拋物線(xiàn)y=ax2的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，能根據(jù)a的符號(hào)說(shuō)出頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最高點(diǎn)還是最低點(diǎn).．（重點(diǎn)）

1.二次函數(shù)的一般形式是怎樣的？y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)2.下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)？①⑤④③②

復(fù)習(xí)引入

3.一次函數(shù)的圖象是一條

.4.通常怎樣畫(huà)一個(gè)函數(shù)的圖象？直線(xiàn)列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)那么，二次函數(shù)的圖象會(huì)是什么樣的圖形呢？這節(jié)課我們來(lái)學(xué)習(xí)最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=ax2的圖像

一、二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)探究歸納二次函數(shù)y=x2的性質(zhì)解析式圖像x的范圍：全體實(shí)數(shù)y的范圍：非負(fù)數(shù)平面直角坐標(biāo)系請(qǐng)用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)y=x2的圖象94101941.列表：在y=x2中自變量x可以是任意實(shí)數(shù)，列表表示幾組對(duì)應(yīng)值：

24-2-40369xy

2.描點(diǎn)：根據(jù)表中x,y的數(shù)值在坐標(biāo)平面中描點(diǎn)（x,y）3.連線(xiàn)：如圖，再用平滑曲線(xiàn)順次連接各點(diǎn)，就得到y(tǒng)=x2

的圖象．9410194

24-2-40369xy

觀(guān)察：二次函數(shù)y=x2的圖象像什么？事實(shí)上，二次函數(shù)的圖象都是拋物線(xiàn)，

它們的開(kāi)口或者向上或者向下．

一般地，二次函數(shù)

y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象叫做拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c.

二次函數(shù)y=x2的圖象形如物體拋射時(shí)所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)，這條曲線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)y=x2

，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的頂點(diǎn).這條拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),y軸就是它的對(duì)稱(chēng)軸.

頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）是拋物線(xiàn)上的最低點(diǎn).

觀(guān)察思考

24-2-4O369xy

問(wèn)題1

從二次函數(shù)y=x2的圖象你還發(fā)現(xiàn)了什么性質(zhì)？在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，拋物線(xiàn)y=x2從左往右下降；

當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，拋物線(xiàn)y=x2從左往右上升當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大.

一、二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)拋物線(xiàn)向上y軸x=0（0，0）原點(diǎn)最小值（最低點(diǎn)）當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大.

二、二次項(xiàng)系數(shù)a的絕對(duì)值大小與開(kāi)口大小的關(guān)系解：分別填表，再畫(huà)出它們的圖象，如圖820.5084.520.54.54.5820.5084.520.5探究歸納例2

在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象．①開(kāi)口都向上；對(duì)稱(chēng)軸都是y軸；

問(wèn)題1

從二次函數(shù)的圖像上來(lái)看，有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？a的值越大，開(kāi)口越小.②增減性相同：當(dāng)x<0時(shí)，y隨x增大而減小；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而增大.③頂點(diǎn)都是原點(diǎn)(0，0)，頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最低點(diǎn)；共同點(diǎn)：不同點(diǎn)：

總結(jié)歸納一般地，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線(xiàn)y＝ax2的開(kāi)口_____，對(duì)稱(chēng)軸是____，頂點(diǎn)是_____，頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的______，a越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口_____.向上y軸原點(diǎn)最低點(diǎn)越小

練一練：畫(huà)出函數(shù)y=-x2的圖象，并根據(jù)圖象說(shuō)出它有哪些性質(zhì)？-9-4-10-1-9-4

一、二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)拋物線(xiàn)向下y軸x=0（0，0）原點(diǎn)最大值（最高點(diǎn)）當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小.

練一練：在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象．－8－2－0.50－8－4.5－2－0.5－4.5－4.5－8－2－0.50－8－4.5－2－0.5

問(wèn)題2

從二次函數(shù)的圖像上來(lái)看，有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？a的值越大，開(kāi)口越小.共同點(diǎn)：不同點(diǎn)：①開(kāi)口都向下；對(duì)稱(chēng)軸都是y軸；②增減性相同：當(dāng)x<0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而減小.③頂點(diǎn)都是原點(diǎn)(0，0)，頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最高點(diǎn)；

總結(jié)歸納一般地，當(dāng)a<0時(shí)，拋物線(xiàn)y＝ax2的開(kāi)口_____，對(duì)稱(chēng)軸是_____，頂點(diǎn)是_____，頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的______，a越小，拋物線(xiàn)的開(kāi)口______.向下y軸原點(diǎn)最高點(diǎn)越小

位置開(kāi)口方向開(kāi)口向上,在x軸上方開(kāi)口向下,在x軸下方a的絕對(duì)值越大，開(kāi)口越小歸納總結(jié)對(duì)稱(chēng)性頂點(diǎn)最值增減性關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸方程是直線(xiàn)x＝0頂點(diǎn)坐標(biāo)是原點(diǎn)（0，0）當(dāng)x=0時(shí)，y最小值=0當(dāng)x=0時(shí)，y最大值=0在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)遞減在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)遞增在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)遞增在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)遞減

2、說(shuō)出下列拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)：開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)向上向下向下向上y軸y軸y軸y軸（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）1、如右圖，觀(guān)察函數(shù)y=（

k-1）x2的圖象,則k的取值范圍是

.k>1

三、拋物線(xiàn)y=ax2與y=-ax2的關(guān)系問(wèn)題1觀(guān)察下列圖象，拋物線(xiàn)y=ax2與y=-ax2（a>0)的關(guān)系是什么？二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，開(kāi)口相反，大小相同，它們關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).xyOy=2x2y=-2x2解：分別填表，再畫(huà)出它們的圖象，如圖

在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象．例2

當(dāng)a>0時(shí)，a越大，開(kāi)口越小.思考1：從二次函數(shù)開(kāi)口大小與a的大小有什么關(guān)系？練一練：在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象．

當(dāng)a<0時(shí)，a越小（即a的絕對(duì)值越大），開(kāi)口越小.對(duì)于拋物線(xiàn)

y=ax2

，｜a｜越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小．思考2

從二次函數(shù)開(kāi)口大小與a的大小有什么關(guān)系？

小結(jié)歸納3.函數(shù)y=

x2的圖象的開(kāi)口

,對(duì)稱(chēng)軸是

,頂點(diǎn)是

;

頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最

點(diǎn).2.函數(shù)y=－3x2的圖象的開(kāi)口

,對(duì)稱(chēng)軸是

,頂點(diǎn)是

;

頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最

點(diǎn).邊選邊填：1.函數(shù)y=4x2的圖象的開(kāi)口

,對(duì)稱(chēng)軸是

,頂點(diǎn)是

.向上向下y軸(0,0)4.函數(shù)y=－0.2x2的圖象的開(kāi)口

,對(duì)稱(chēng)軸是

，頂點(diǎn)是

.高低

課堂練習(xí)x軸(1,0)

例3

已知

y=(m+1)x

是二次函數(shù),且其圖象開(kāi)口向上,

求m的值和函數(shù)解析式.解:依題意有:m+1>0①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m>－1∴m=1此時(shí),二次函數(shù)為:y=2x2.m2+m例4如圖，

四個(gè)二次函數(shù)的圖象分別對(duì)應(yīng)①

y=ax2；②

y=bx2；③

y=cx2；④

y=dx2，且①與③，②與④分別關(guān)于x

軸對(duì)稱(chēng).(1)比較a，b，c，d的大小；(2)說(shuō)明a

與c，b

與d

的數(shù)量關(guān)系.解：(1)由拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向，知

a

＞0，b

＞0，c

＜0，d＜0，由拋物線(xiàn)的開(kāi)口大小，知

|a|＞|b|，|c|＞|d|，因此a

＞

b，c

＜

d.∴a

＞

b

＞

d

＞

c.(2)∵①與③，②與④分別關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴①與③，②與④的開(kāi)口大小相同，方向相反.∴a+c=0，b+d=0.1、下列函數(shù)中，y總隨x增大而減小的是(

)A．y＝4x

B．y＝－4xC．y＝x－4

D．y＝x2B2、關(guān)于二次函數(shù)y＝3x2的圖象，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A．它是一條拋物線(xiàn)B．它的開(kāi)口向上，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C．它的頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最高點(diǎn)D．它與y＝－3x2的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)C

課堂練習(xí)

課堂練習(xí)

4、若拋物線(xiàn)y=ax2（a≠0），過(guò)點(diǎn)（－1，2）.

（1）則a的值是

；

（2）對(duì)稱(chēng)軸是

，開(kāi)口

.

（3）頂點(diǎn)坐標(biāo)是

，頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的最

值.

拋物線(xiàn)在x軸的

方（除頂點(diǎn)外）.

（4）若A（x1,y1),B(x2,y2)在這條拋物線(xiàn)上，且x1<x2<0,

則y1