專題21.11確定二次函數解析式的方法【八大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1已知一點、兩點或三點坐標確定二次函數解析式】 1【題型2利用頂點式確定二次函數解析式】 4【題型3利用交點式確定二次函數解析式】 8【題型4利用平移確定二次函數解析式】 11【題型5利用對稱變換或旋轉變換確定二次函數解析式】 14【題型6根據圖象信息確定二次函數解析式】 16【題型7根據幾何圖形的性質確定二次函數解析式】 21【題型8根據數量關系確定二次函數解析式】 29【題型1已知一點、兩點或三點坐標確定二次函數解析式】【例1】（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學校聯考模擬預測）二次函數y=ax2+bx+x…--013…y……下列選項中，正確的是（

）A．這個函數的最大值為-B．這個函數圖象的對稱軸為直線xC．這個函數的圖象與x軸有兩個不同的交點D．若點P-32,【答案】D【分析】先求二次函數的解析式，再判斷．【詳解】由題意，得a-b+∴該二次函數的表達式y=-A.由函數解析式y=-x-B.函數的對稱軸為直線x=-C.該函數圖象與x軸只有2,0一個交點，故選項不符合題意；D.當x=-32時，y1=--32-22故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的圖像和性質，求出二次函數的解析式是求解本題的關鍵．【變式11】（2023春·浙江杭州·九年級統考期末）若二次函數y=axA．-2,-3 B．2,3 C．2,-3 D．【答案】C【分析】把-2,-3代入y=a【詳解】解：把-2,-3代入y-解得：a所以二次函數解析式：y=-A.當x=-2時，y=-3B.當x=2時，y=-3C.當x=2時，y=-3D.當x=-2時，y=-3故選C．【點睛】本題考查二次函數解析式的求法，以及二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．【變式12】（2023·上海·九年級假期作業）已知拋物線y=ax2+bx+A．2 B．3 C．4 D．t【答案】A【分析】把點A（【詳解】解：∵拋物線y=ax∴4a+2b∴a+故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數與三元一次方程組的綜合，掌握二次函數的代入法，解三元一次方程組的方法是解題的關鍵．【變式13】（2023春·廣東廣州·九年級校考期中）已知拋物線y=13x2+bx(1)求拋物線的函數表達式；(2)求拋物線的頂點B的坐標．【答案】(1)y(2)B【分析】（1）先求出函數的對稱軸，得到-b2×13=2，從而得到b（2）把函數解析式化成頂點式，再得出頂點坐標即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y=13x2∴對稱軸是直線x=-1+5解得：b=-∴y∵拋物線過點A4∴1解得：c=-1∴拋物線的解析式為：y=（2）解：y=∴頂點坐標B2【點睛】本題考查了用待定系數法求二次函數解析式，把二次函數解析式化成頂點式，根據題意求出b的值是解題的關鍵．【題型2利用頂點式確定二次函數解析式】【例2】（2023春·廣東廣州·九年級統考開學考試）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于O、A兩點，頂點坐標

(1)分別求出拋物線的解析式和直線l的解析式；(2)根據圖象，直接寫出ax【答案】(1)拋物線y=12(2)2<x【分析】（1）先根據點O,B的坐標，利用待定系數法可求出拋物線的解析式，再利用拋物線求得A點的坐標，利用待定系數法即可求得直線（2）找出二次函數的圖象位于一次函數的圖象的下方時，x的取值范圍即可得．【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax∴y=∵y=ax∴0=a解得a=∴y=12令y=0，則0=解得x=0或x∴A4∵直線l:y=mx+∴0=4解得m=1∴直線l:（2）解：不等式ax2+bx+∵直線l:y=mx+∴由函數圖象得：2<x即不等式ax2+【點睛】本題考查了二次函數與一次函數的綜合，熟練掌握待定系數法和函數圖象法是解題關鍵．【變式21】（2023春·廣東廣州·九年級廣州市第十三中學校考期中）已知拋物線經過點1,-1，并且當x=3時，y有最大值為5【答案】y【分析】根據當x=3時，y取得最大值是5，可知頂點坐標為(3,5)，設拋物線頂點式解析式y=a(x【詳解】解：由題意，可得拋物線頂點坐標(3,5)，∴設拋物線解析式為y=∵拋物線經過點1,-1，∴-1=a解得a=-所以，該拋物線解析式為y=【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式．在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．【變式22】（2023春·九年級課時練習）已知二次函數的圖像關于直線y=3對稱，最大值是0，在y軸上的截距是－1，這個二次函數解析式為．【答案】y=－19(x－3)【分析】根據已知可知：該二次函數頂點坐標是（3，0）、該函數經過點（0，1）；所以設該函數解析式為y=a（x3）2（a為常數，且a≠0），將點（0，1）代入求解即可．【詳解】解：∵二次函數的圖象的對稱軸是x=3，函數的最大值是0，∴該二次函數頂點坐標是（3，0），故設該二次函數的解析式為：y=a（x3）2（a為常數，且a≠0），∵該函數在y軸上的截距是1，∴該函數經過點（0，1），∴把x=0，y=1代入上式，得9a=1，即a=19∴這個二次函數解析式為y=19（x3）2故答案為y=19（x3）2【點睛】本題主要考查的是二次函數解析式的求法．在解答時，要認真挖掘隱含在題干中的已知條件，根據已知條件來解答．【變式23】（2023·青海海東·統考二模）拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為-3,0，點C的坐標為0,-3，對稱軸為直線x(1)求該拋物線的表達式；(2)若點P在拋物線上，且S△POC=4(3)設點Q是線段AC上的動點，作QD∥y軸交拋物線于點D，求線段【答案】(1)y(2)P14,21(3)9【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）根據拋物線的解析式得出OB=1，OC=3，從而求得三角形BOC的面積，設點P的坐標為m,m2+2m（3）利用待定系數法可求得直線AC的解析式為y=-x-3，設點【詳解】（1）已知拋物線的對稱軸為直線x=可設拋物線的表達式為y=將點A-3,0，點得4a解得a=1∴拋物線的表達式為y=（2）由（1）知拋物線表達式為y=令y=0，解得x=-3或∴點B的坐標為1,0，∵點C坐標為0,-3，∴OB=1，OC∴S△∵點P在拋物線上，∴設點P的坐標為m,∴S∵S△∴32解得m=4或m∴當m=4時，m當m=-4時，m∴滿足條件的點P有兩個，分別為P14,21，（3）如解圖，設直線AC的解析式為y=

將點A-3,0，得-3解得b=-1∴直線AC的解析式為y=-由于點Q在AC上，可設點Qn則點Dn,n∴DQ=-n2∴當n=-32時，DQ【點睛】本題考查了待定系數法求解析式、二次函數的性質及最值，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．【題型3利用交點式確定二次函數解析式】【例3】（2023·上海·九年級假期作業）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點是-4,0，2,0，將該拋物線向右平移3A．5 B．-5 C．4 D．【答案】B【分析】先利用點平移的規律得到點-4,0，2,0向右平移3個單位長度后對應點的坐標為-1,0，5,0，利用交點式，設平移后的拋物線解析式為y=ax+1x-5，接著把把0,-5代入求得a=1，于是原拋物線的解析式可設為【詳解】解：∵點-4,0，2,0向右平移3個單位長度后對應點的坐標為-1,0，∴設平移后的拋物線解析式為y=把0,-5代入得a×解得a=1∴原拋物線的解析式為y=即y=∴a=1，b=2∴a故選：B．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax2+bx+c(a【變式31】（2023春·九年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C分別為坐標軸上的三個點，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，則經過A，B，C三點的拋物線的表達式為．【答案】y＝－34(x＋4)(x－【詳解】由題意可知：點A、B、C的坐標分別為（1，0）、（0，3）、（4，0），∴可設拋物線表達式為：y=a(x-1)(x+4)，代入點（∴拋物線的表達式為：y=-【變式32】（2023春·安徽合肥·九年級合肥市第四十五中學校考期中）二次函數圖象經過（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三點，求此函數的解析式．【答案】y＝2x2﹣4x﹣6【分析】利用待定系數法求解即可.【詳解】解：根據題意可設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2，∴該二次函數解析式為y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的的解析式，屬于基本題型，熟練掌握求解的方法是關鍵.【變式33】（2023·山東菏澤·統考三模）在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的交點為A(-3,0)，(1)求二次函數的解析式；(2)點P為第三象限內拋物線上一點，△APC的面積記為S，求S的最大值及此時點P【答案】(1)y(2)S的最大值是278，點P的坐標是【分析】（1）根據二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點為A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），可以求得該函數的解析式；（2）根據題意可以得到直線AC的函數解析式，然后根據△APC的面積記為S，利用二次函數的性質可以得到S的最大值，以及此時點P的坐標【詳解】（1）解：∵二次函數過A(-3,0)，B∴設二次函數解析式為y=∵二次函數過C點(0,-3)，∴-3=解得a＝1，∴y即二次函數解析式為y=（2）解：設直線AC解析式為：y＝kx＋b，∵A(-3,0)，C∴-3解得k=-1∴直線AC的解析式為y＝﹣x－3，過點P作x軸的垂線交AC于點G，設點P的坐標為x,則G(∵點P在第三象限，∴PG=-∴S=∴當x=-32此時x2∴點P-即S的最大值是278，此時點P的坐標是-【點睛】本題考查待定系數法求二次函數解析式、二次函數的性質、二次函數的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答．【題型4利用平移確定二次函數解析式】【例4】（2023·浙江·九年級假期作業）已知二次函數y=ax2-4ax+5aaA．-34 B．-12 C．【答案】D【分析】求出平移后的拋物線，進而求出頂點坐標，待入原解析式，進行求解即可．【詳解】解：y=由題意，得，新的拋物線的解析式為：y=∴新拋物線的頂點坐標為4,a∵所得新拋物線的頂點恰好落在原拋物線圖象上，∴a+3=16∴a=故選D．【點睛】本題考查二次函數圖象的平移，待定系數法求二次函數解析式．熟練掌握拋物線的平移規則：左加右減，上加下減，是解題的關鍵．【變式41】（2023春·陜西榆林·九年級統考期末）已知拋物線：y=a(x-1)2【答案】y=(【分析】先利用待定系數法確定函數關系式，再根據平移規律“上加下減，左加右減”寫出新拋物線解析式．【詳解】解：將(3,0)代入y=a(解得a=1∴該拋物線的表達式為y=將拋物線y=(x-1)2-4向上平移【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數圖象與幾何變換，由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．【變式42】（2023春·山東濟南·九年級統考開學考試）把拋物線y=ax2+bx+c先向右平移1個單位長度，再向上平移【答案】1【分析】先將拋物線y=ax2+bx+c化為頂點式，再根據“左加右減【詳解】∵y=拋物線y=ax2+bx+∴ax∴a=1b2∴a故答案為：1．【點睛】本題主要考查了二次函數圖像的平移，熟練掌握二次函數一般式化為頂點式，解方程組，平移規則，是解題關鍵．【變式43】（2023春·黑龍江大慶·九年級統考期末）如圖，拋物線y1=-x2+2

(1)拋物線y2的頂點坐標__________(2)陰影部分的面積S=__________(3)若再將拋物線y2繞原點O旋轉180°得到拋物線y3，求拋物線【答案】(1)(1,2)(2)2(3)y【分析】（1）根據拋物線的移動規律左加右減可直接得出拋物線y2的解析式，再根據y（2）根據平移的性質知，陰影部分的面積等于底×高，列式計算即可；（3）先求出二次函數旋轉后的開口方向和頂點坐標，從而得出拋物線y3【詳解】（1）解：解：∵拋物線y1=-x2+2∴拋物線y2的解析式是y2=-故答案為：(1,2)；（2）把陰影部分進行平移，可得到陰影部分的面積即為圖中兩個方格的面積=1×2=2；故答案為：2；（3）由題意可得：拋物線y3的頂點與拋物線y2的頂點關于原所以拋物線y3的頂點坐標為(-1,-2)，于是可設拋物線y3的解析式為：由對稱性或者拋物線開口大小不變方向改變得a=1所以y3【點睛】此題考查了二次函數的圖像與幾何變化，用到的知識點是二次函數的圖像和性質、頂點坐標，關鍵是掌握二次函數的移動規律和幾何變換．【題型5利用對稱變換或旋轉變換確定二次函數解析式】【例5】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考模擬預測）在同一平面直角坐標系中，若拋物線y=-ax2+3x-c與A．0 B．-4 C．4 D．【答案】C【分析】根據關于x軸對稱，函數y是互為相反數即可解答．【詳解】解：∵y=-ax2+3∴-y=2x∴a=2c=-∴a+2故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數圖像與幾何變換，根據關于x軸對稱的坐標特征把拋物線y=-ax【變式51】（2023·陜西·九年級專題練習）將拋物線y＝x2﹣2x﹣3沿x軸折疊得到的新拋物線的解析式為（）A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3【答案】A【分析】利用原拋物線上的關于x軸對稱的點的特點：橫坐標相同，縱坐標互為相反數就可以解答．【詳解】拋物線y＝x2﹣2x﹣3關于x軸對稱的拋物線的解析式為：﹣y＝x2﹣2x﹣3，即y＝﹣x2+2x+3，故選A．【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，解決本題的關鍵是抓住關于x軸對稱的坐標特點．【變式52】（2023春·山東威海·九年級校考期末）將拋物線y=2x2A．y=-2x2C．y=-2x2【答案】D【詳解】y=2x212x+16=2（x26x+8）=2（x3）22，將原拋物線繞頂點旋轉180°后，得：y=2（x3）22=2x2+12x20；故選D．【變式53】（2023春·陜西安康·九年級統考期末）在平面直角坐標系中，將拋物線C1:y=x2+2x+3繞著它與yA．拋物線C2的開口向下 B．拋物線C2C．拋物線C2的頂點坐標為1,4 D．拋物線C2與【答案】D【分析】先根據中心對稱的性質求出旋轉后拋物線C2解析式為y【詳解】解：原拋物線C1解析式變形：y∴頂點坐標為-1,2，與y軸交點的坐標為0,3又由拋物線繞著它與y軸的交點旋轉180°，∴新的拋物線開口向下，新拋物線的頂點坐標與原拋物線的頂點坐標關于點0,3中心對稱，∴新的拋物線的頂點坐標為1,4，∴新的拋物線C2解析式為：y

∴拋物線C2的開口向下，故A拋物線C2的對稱軸為直線x=1，故拋物線C2的頂點坐標為1,4，故C∵拋物線C2的頂點坐標為1,4∴拋物線C2與x軸有兩個交點，故D故選：D．【點睛】本題考查拋物線的幾何變換，拋物線的圖象性質，根據中心對稱的性質求出旋轉后拋物線解析式是解題的關鍵．【題型6根據圖象信息確定二次函數解析式】【例6】（2023春·福建龍巖·九年級校考階段練習）二次函數的部分圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1．(1)求這個二次函數的解析式；(2)求該圖象的頂點坐標；(3)觀察圖象，當y＞0時，求自變量x的取值范圍．【答案】(1)y=-(2)該圖象的頂點坐標為（﹣1，4）；(3)﹣3＜x＜1【分析】（1）由對稱軸為直線x＝?1，可設拋物線解析式為y=（2）根據拋物線頂點式可直接得出答案；（3）根據拋物線的對稱性求出拋物線與x軸的另一個交點坐標，然后結合函數圖象求解即可．（1）解：設拋物線解析式為y=將（﹣3，0），（0，3）代入得：0=4a解得a=-1∴二次函數的解析式為：y=-（2）∵y=-∴該圖象的頂點坐標為（﹣1，4）；（3）∵拋物線經過點（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線經過點（1，0），由函數圖象得：當y＞0時，自變量x的取值范圍是﹣3＜x＜1．【點睛】本題考查待定系數法的應用，二次函數的頂點式，二次函數與不等式的關系等知識，熟練掌握數形結合思想的應用是解答本題的關鍵．【變式61】（2023春·廣東河源·九年級校考開學考試）若二次函數y=ax2+bx+

A．-2 B．±2 C．-2【答案】D【分析】根據圖象開口向下可知a>0，又二次函數圖象經過坐標原點，把原點坐標代入函數解析式解關于a【詳解】解：把原點0,0代入拋物線解析式，得a2解得a=±∵函數開口向上，a>0∴a=故選：D．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，觀察圖象判斷出a是負數且經過坐標原點是解題的關鍵．【變式62】（2023春·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學校考期中）如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點

(1)求拋物線的解析式；(2)過點A的直線交直線BC于點M．當AM⊥x軸時，過拋物線上一動點P（不與點B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點Q，若以點A，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P【答案】(1)y(2)4或5+412【分析】（1）利用一次函數解析式確定B5,0，C（2）先解方程-x2+6x-5=0得A1,0，再判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，則△AMB為等腰直角三角形，所以AM=4，接著根據平行四邊形的性質得到PQ=AM=4，PQ⊥x【詳解】（1）解：∵直線y=x-5經過點∴當x=0時，y=0-5=-5，則當y=0時，x-5=0，解得x∵點B，C在拋物線y=∴25a解得a=-1∴拋物線解析式為y=-（2）∵拋物線y=-x2+6x-5∴y=0時，-解得：x1=1，∴A1,0∵B5,0，C0,-5，∴OB=∴△OCB∴∠OBC∵AM⊥∴△AMB∴AM=∵以點A，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，AM∥∴PQ=AM=4設Pm,-m當P點在直線BC上方時，PQ=-解得：m1=1（舍去），當P點在直線BC下方時，PQ=解得：m3=5+綜上所述，點P的橫坐標為4或5+412或

【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了用待定系數法確定函數解析式，二次函數圖像上點的坐標特征、一次函數圖像上點的坐標特征，等腰直角三角形的判定與性質和平行四邊形的性質，運用了分類討論的思想．運用分類討論是解題的關鍵．【變式63】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（4，2）．若拋物線y=-32(x-h)2+k（h、k為常數）與線段AB交于C、D【答案】y【分析】根據題意，可以得到點C的坐標和h的值，然后將點C的坐標代入拋物線的解析式，即可得到k的值，本題得以解決．【詳解】解：∵點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（4，2），∴AB＝4，又A、B也關于拋物線對稱軸對稱，∴h＝2，∵拋物線y＝﹣32（x﹣h）2+k（h、k為常數）與線段AB交于C、D∴CD＝12AB＝2∴則點C的坐標為（1，2），（或點D的坐標為（3，2）），代入解析式，∴2＝﹣32+k

解得，k＝72∴所求拋物線解析式為y【點睛】本題考查二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．【題型7根據幾何圖形的性質確定二次函數解析式】【例7】（2023·山東東營·統考中考真題）如圖，拋物線過點O0,0，E10,0，矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點B在點A的左側），點C，D在拋物線上，設Bt,0，當

(1)求拋物線的函數表達式；(2)當t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線GH平分矩形ABCD【答案】(1)y(2)當t=1時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為(3)4【分析】（1）設拋物線的函數表達式為y=axx-10（2）由拋物線的對稱性得AE=OB=t，則（3）連接AC，BD相交于點P，連接OC，取OC的中點Q，連接PQ，根據矩形的性質和平移的性質推出四邊形OCHG是平行四邊形，則PQ=CH，PQ=12OA．求出t=2【詳解】（1）解：設拋物線的函數表達式為y=∵當t=2時，BC∴點C的坐標為2,-4．將點C坐標代入表達式，得2a解得a=∴拋物線的函數表達式為y=（2）解：由拋物線的對稱性得：AE=∴AB=10-2當x=t時，∴矩形ABCD的周長為2=-=-1∵-1∴當t=1時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為41（3）解：連接AC，BD相交于點P，連接OC，取OC的中點Q，連接PQ．

∵直線GH平分矩形ABCD的面積，∴直線GH過點P．．由平移的性質可知，四邊形OCHG是平行四邊形，∴PQ=∵四邊形ABCD是矩形，∴P是AC的中點．∴PQ=當t=2時，點A的坐標為8,0∴CH=∴拋物線平移的距離是4．【點睛】本題主要考查了求二次函數的解析式，二次函數的圖象和性質，矩形的性質，平移的性質，解題的關鍵是掌握用待定系數法求解二次函數表達式的方法和步驟，二次函數圖象上點的坐標特征，矩形的性質，以及平移的性質．【變式71】（