專題07橢圓的標準方程與性質六種考法目錄TOC\o"13"\h\z\u解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、橢圓的定義…………………2類型二、橢圓標準方程中的參數 3類型三、焦點三角形 5類型四、對稱性 8類型五、離心率 10類型六、與其他章節融合…………………13壓軸能力測評（10題） 17橢圓的定義（1）平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．（2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a>0，c>0.①當2a>|F1F2|時，M點的軌跡為橢圓；②當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡為線段F1F2；③當2a<|F1F2|時，M點的軌跡不存在．容易忽視圓錐曲線定義的限制條件，在橢圓的定義中，對常數加了一個條件，即常數大于。這種規定是為了避免出現兩種特殊情況——軌跡為一條線段或無軌跡。2.橢圓標準方程中的參數確定橢圓的標準方程包括“定位”與“定量”兩個方面，“定位”是指確定橢圓與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點在哪個坐標軸上，以判斷方程的形式，若情況不明，應對參數進行討論，“定量”則是指確定a2、b2的值，常用待定系數法求解。3.焦點三角形利用定義求焦點三角形的周長和面積．解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a兩邊平方是常用技巧；常見結論：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點F1，F2構成的△PF1F2叫做焦點三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①當r1＝r2，即點P為短軸端點時，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，當|y0|＝b，即點P為短軸端點時，S取得最大值，最大值為bc；③△PF1F2的周長為2(a＋c)．4.對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點過橢圓中心的直線與橢圓相交的兩點坐標互為相反數；平行于x軸的直線與橢圓相交的兩點橫坐標互為相反數，縱坐標相等；平行于y軸的直線與橢圓相交的兩點縱坐標互為相反數，橫坐標相等；5.離心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)6.與其他章節融合與三角形、不等式以及平面向量等章節融合。類型一、橢圓的定義例．設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】方法一：因為，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因為，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.【變式訓練1】已知，P是橢圓上的任意一點，則的最大值為.【答案】【解析】由已知可得為橢圓的焦點，根據橢圓定義，所以，當且僅當時等號成立，故的最大值為.故答案為：25【變式訓練2】設分別是橢圓的左，右焦點，過的直線交橢圓于兩點，則的最大值為（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】根據橢圓定義可知周長為定值4a，從而可得當最小時，最大，再根據橢圓焦點弦最小為通徑即可求解．【詳解】由橢圓的定義知∴的周長為，∴當最小時，最大．當軸，即AB為通徑時，最小，此時，∴的最大值為．故選：B．類型二、橢圓標準方程中的參數例．已知焦點在軸上的橢圓的焦距等于，則實數的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】由橢圓的焦點在軸上確定，再根據即可求.【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，所以，根據題意可得，解得.故選：D.【變式訓練1】已知為橢圓的右焦點，過原點的直線與相交于兩點，且軸，若，則的長軸長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據橢圓的對稱性可知，就是到橢圓左焦點的距離；再根據橢圓的定義和“焦點三角形”求的值.【詳解】設，如圖，記為的左焦點，連接，則由橢圓的對稱性可知，由，設，則.又軸，所以，即，所以，解得.所以的長軸長為.故選：B【變式訓練2】設為橢圓的焦點，若在橢圓上存在點，滿足，則實數的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由橢圓的性質知：當在橢圓左右頂點時最大，∴橢圓上存在一點使，只需在橢圓左右頂點時，此時，，即，又，∴，解得，又，∴.故選：A.類型三、焦點三角形例．設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據焦點三角形面積公式求出的面積，即可得到點的坐標，從而得出的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結合中線的向量公式以及數量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據中線定理求出．【詳解】方法一：設，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因為①，，即②，聯立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因為①，，即②，聯立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【變式訓練1】已知橢圓C：的左?右焦點分別是，，為橢圓C上一點，則下列結論不正確的是（

）A．的周長為6 B．的面積為C．的內切圓的半徑為 D．的外接圓的直徑為【答案】D【分析】根據焦點三角形的性質即可求解AB，根據等面積法即可求解C，根據面積公式以及正弦定理及可求解D.【詳解】由題意知，，，，由橢圓的定義知，，，∴的周長為，即A正確；將代入橢圓方程得，解得，∴的面積為，即B正確；設的內切圓的半徑為r，則，即，∴，即C正確；不妨取，則，，∴的面積為，即，∴，由正弦定理知，的外接圓的直徑，即D錯誤，故選:D.

【變式訓練2】（多選）橢圓的標準方程為為橢圓的左、右焦點，點．的內切圓圓心為，與分別相切于點，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】橢圓：，則，所以，又，所以點再橢圓上，連接，

則，故A不正確；由橢圓的定義可得，又的內切圓圓心為，所以內切圓半徑，由于，所以，故，故C正確；又，所以則，所以，故D正確；又，所以，又，所以，即，故B正確.故選：BCD.類型四、對稱性例．（多選）已知為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為兩點都在上，，三點共線，（不與重合）為上頂點，則（

）A．的最小值為4 B．為定值C．存在點，使得 D．【答案】BCD【分析】求出可判斷A；由橢圓的對稱性可判斷B；因為，所以以為直徑的圓與橢圓有交點可判斷C；求出可判斷D.【詳解】對于A，由橢圓的方程可知，所以焦點，設，則，，因為在橢圓上，所以，，即，A錯誤；對于B，由橢圓的對稱性可知，，可得B正確；對于C，因為，所以以為直徑的圓與橢圓有交點，則存在點，使得，故C正確；對于D，設，則，則，故D正確．故選:BCD．【變式訓練1】已知橢圓的左右焦點為．直線與橢圓相交于兩點，若，且，則橢圓的離心率為．【答案】【詳解】由橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，則，由，得，因為，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，即橢圓的離心率.故答案為：.【變式訓練2】已知，是橢圓C的兩個焦點，過且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且，則橢圓C的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用橢圓的對稱性、勾股定理、橢圓的定義求得，再求得后可得標準方程．【詳解】由對稱性，又，則，所以，，又，則，橢圓標準方程為．故選：B．類型五、離心率例．設橢圓的左?右焦點分別為，直線交橢圓于點，，若的周長的最大值為16，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，的周長等于，而，當且僅當三點共線時取等號，則，因此當直線過點時，的周長取得最大值，即，解得，所以的離心率，故選：C【變式訓練1】已知橢圓上存在點，使得，其中是橢圓的兩個焦點，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定條件，利用橢圓的定義求出，再利用線段和差關系建立不等式求解即得.【詳解】點在橢圓上，是橢圓的兩個焦點，令半焦距為c，由及，得，顯然，當且僅當點共線，且在線段上時取等號，因此，即，又，則，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A【變式訓練2】P是橢圓C：（）上一點，、是的兩個焦點，，點在的平分線上，為原點，，且．則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，設，，延長交于A，由題意知，O為的中點，故為中點，又，即，則，又由，則是等腰直角三角形，故有，化簡得，即，代入得，即，由所以，所以，.故選：C.【變式訓練3】已知橢圓的左?右焦點分別為為上一點，且，若，的外接圓面積是其內切圓面積的25倍，則橢圓的離心率．【答案】【詳解】根據已知條件有，有正弦定理面積公式有：，又，所以，設的外接圓半徑為，內切圓半徑為，因為為橢圓上一點，則，又，以的三邊為底，內切圓半徑為高的三個三角形面積和等于面積，所以，解得，由正弦定理有：，解得，又的外接圓面積是其內切圓面積的25倍，即，即，所以，即，即，兩邊同除以，得，又，解得.故答案為：類型六、與其他章節融合例．已知O為坐標原點A，B，C為橢圓E：上三點，且，，直線BC與x軸交于點D，若，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】取BC的中點M，設，，，，則．∵A，C在橢圓E上，∴，兩式相減，得，即，∴．∵，∴，連接OM，則，∴，∴，∴．∵，∴，又，，∴，得．∴，∴，即，∴E的離心率.故選：D．【變式訓練1】（多選）已知橢圓的離心率為，左，右焦點分別為，，過且傾斜角為的直線與橢圓C交于A，B兩點（點A在第一象限），P是橢圓C上任意一點，則（

）A．a，b滿足 B．的最大值為C．存在點P，使得 D．【答案】ABD【分析】A選項，根據離心率得到；B選項，設，，故，計算出；C選項，由橢圓定義及余弦定理，基本不等式得到點P在短軸端點時，最大，且此時，故C錯；D選項，法一：設出直線方程，聯立橢圓方程，求出，得到結論；法二：利用橢圓的第二定義進行求解.【詳解】A選項，因為C的離心率，所以，，解得，故A對；B選項，由題意得，設，則，，因為，，所以，，則，故B對；C選項，設，，，，則，當且僅當時，等號成立，由于在上單調遞減，當點P在短軸端點時，最大，且此時，故此時，故C錯；D選項，法一：直線方程為，即，與橢圓方程聯立得，因為，所以，，故，故D對.法二：據橢圓第二定義易知：，其中，即，解得，同理可得.所以成立，故D對.故選：ABD【變式訓練2】（多選）如圖是數學家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐側面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）．在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，截面分別與球，球切于點E，F（E，F是截口橢圓C的焦點）．設圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，則（

）A．橢圓C的中心不在直線上B．C．直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為D．橢圓C的離心率為【答案】ACD【詳解】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，點分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點，線段是橢圓長軸，可知橢圓C的中心（即線段的中點）不在直線上，故A正確；橢圓長軸長，過作于D，連，顯然四邊形為矩形，又，則，過作交延長線于C，顯然四邊形為矩形，橢圓焦距，故B錯誤；所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C正確；所以橢圓的離心率，故D正確；故選：ACD.1．已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，左、右焦點分別為，，延長交橢圓E于點P．若點A到直線的距離為，的周長為16，則橢圓E的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直線的方程，由點到直線的距離可得，再由的周長為16可得，解方程可求出，即可得出答案.【詳解】由題意，得，，，則直線的方程為，所以點A到直線的距離①．由的周長為16，得，即a+c=8②，聯立①②，解得③．因為，所以④．聯立②④，解得a=6，c=2，所以，故橢圓E的標準方程為是.故選：B．2．橢圓的焦點F1，F2，點P為其上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是（

）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）【答案】C【分析】設P（x，y），根據橢圓方程求得兩焦點坐標，根據∠F1PF2是鈍角推斷出PF12+PF22＜F1F22代入P坐標求得x和y的不等式關系，求得x的范圍．【詳解】解：設P（x，y），由橢圓方程得橢圓焦點坐標為為F1（﹣，0），F2（，0），且∠F1PF2是鈍角??（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20?x2+5+y2＜10?x2+4（1﹣）＜5?x2＜．所以．故選：C．3．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，短軸長為2，為坐標原點，點在上且（為橢圓的半焦距），直線與交于另一個點，若，則的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由已知可得三角形是以點P為直角頂點的三角形，設出，根據橢圓的定義求出m，再根據三角形為等腰直角三角形即可求解.【詳解】由題意知，所以點，，在以為圓心，為直徑的圓上，連接，則.設，由于，所以，，根據橢圓的定義可知，，所以，所以，則.又，所以為等腰直角三角形，可得.由題意知，又，所以，所以的標準方程為，故選：A.4．已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓C在第一象限內的一點，，直線與C的另一個交點為Q，O為坐標原點，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，，在中，由余弦定理結合橢圓定義可得，根據面積相等，即可得P點縱坐標，進而得P點坐標，根據點坐標即可得直線方程，與橢圓聯立可得點縱坐標，進而求得三角形面積.【詳解】解：因為，所以，設，，在中，由余弦定理得，即，所以，根據橢圓定義有：，所以，所以，因為，因為P在第一象限，所以，代入橢圓中，得，因為，所以，所以直線，聯立，可得，顯然，則，因為，所以，所以．故選：C5．（多選）已知橢圓：的兩個焦點分別為，，是C上任意一點，則（

）A．的離心率為 B．的周長為12C．的最小值為3 D．的最大值為16【答案】BD【分析】首先分析題意，利用橢圓性質進行逐個求解，直接求出離心率判斷A，利益橢圓的定義求出焦點三角形周長判斷B，舉反例判斷C，利用基本不等式求最大值判斷D即可.【詳解】由橢圓得則所以，故A錯誤;易知的周長為故B正確；當在橢圓長軸的一個端點時，取得最小值，最小值為，故C錯誤；由基本不等式得，當且僅當時取等，則取得最大值16，故D正確.故選：BD.6．（多選）已知橢圓上有一點，?分別為其左右焦點，，的面積為，則下列說法正確的是（

）A．若，則； B．若，則滿足題意的點有個；C．若是鈍角三角形，則； D．橢圓的內接矩形的周長的最小值為.【答案】ABC【分析】對于A，利用焦點三角形的面積公式可求解，對于B，利用三角形的面積公式求出三角形的高與比較即可判斷，對于C，三角形是鈍角三角形，求出三角形是直角三角形的面積，進而可求出范圍，對于D，利用橢圓的參數方程以及三角函數的性質求出即可【詳解】由橢圓可得，則，對于A，設，，則，由此可得，所以的面積為所以，所以A正確，對于B，因為，則，所以由橢圓的對稱性可知滿足題意的點有個，所以B正確，對于C，因為是鈍角三角形，所以中有一個角大于，當時，設，則，因為，所以解得，所以，所以是鈍角三角形時，有，所以C正確，對于D，令，，則橢圓內接矩形的周長為（其中且滿足），由得，所以橢圓內接矩形的周長的范圍為，即，所以D錯誤，故選：ABC7．設,分別是橢圓的左?右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，，若，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】求橢圓的離心率，要列出關于的等量關系式，設，根據橢圓的定義以及，可以表示出三角形各邊的長度，通過余弦定理得到各邊關于的表達式，根據幾何關系可以列出關于的等量關系式，從而求出離心率【詳解】設，則，，，.，在中，由余弦定理得，，，化簡可得，而，故，，，，，是等腰直角三角形，，橢圓的離心率，故答案為：8．已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上不與頂點重合的任意一點，I為的內心，記直線的斜率分別為，若，則橢圓E的離心率為．【答案】/【詳解】設，設圓與軸相切于點M，N，T，所以，所以，即，所以．由橢圓的第二定義可知，所以，所以，由等面積法得到，所以．因為，所以，所以，即．故答案為：9．已知橢圓（a＞b＞0）的焦點為F1，F2，如果橢圓C上存在一點P，使得，且PF1F