2025屆湖南省長沙市湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)湘江校區(qū)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C.8 D.2．我國的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形個(gè)數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)小正方形，則的表達(dá)式為（）A. B.C. D.3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4．已知橢圓的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若橢圓C上存在一點(diǎn)A，滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知圓，若存在過點(diǎn)的直線與圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列滿足：且，則此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（）A.621 B.622C.1133 D.11347．直線的傾斜角是A. B.C. D.8．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則（）A1 B.2C.4 D.89．“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知a，b是互不重合直線，，是互不重合的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則11．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23，則該數(shù)列的第31項(xiàng)為（）A.336 B.467C.483 D.60112．已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且平面，若該棱錐的體積為，，，，則此球的表面積等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的弦與另一個(gè)焦點(diǎn)圍成的的周長是______14．用組成所有沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，滿足與相鄰并且與不相鄰的五位數(shù)共有____________個(gè).(結(jié)果用數(shù)值表示)15．已知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第一象限內(nèi)，甲、乙、丙三人對復(fù)數(shù)的陳述如下為虛數(shù)單位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陳述中，有且只有兩個(gè)人的陳述正確，則復(fù)數(shù)______16．如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列{bn}滿足b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式18．（12分）已知函數(shù)，（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）森林資源是全人類共有的寶貴財(cái)富，其在改善環(huán)境，保護(hù)生態(tài)可持續(xù)發(fā)展方面發(fā)揮著重要的作用.2020年12月12日，主席在全球氣候峰會上通過視頻發(fā)表題為《繼往開來，開啟全球應(yīng)對氣候變化的新征程》的重要講話，宣布“到2030年，我國森林蓄積量將比2005年增加60億立方米”.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，某地林業(yè)管理部門著手制定本地的森林蓄積量規(guī)劃.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，本地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長率自然生長，而為了保證森林通風(fēng)和發(fā)展經(jīng)濟(jì)的需要，每年冬天都要砍伐掉萬立方米的森林.設(shè)為自2021年開始，第年末的森林蓄積量.（1）請寫出一個(gè)遞推公式，表示二間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中，為常數(shù)；（3）為了實(shí)現(xiàn)本地森林蓄積量到2030年底翻兩番的目標(biāo)，每年的砍伐量最大為多少萬立方米？（精確到1萬立方米）（可能用到的數(shù)據(jù)：，，）20．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：21．（12分）已知拋物線C：上有一動點(diǎn)，，過點(diǎn)P作拋物線C的切線交y軸于點(diǎn)Q（1）判斷線段PQ的垂直平分線是否過定點(diǎn)？若過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過，請說明理由；（2）過點(diǎn)P作垂線交拋物線C于另一點(diǎn)M，若切線的斜率為k，設(shè)的面積為S，求的最小值22．（10分）如圖，在四棱錐中P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求平面PAD與平面PBC所成角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】化簡方程為，求得拋物線的準(zhǔn)線方程，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得.故選：B.2、D【解析】先分別觀察給出正方體的個(gè)數(shù)為：1，，，，總結(jié)一般性的規(guī)律，將一般性的數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解【詳解】解：根據(jù)前面四個(gè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，累加得：，，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題3、C【解析】設(shè)，用表示出，求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)時(shí)，取得最小值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以當(dāng)λ＝時(shí)，取得最小值，此時(shí)＝＝，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：C4、C【解析】根據(jù)題意可知當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，即可滿足橢圓C上存在一點(diǎn)A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對稱性可知，當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，故只需即可滿足題意，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則只需,即有，所以，解得，故選：C5、D【解析】根據(jù)圓的割線定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因?yàn)椋裕谑怯校驗(yàn)椋裕颍裕蔬x：D6、C【解析】這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是公比為2的等比數(shù)列，只要分開來計(jì)算即可.【詳解】由于，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是等差數(shù)列，即：共10項(xiàng)，和為；，共10項(xiàng)，其和為；∴該數(shù)列前20項(xiàng)的和；故選：C.7、D【解析】由方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為所以其傾斜角為故選：D8、C【解析】根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)即可求出【詳解】依題可知，，所以故選：C9、B【解析】方程表示橢圓，可得，解出的范圍即可判斷出結(jié)論.【詳解】∵方程表示橢圓，∴解得或，故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B10、B【解析】根據(jù)線線，線面，面面位置關(guān)系的判定方法即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】A：若，，則或a，故A錯(cuò)誤；B：若，，則a⊥β，又，則a⊥b，故B正確；C：若，，則或α與β相交，故C錯(cuò)誤；D：若，，，則不能判斷α與β是否垂直，故D錯(cuò)誤.故選：B.11、B【解析】先由遞推關(guān)系利用累加法求出通項(xiàng)公式，直接帶入即可求得.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列2，3，5，8，12，17，23……滿足，，所以該數(shù)列的第31項(xiàng)為.故選：B12、D【解析】由條件確定三棱錐的外接球的球心位置及球的半徑，再利用球的表面積公式求外接球的表面積.【詳解】由已知，，，可得三棱錐的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱錐外接球的直徑，，，即，則，故三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為故選：D.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得，利用橢圓的定義可得出的周長.【詳解】在橢圓中，，由題意可知，的周長為.故答案為：.14、【解析】由題意，先利用捆綁法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【詳解】因?yàn)闈M足與相鄰并且與不相鄰，則將捆綁，內(nèi)部排序得，再對和全排列得，利用插空法將和插空得，所以滿足題意得五位數(shù)有.故答案為：15、##【解析】設(shè)，則，然后分別求出甲，乙，丙對應(yīng)的結(jié)論，先假設(shè)甲正確，則得出乙錯(cuò)誤，丙正確，由此即可求解【詳解】解：設(shè)，則，甲：由可得，則，乙：由可得：，丙：由可得，即，所以，若，則，則不成立，，則，解得或，所以甲，丙正確，乙錯(cuò)誤，此時(shí)或，又復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第一象限內(nèi)，所以，故答案為：16、【解析】化簡橢圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，方程可化為，因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）an＝2n-12；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出和的值即可.（2）根據(jù)（1）的條件求出b2＝-24，b1＝-8，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的值即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍1＋a5＝2a3＝-12，a4＋a8＝2a6＝0，所以，所以，解得，所以an＝-10＋2(n-1)＝2n-12.【小問2詳解】設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，因?yàn)閎2＝a1＋a2＋a3＝-24，b1＝-8，所以－8q＝－24，即q＝3，因此.18、（1）；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，，求出切線方程即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)函數(shù)求出的最大值，求出的范圍即可.【小問1詳解】因?yàn)椋裕瑒t切線的斜率為，又因?yàn)椋瑒t切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，令得，列表得x001↘極小值↗所以當(dāng)時(shí)，的最大值為由題意知，故，解之得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19、（1）；（2）.；（3）19萬立方米.【解析】（1）由題意得到；（2）若遞推公式寫成，則，再與遞推公式比較系數(shù)；（3）若實(shí)現(xiàn)翻兩番的目標(biāo)，則，根據(jù)遞推公式，計(jì)算的最大值.【詳解】解：（1）由題意，得，并且.①（2）將化成，②比較①②的系數(shù)，得解得所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）因?yàn)椋遥裕桑?）可知，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式：，所以.到2030年底的森林蓄積量為該數(shù)列的第10項(xiàng)，即.由題意，森林蓄積量到2030年底要達(dá)到翻兩番的目標(biāo)，所以，即.即.解得.所以每年的砍伐量最大為19萬立方米.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遞推公式求通項(xiàng)公式，有以下幾種方法：

型如：的數(shù)列的遞推公式，采用累加法求通項(xiàng)；

形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項(xiàng)；

形如：的遞推公式，通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

形如：的遞推公式，兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化為的形式求通項(xiàng)公式；

形如：，可通過取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求通項(xiàng)公式.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）求出的值，可求得等差數(shù)列的公差，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可求得的表達(dá)式，可求得，然后對是否滿足在時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)求和法可求得的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)和數(shù)列的單調(diào)性可證得所證不等式成立.【小問1詳解】解：因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕O(shè)數(shù)列公差為，則，所以，當(dāng)時(shí)，由，可得，所以，所以，因?yàn)闈M足，所以，對任意的，【小問2詳解】證明：因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋裕蕯?shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以21、（1）線段的垂直平分線過定點(diǎn)（2）【解析】（1）設(shè)切線的方程為，并與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得線段的垂直平分線的方程，進(jìn)而求得定點(diǎn)坐標(biāo).（2）結(jié)合弦長公式求得的面積，利用基本不等式求得的最小值.【小問1詳解】依題意可知切線的斜率存在，且斜率大于.設(shè)直線PQ的方程為，.由消去并化簡得，由得，，則，解得