甘肅省合水縣一中2025屆高二上數學期末質量跟蹤監視試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如果，，…，是拋物線C：上的點，它們的橫坐標依次為，，…，，點F是拋物線C的焦點.若=10，=10+n，則p等于（）A.2 B.C. D.42．為了了解1000名學生的學習情況，采用系統抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.503．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是A. B.C. D.4．已知數列滿足，若.則的值是（）A. B.C. D.5．橢圓C：的焦點在x軸上，其離心率為則橢圓C的長軸長為（）A.2 B.C.4 D.86．隨機抽取甲乙兩位同學連續9次成績（單位：分），得到如圖所示的成績莖葉圖，關于這9次成績，則下列說法正確的是（）A.甲成績的中位數為33 B.乙成績的極差為40C.甲乙兩人成績的眾數相等 D.甲成績的平均數低于乙成績的平均數7．已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是A. B.C. D.8．在等差數列中，，則（）A.9 B.6C.3 D.19．函數在上的最大值是A. B.C. D.10．給出如下四個命題正確的是（）①方程表示的圖形是圓；②橢圓的離心率；③拋物線的準線方程是；④雙曲線的漸近線方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④11．已知曲線與直線總有公共點，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知方程表示雙曲線，則實數的取值范圍是（）A.或 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的長軸在軸上，若焦距為4，則__________.14．關于曲線，給出下列三個結論：①曲線關于原點對稱，但不關于軸、軸對稱；②曲線恰好經過4個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；③曲線上任意一點到原點的距離都不大于.其中，正確結論的序號是________.15．拋物線的焦點到準線的距離等于__________.16．已知是雙曲線的左、右焦點，點M是雙曲線E上的任意一點（不是頂點），過作角平分線的垂線，垂足為N，O是坐標原點．若，則雙曲線E的漸近線方程為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓F：經過點且離心率為，直線和是分別過橢圓F的左、右焦點的兩條動直線，它們與橢圓分別相交于點A、B和C、D，O為坐標原點，直線AB和直線CD相交于M．記直線的斜率分別為，且（1）求橢圓F的標準方程（2）是否存在定點P，Q，使得為定值．若存在，請求出P、Q的坐標，若不存在，請說明理由18．（12分）已知是等差數列，是等比數列，且，，，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.19．（12分）已知函數滿足.（1）求的解析式，并判斷其奇偶性；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數a的取值范圍.20．（12分）設數列的前項和，且成等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）記數列前項和，求使成立的的最小值21．（12分）已知直線和直線（1）若時，求a的值；（2）當平行，求兩直線，的距離22．（10分）已知圓C過兩點，，且圓心C在直線上（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的切線，求切線方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據拋物線定義得個等式，相加后，利用已知條件可得結果.【詳解】拋物線C：的準線為，根據拋物線的定義可知，，，，，所以，所以，所以，所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：利用拋物線的定義解題是解題關鍵，屬于基礎題.2、A【解析】根據系統抽樣定義可求得結果【詳解】分段的間隔為故選：A3、C【解析】根據雙曲線的幾何性質，結合余弦定理分別討論當為鈍角時的取值范圍，根據雙曲線的對稱性，可以只考慮點在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據雙曲線的對稱性不妨考慮點在雙曲線第一象限部分：當為鈍角時，在中，設，有，，即，，所以；當時，所在直線方程，所以，，，根據圖象可得要使，點向右上方移動，此時，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點睛】此題考查雙曲線中焦點三角形相關計算，關鍵在于根據幾何意義結合特殊情況分類討論，體現數形結合思想.4、D【解析】由，轉化為，再由求解.【詳解】因為數列滿足，所以，即，因為，所以，所以，故選：D5、C【解析】根據橢圓的離心率，即可求出，進而求出長軸長.【詳解】由橢圓的性質可知，橢圓的離心率為，則，即所以橢圓C的長軸長為故選：C.【點睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質，屬于基礎題.6、D【解析】按照莖葉圖所給的數據計算即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲的成績為：11，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位數為32，眾數為32，平均數為；乙的成績為：10，22，31，32，35，42，42，50，52，極差為52-10=42，眾數為42，平均數為；由以上數據可知，A錯誤，B錯誤，C錯誤，D正確；故選：D.7、C【解析】當時，，函數有兩個零點和，不滿足題意，舍去；當時，，令，得或．時，；時，；時，，且，此時在必有零點，故不滿足題意，舍去；當時，時，；時，；時，，且，要使得存在唯一的零點，且，只需，即，則，選C考點：1、函數的零點；2、利用導數求函數的極值；3、利用導數判斷函數的單調性8、A【解析】直接由等差中項得到結果.詳解】由得.故選：A.9、D【解析】求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可，結合函數的單調性求出的最大值即可【詳解】函數的導數令可得，可得上單調遞增，在單調遞減，函數在上的最大值是故選D【點睛】本題考查了函數的單調性、最值問題，是一道中檔題10、A【解析】對選項①，根據圓一般方程求解即可判斷①錯誤，對選項②，求出橢圓離心率即可判斷②錯誤，對③，求出拋物線漸近線即可判斷③正確，對④，求出雙曲線漸近線方程即可判斷④錯誤。【詳解】對于①選項，，，故①錯誤；對于②選項，由題知，所以，所以離心率，故②錯誤；對于③選項，拋物線化為標準形式得拋物線，故準線方程是，故③正確；對于④選項，雙曲線化為標準形式得，所以，焦點在軸上，故漸近線方程是，故④錯誤.故選：A11、D【解析】對曲線化簡可知曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對直線方程化簡可得直線過定點，畫出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可【詳解】由，得，因為，所以曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線過定點，如圖所示設曲線與軸的兩個交點分別為，直線過定點，為曲線上一動點，根據圖可知，若曲線與直線總有公共點，則，得，設直線為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D12、A【解析】根據雙曲線標準方程的性質，列出關于不等式，求解即可得到答案【詳解】由雙曲線的性質：，解的或，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】根據橢圓方程列方程，解得結果.【詳解】因為橢圓的長軸在軸上，焦距為4，所以故答案為：8【點睛】本題考查根據橢圓方程求參數，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14、①③【解析】設為曲線上任意一點，判斷、、是否滿足曲線方程即可判斷①；求出曲線過的整點即可判斷②；由條件利用即可得，即可判斷③；即可得解.【詳解】設為曲線上任意一點，則，設點關于原點、軸、軸的對稱點分別為、、，因為；；；所以點在曲線上，點、點不在曲線上，所以曲線關于原點對稱，但不關于軸、軸對稱，故①正確；當時，；當，.此外，當時，；當時，.故曲線過整點，，，，，，故②錯誤；又，所以恒成立，由可得，當且僅當時等號成立，所以，所以曲線上任一點到原點的距離，故③正確.故答案為：①③.【點睛】本題考查了與曲線方程有關的命題真假判斷，屬于中檔題.15、【解析】先將拋物線方程，轉化為標準方程，求得焦點坐標，準線方程即可.【詳解】因為拋物線方程是，轉化為標準方程得：，所以拋物線開口方向向右，焦點坐標準線方程為：，所以焦點到準線的距離等于.故答案為：【點睛】本題主要考查拋物線的標準方程，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.16、【解析】延長交于點，利用角平分線結合中位線和雙曲線定義求得的關系，然后利用，及漸近線方程即可求得結果.【詳解】延長交于點，∵是的平分線，，，又是中點，所以，且，又，，，又，雙曲線E的漸近線方程為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在點，使得為定值.【解析】（1）設，，，結合條件即求；（2）由題可設直線方程，利用韋達定理法可得，再結合條件可得點的軌跡方程為，然后利用橢圓的定義即得結論.【小問1詳解】設，，，橢圓方程為：，橢圓過點，，解得t=1，所以橢圓F的方程是【小問2詳解】由題可得焦點的坐標分別為，當直線AB或CD的斜率不存在時，點M的坐標為或，當直線AB和CD的斜率都存在時，設斜率分別為，點，直線AB為，聯立，得則，，同理可得，，因為，所以，化簡得由題意，知，所以設點，則，所以，化簡得，當直線或的斜率不存在時，點M的坐標為或，也滿足此方程所以點在橢圓上，根據橢圓定義可知，存在定點，使得為定值【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用韋達定理法及題設條件求出點M的軌跡方程，再結合橢圓的定義，從而問題得到解決.18、（1）（2）【解析】（1）設是公差為d的等差數列，是公比為q的等比數列，運用通項公式可得，，進而得到所求通項公式；（2）求得，再由數列的求和方法：分組求和，運用等差數列和等比數列的求和公式，計算即可得到所求和.【小問1詳解】解：（1）設是公差為d的等差數列，是公比為q的等比數列，由，，可得，；即有，，則，則；【小問2詳解】解：，則數列的前n項和為.19、（1），是奇函數（2）【解析】(1)由求出，進而求得的解析式，利用奇偶函數的定義判斷函數的奇偶性即可；(2)根據冪函數的單調性可得函數的單調性，求出函數的最小值，將不等式恒成立轉化為對任意使得恒成立即可.【小問1詳解】因為，所以，所以.所以.的定義城為，且，所以是奇函數.【小問2詳解】因為，在上均為增函數，所以在上增函數，所以.對任意，不等式恒成立，則，所以，即實數a的取值范固為.20、(1).(2)10.【解析】（1）借助于將轉化為，進而得到數列為等比數列，通過首項和公比求得通項公式；（2）整理數列的通項公式，可知數列為等比數列，求得前n項和，代入不等式可求得n的最小值試題解析：（1）由已知，有，即從而又因為成等差數列，即所以，解得所以，數列是首項為2，公比為2的等比數列故（2）由（1）得．所以由，得，即因為，所以．于是，使成立的n的最小值為10考點：1．數列通項公式；2．等比數列求和21、（1）（2）【解析】（1）由垂直可得兩直線系數關系，即可得關于實數a的方程.（2）由平行可得兩直線系數關系，即可得關于實數a的方程，進而可求出兩直線的方程，結合直線的距離公式即可求出直線與之間的距離.【小問1詳解】∵，且，∴，解得【小問2詳解】∵，，且，∴且，解得，∴，即∴直線間的距離為22、（1）．（或標準形式）（2）