5.3.2.2函數的最大(小)值

【考點梳理】

考點一函數最值的定義

1.一般地，如果在區間［a,J上函數v=/U)的圖象是一條連續不斷的曲線,那么它必有最

大值和最小值.

2.對于函數人x),給定區間/,若對任意X?/,存在%()e/,使得於)涿＞0),則稱為函

數./(x)在區間/上的最小值；若對任意xe/,存在x()e/,使得"x)W/Uo),則稱y(xo)為函數

y(x)在區間/上的最大值.

考點二求函數的最大值與最小值的步驟

函數4X)在區間睥，句上連續，在區間(“，切內可導，求大X)在口，句上的最大值與最小值的

步驟如下：

(1)求函數,")在區間3,%)上的極值;

(2)將函數段)的各極值與端點處的函數值3比較，其中最大的一個是最大值，最小的

一個是最小值.

技巧訓練總結：含參數的函數最值問題的兩類情況

(1)能根據條件求出參數，從而化為不含參數的函數的最值問題.

(2)對于不能求出參數值的問題，則要對參數進行討論，其實質是討論導函數大于0、等于0、

小于0三種情況.若導函數恒不等于0,則函數在已知區間上是單調函數，最值在端點處取

得；若導函數可能等于0,則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值.

【題型歸納】

題型一：函數的最值與極值的關系

1.(2021?全國?高二)已知函數y=/(x)的導函數圖像，如圖所示，那么函數y=/(x)()

A.在(—,-1)上單調遞增B.在x=0處取得極小值

C.在x=l處切線斜率取得最大值D.在x=2處取得最大值

2.(2021秋?河北石家莊.高二河北新樂市第一中)已知函數f(x)=-21nx+x2+or在(I,2)

上有最值，則。的取值范圍是()

A.(—3,0)B.(-<?,—3)C.(0,+oo)D.(0,3)

3.(2022秋?福建泉州?高二校聯考期中)已知函數=以下結論中錯誤的是()

A.是偶函數B..“X)有無數個零點

C.“X)的最小值為D.f(x)的最大值為1

題型二：不含參函數的最值問題

4.(2022秋?四川樂山.高二統考期末)已知函數〃x)=x+eT,則函數在［-1,1］的最小

值為()

A.1B.1H—C.—1+eD.1—

ee

5.(2022春?陜西渭南?高二統考期末)已知函數/(力=/-3依-1在x=-1處取得極值.

(1)求實數〃的值；

⑵求函數/(x)在上的最大值和最小值.

6.(2022?全國?高二假期作業)已知函數/(x)=e*(x2_6x+l).

⑴求函數的單調區間與極值；

(2)求函數fM在區間［0,6］上的最值.

題型三：含參函數的最值問題

7.(2022春?江西宜春?高二上高二中校考階段練習)已知函數〃x)=lnx+ar2+(a+2)x+l,

其中aeR.

⑴求函數/(x)的單調區間；

⑵設aeZ,若對任意的x>0,/(x)40恒成立，求”的最大值.

.2

8.(2022秋?陜西西安?高二統考期末)已知函數/(x)=—+alnx.

x

⑴若a=l,求曲線y=/(x)在(1J⑴)處的切線方程；

(2)若函數/(x)在U,e]上無零點，求實數a的取值范圍.

9.(2022秋?四川涼山?高二統考期末)已知函數〃x)=lnx-三

⑴討論“X)的單調性；

(2)若f(x)20,求a的取值范圍.

題型四：由函數的最值求參數問題

10.(2022秋?四川雅安?高二統考期末)若不等式+在xe(O,R>)上恒成立,

則實數a的取值范圍是()

A.[0,1]B.[0,e]C.[-1,1]D.[0,+a>)

11.(2022秋.四川成都.高二四川省成都市新都一中校聯考期末)若關于x的不等式

x2e'Na(21nx+x)+l對Vxe(O,”)恒成立，則實數a的取值范圍為()

A.{1}B.[l,e)C.[l,+oo)D.[e,+oo)

12.(2022秋.湖北武漢?高二校聯考階段練習)若函數/(力=?3-以、x+l在

[-3a,3a](a>0)上的最大值與最小值之和不小于則實數a的取值范圍為()

A.(0,；B.(0,；C.(0,1]D.(0,2]

題型五：函數的單調性、極值和最值的綜合問題

13.(2022春.陜西西安?高二西安中學?？计谥?已知函數〃x)=9-x+alnx,aeR.

⑴若f(x)在區間(3,一)上單調遞減，求實數。的取值范圍；

(2)若a>0,f(x)存在兩個極值點為，X,,證明："」一/「)<〃-2.

玉F

14.(2022秋?上海寶山?高二上海市行知中學?？计谀?己知函數/(x)=e'(x+2).

⑴求函數/(x)的極值；

⑵若函數g(x)=/(x)-5e，-機有兩個零點，求實數”?的取值范圍.

15.(2022秋?湖北武漢?高二武漢市第一中學?？茧A段練習)已知函數f(x)=x-lnx-2.

⑴求曲線產/'(x)在處的切線方程；

13

⑵記函數g(x)=]x2-bx-2-/(x),設X1,馬(凡〈士)是函數g(x)的兩個極值點，^b>-,

且展演)—后恒成立，求實數女的最大值.

【雙基達標】

一、單選題

16.(2022春.陜西延安.高二校考階段練習)若函數〃X)=2HIU-$3+3X在區間(0,2]上單

調遞減，則實數。的最大值是()

A.1B.-1C.0D.-2

17.(2022春?江蘇連云港?高二校考期末)函數/(x)的導函數尸(x)的圖象如圖所示，則()

為函數)的零點

A.x=J"XB.1=2為函數/(x)的極大值點

C.函數“X)在上單調遞減D.〃-2)是函數/(x)的最小值

18.(2022秋?廣東潮州?高二饒平縣第二中學校考開學考試)若函數

ln(x4-l)-ox-2,x>0

fM=\i八的最大值為。-2,則實數。的取值范圍為()

x+—+?,x<0

x

A.(―<x>,e]B.

C.D.[e,+oo)

19.(2022春?浙江?高二校聯考階段練習)若函數f(x)=kw-ox2+(“-2)x(x?l,+8))有最

小值，則實數〃的取值范圍為()

A.B.(-<?,—1)C.(0,1)D.(-1,1)

20.(2022秋?浙江杭州?高二杭州四中校考期中)設函數/(x)=lnx+2ex2,

g(x)=d+陽4eR),若函數y=/(x)-g(x)只有1個零點，則函數g(x)在［O,e］上的最大

值為()

A.0B.3+lC.2e3+1D.2e3+-

ee

21.(2022春?新疆巴音郭楞?高二新疆和靜高級中學校)已知函數/(司=/+笈+2在x=-2

處取得極值-14.

⑴求a,2的值；

⑵求曲線y=/(x)在點處的切線方程；

⑶求函數/（x）在［-3,3］上的最值.

22.（2022春?陜西渭南?高二統考期末）已知函數/（"=；.必+如2-3/乩

（1）當。=1時，求函數f（x）在［0,2］上的最大值和最小值；

⑵若函數“X）在區間（1,2）內存在極小值，求實數。的取值范圍.

【高分突破】

一、單選題

23.（2022?高二課時練習）已知函數〃x）=lnx,若對任意的，e（O,-K?）,都有

［.（xj-/（w）］（Y-￥）“卜/+石）恒成立，則實數%的最大值是（）

A.-1B.0C.1D.2

24.（2022秋?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱市第六中學校?？计谀┤魧θ我鈞c（-1,田），不

等式ae'-ln（x+l）+lnaNl恒成立，則實數”的最小值是（）

A.1B.2C.eD.3

25.（2022秋?貴州貴陽?高二校聯考期末）若函數/（x）=e'+lnx+x/E+a在X4翳上

的最小值為e+1,則a的值為（）

26.（2022秋?江西上饒?高二校聯考期末）己知不等式3取3一_1+/2/，對任意x?0,l）恒成

X

立，則實數4的最小值為（）.

A.—eB.—C.eD.—

32

27.(2022秋?北京海淀?高二統考期末)已知函數"x)=lnx-ksinx,xe(0,7i],給出下列

三個結論：

①/(x)一定存在零點；

②對任意給定的實數Z,7(x)一定有最大值；

③/(x)在區間(0㈤上不可能有兩個極值點.

其中正確結論的個數是()

A.0B.1C.2D.3

28.(2022秋?重慶江北.高二重慶十八中?？计谀?若函數八“二丁一工在區間(2“,a+3)上

有最小值，則實數。的取值范圍是()

A.1-2,g)B.(-2,1)C.T,g)D.(-2,-1]

二、多選題

2

29.(2022春.江蘇鹽城.高二江蘇省響水中學?？茧A段練習)已知函數/(x)=lnr+1,則下

列判斷正確的是()

A.存在xe(0,+8),使得/(x)＜0

B.函數y=.f(x)-x有且只有一個零點

C.存在正數%,使得了(尤)-丘＞0恒成立

D.對任意兩個正實數小三，且%＞玉，若〃xJ=〃W)，則為+々＞4

30.(2022秋?遼寧遼陽?高二遼陽市第一高級中學校聯考期末)已知函數f(x)=e'(x-ae'),

則下列說法正確的是()

A.當a=0時，〃x)在點(oj(o))的切線方程是x-y=o

B.當時，f(x)在R上是減函數

C.若/(x)只有一個極值點，則或

D,若f(x)有兩個極值點，則0＜“＜；

31.(2022秋?河北石家莊?高二統考期末)已知"x)=^；-lnx,/(x)在x=x。處取得最大

值，則().

A.〃瓦)〈為B./($)=毛C.D./(%)>；

32.(2022秋.福建漳州.高二校聯考期末)已知〃x)=(x+l)e=g(x)=x(lnx+l),則()

A.函數〃x)在R上有兩個極值點

B.函數g(x)在(0,+8)上的最小值為

C.若對任意xeU,2],不等式g(ar"g(x2+l)恒成立，則實數"的最小值為：

D.若/(xj=g(x2)=f(1>0),則9(西+1)”的最小值為一

33.(2022秋?山東煙臺?高二統考期末)關于函數/(x)=ln(e2*+l)-x,下列說法正確的有

()

A../(X)為奇函數

B.yw為偶函數

c.7W的最小值為In2

D.對％,々e(0,+8),都有答習

34.(2022秋?廣東清遠?高二統考期末)已知函數/(x)=e*+x-2和g(x)=lnx+x-2,若

ra)=g(x2)=o,則()

A.x,+x2=2B.0<X,

C.-X,>VeD.-<—x2Inx2

三、填空題

35.(2022?全國?高二)已知函數/(x)=lnx+2,設函數/z(x)=〃x+l)-x-2,則從x)的最

大值是.

36.(2022.全國?高二假期作業)已知函數8(力=夫3-]/+2犬+].若8⑴在內不

單調，則實數。的取值范圍是.

37.(2022秋?山東泰安?高二統考期末)已知函數〃x)=e'-eT-sin2x+l,xe[-7t,0],則

/(x)的最大值為.

38.(2022?全國?高二專題練習)已知函數=+J在區間(0,y)上有且只有一

個極值點，則實數f的取值范圍為.

39.(2022?全國?高二專題練習)已知函數/(x)=ar+1+(a-l)lnx(aeR)的最小值為2,則

實數a的值是.

40.(2022秋?四川綿陽?高二統考期末)已知函數〃x)=寸-3x,g(x)=e*一見+2,對于

任意方,天目0,2],都有/(xJVgU)成立，則實數”的取值范圍是

41.(2022秋?山東淄博?高二統考期末)已知函數f(x)=x(lnxT)一履2,若對于定義域內任

意不相等的實數小三，都有＜0,則實數％的取值范圍是.

四、解答題

42.(2022?全國?高二假期作業)已知函數/(x)=lnx-；以2+。

⑴當。=1時,求/(X)的最大值；

⑵若f(x)￡手恒成立，求a的取值范圍.

43.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱市第一二二中學校?？计谀?己知函數

f(x)=ex-ax-1.

(1)當a=l時，求函數〃x)的圖象在點(1,/⑴)處的切線方程；

⑵討論函數f(x)的單調性；

(3)若/(x)20恒成立，求實數〃的取值集合.

44.(2022春?陜西延安?高二?？茧A段練習)已知函數〃x)=d+加一x+c且。=(

(1)求“的值;

⑵求函數/(x)的單調區間；

⑶設函數g(x)=[/(x)+x2]e',若函數g(x)在xe[-3,2]上單調遞增，求實數c的范圍.

45.(2022秋?河南駐馬店?高二新蔡縣第一高級)已知函數f(x)」+“呼二X).(x＜0).

e

⑴設g(x)=e"(x)+/在[-2,0)上單調遞減，求a的取值范圍；

⑵當時，證明：Vxe(-e,-e],/(外＞1恒成立.

46.(2022春?北京?高二清華附中?？茧A段練習)已知函數/(x)=x-：-2xlnx.

⑴求函數/(x)在口,”)上的最大值；

⑵若對于任意的xe(l,e),總有〃＜上三＜6,分別求出a,6的取值范圍.

x-1

47.(2022春?浙江?高二校聯考階段練習)設函數"x)=e'_]+ax(aeR),其中e是自然對

數的底數.

(1)若/(力單調遞增，求。的取值范圍；

⑵設曲線y="x)在尸西(%＞0)處的切線與曲線y=f(x)交于另一點(々/(2)，若W4為恒

成立，求，的取值范圍.

參考答案：

1.C

【分析】本題首先可根據導函數圖像分析出函數y=/(x)的單調性與極值，即可判斷出A、B、D錯誤，然后根據

導函數值的幾何意義即可得出C正確.

【詳解】結合圖像易知，

當1)時，函數y=/(x)是減函數，

當彳=-1時，函數y=/(x)取極小值，

當1,2)時，函數y=/(x)是增函數,

當x=2時，函數y=f(x)取極大值，不一定是最大值，

當xe(2,4co)時,函數y=是減函數，

結合上述易知，A、B、D錯誤，

因為函數在某點處的導函數值即函數在這點處的切線斜率，

所以由圖像易知，在x=l處切線斜率取得最大值，C正確，

故選：C.

2.A

2

【分析】首先求出導函數./''(x)=-1+2x+a(x>0),只需在(1,2)上不單調即可.

2

【詳解】由題意可得/'(X)=—+2x+a(x>0),

x

f(x)在(1,2)上單調遞增，若/(X)在(1,2)上有最值，

則.f(x)在(1,2)上不單調，

‘伉2)=4+3>0,

解得-3<”0.

故選：A

3.C

【分析】由奇偶性定義可判斷出A正確；令〃x)=0可確定B正確；根據/(x)定義域為R,=可知若最

小值為-g,則x=l是的一個極小值點，根據/'⑴片0可知C錯誤；由x=0時，cosn取得最大值，一+1取

得最小值可確定D正確.

II

…5—.八COS(F)COS7TX\

【詳解】對于A,/(x)定義域為R,/(—)=(_]+；=-^p=/(x),

\/(x)為偶函數,A正確;

對于B,令/(x)=0,即cosnr=0,/.7tx=^+k7r{keZ),解得：x=^+k^keZ),

\/(x)有無數個零點,B正確;

對于C,./(1)=-1,若〃x)的最小值為則x=l是〃力的一個極小值點，則/⑴=0;

(%X24-sin71X4-2^COS71X

2;rsin/r+2cos乃

f'(x)=-=-■-豐0,

i^r/0)=42

：.x=l不是/(x)的極小值點，C錯誤;

對于D,.-1<COS^-X<1,x2+1>1；

則當COS7TX=1,X2+1=1.即X=0時，f(x)取得最大值1,D正確.

故選：C.

4.A

【分析】利用導函數求得函數/(x)在卜U]上的單調區間，進而求得函數/(x)在[-1』的最小值

【詳解】/(x)=x+e-\xe[-l,l],則尸(x)=i-e-"=M，、目一川

當T4x<0時，r(x)=^<0,/(x)單調遞減；

當0<xVl時，/(力=*>0,f(x)單調遞增.

貝If(x)在x=0時取得最小值/(0)=0+e0=1

故選：A

5.(1)?=1

⑵小)"，

【分析】(1)求導，根據極值的定義可以求出實數。的值；

(2)求導，求出xe[-2,l]時的極值，比較極值和〃-2),/⑴之間的大小關系，最后求出函數的最大值和最小值.

【詳解】(1)f'(x)=3x2-3a,

??,函數/(x)在x=-l處取得極值,

12

/(-］)=3-3a=0,

即a=l(經檢驗符合題意)，

?,?<2=1.

(2)由(1)知”x)=d-31,

則用x)=3d-3,

4'/，(X)=3X2-3>0,解得XV-1或X>1；

令/'⑺=？%276,解得—

???函數/(x)在卜2,-1)上單調遞增，在上單調遞減，

則極大值/(-1)=1,而/(一2)=-3,/(1)=-3.

故函數/(x)在［-2』上的最大值和最小值分別為，

f(x)a=/(T)=l，/(^)min=."1)=/(-2)=-3.

6.(1)單調遞增區間是(YO,T),(5,+CO),單調遞減區間是(-1,5),極大值是8e-L極小值是Ye，

(2)最大值為e‘，最小值為-4et

【分析】(1)對/(力求導，根據導數的正負確定函數的單調區間，進一步確定極值即可；

(2)根據極值和端點值即可確定最值.

【詳解】(1)=el(x2-4x-5)=ev(x-5)(x+1).

令((x)>0,得x<—1或x>5；令f'(x)<0,得—l<x<5,

所以/(x)的單調遞增區間是(TO,-1),(5,+co),單調遞減區間是(-1,5).

所以fM的極大值是/(-I)=8e，fM的極小值是/(5)=-4e5.

(2)因為/(0)=lJ(6)=e6,

由(1)知,在區間［0,6］上,『3有極小值/(5)=-4管,

所以函數f(x)在區間［0,6］上的最大值為e6,最小值為-4e5.

7.(1)當時，Ax)在(0,+8)上單調遞增，無單調遞減區間；

當“<0時，/(x)在(0,-L上單調遞增，在(-L+8)上單調遞減.

na

(2)-2

13

【分析】(1)先確定函數的定義域，然后求導，通過討論。的正負判斷導函數在定義域內有無零點，無零點時原函

數在定義域內單調，有零點時再通過導函數確定各區間的單調性；

(2)原不等式恒成立等價于原函數的最大值小于等于0成立，由第一問的單調區間求得原函數的最大值，記為關

于。的函數，再通過對新函數求導判斷單調性，得到滿足新函數小于等于0的自變量a的最大整數值即可.

【詳解】(1)/(x)=lnx+tzx2+(a+2)x+l,定義域為(0,+°0)

、1c.2ax2+(a+2)x+l

f\x)=-+2ax+a+2=---------------——

XX

當a=0時，r(x)=生里>0,/(X)在((),《?)上遞增.

X

當a>0時，八x)=+("+2"=3+1)(2X+1)>0,/(x)在(0,田)上遞增.

XX

當a<0時，令r(x)>0,得x<-1；令r(x)<0,得x>」.

aa

即f(x)在(o,-3上遞增，在(-L3)上遞減.

aa

綜上：當a20時，/3)在9,”)上單調遞增，無單調遞減區間；

當。<0時，/(幻在(0,—)上單調遞增，在(-L+8)上單調遞減.

aa

(2)/(x)=InA+6LX2+(〃+2)1+1<0在(0,+00)上恒成立，

等價于/(初而(0.

由(1)得,

當。之0時，在(0,y)上單調遞增，無最大值，

故此時原不等式無法恒成立；

當〃<0時，/a)在(0,-3上單調遞增，在(-L+8)上單調遞減，

aa

則此時/(X)max=/(-工)=皿—工)一J

aaa

即須ln(-3—成立.

aa

記函數g(〃)=ln(-L)-',。<0且awZ

aa

則g'(〃)=」+4==^>o

aa"a~

即g(〃)在(—,())單調遞增.

因為g(T)=l>°,g(-2)=g—ln2<。

14

所以滿足g(“)40的。的最大整數值為-2.

綜上：a的最大值為-2.

8.⑴y=-x+3；⑵卜|,+8).

【分析】(1)根據導數的幾何意義求解即可；

(2)求導，對“分類討論，根據函數的最值與0的關系即可求解.

2

【詳解】解：(1)由題得fa)=-+lnx,xw(O,+a)),

x

則r*)="，

X

/(1)=2,廣(1)=-1,

曲線y=/(x)在(1,2)處的切線方程為y-2=—(x—l),即y=-x+3.

_、a2ax—2

(2)=——-=—―

Xx~x~

①當4,0時，f'(x)<0,/(x)在［Le］上單調遞減,

/(X)在［he］上無零點且/(l)=2>o,

2

則.f(e)=Q+_〉0,

e

2八

—<%0；

e

②當。>0時，

2

令八x)=0得元=一，

a

2

若一“1即a.2時，m.0,/(“)在口,e］上單調遞增,

a

由/(1)=2>()可知，a.2符合條件；

22

若一..e,即0<為=時,m，0,在［Le］上單調遞減,

ae

22

f(x)在［l,e］上無零點且"1)=2>0,則/(e)=〃+—>0,??.0<%-；

ee

22「2、(2

若］<_<e,即—<〃<2時，f(x)在1,一上單調遞減，在一,e上單調遞增,

aeLa)\a

,/(l)=2>0,/(e)=4Z+->0,/Wmin=/［-|=6f+^ln->0,

e\a)a

2八

一<Q<2,

e

綜上，a的取值范圍為(-|，+8).

9.(l)a40時，/(x)在(O,+e)上單調遞增；a>0時，〃x)在(O,a)上單調遞減，在(。,m)上單調遞增;

15

⑵口”).

【分析】(1)對函數y(x)求導，然后分為和。>0兩種情況去討論即得；

(2)分為和。>0兩種情況討論，在4>0時，求解函數的極小值，進而即得.

(1)

由題意知:r(x)=^(x>0).

當aVO時，xe(0,e>),用x)>0,函數/(x)單調遞增；

當a>0時，x?0,a),/'(x)<0,函數f(x)單調遞減，xe?—),制x)>0,函數/(x)單調遞增.

綜上，a4OH寸，f(x)在(0,+8)上單調遞增；

a>0時，“X)在(0,。)上單調遞減，在(a,+8)上單調遞增.

(2)

當a40時，/(1)=?-1<0,即a40不合題意；

當a>0時，由(1)可知〃力2“4),

則/(a)=lnaN0,g|J?>l.

綜上，a的取值范圍為口,田).

10.A

【分析】問題轉化為xe，-a(lnx+x+l)W0在xe(0,3)上恒成立，當4=0時，上式顯然成立，當awO時，令

/(x)=xev-a(lnx+x+l),xe(0,y),對函數求導后，分a<0和a>0兩種情況求函數最小值，使基本最小值大于

等于零即可

【詳解】由+在X?0,E)上恒成立，得

xe'-a(\nx+x+l)N0在xe(0,-w)上恒成立,

當。=0時，上式顯然成立，

當〃工0時，f(x)=xex-a(\nx+x+\),XG(0,-K?),

貝ljf(x)=ev+xex-^f-+11=(x+l)fev--Y

當〃vO時，r(x)>0,所以/(x)在(O,+功上遞增,

16

而當x—0時，不合題意,

當a>0時，由f'（x）=O,得e'=q,

由圖象可知，存在%,使e&=",所以lne*=ln*-,得與+皿工。=lna,

*0*0

當0cx時，f\x）<0,當x>x（）時，f\x）>0,

所以〃x）在（0,%）上遞減，在（為,一）上遞增，

所以當尤=/時，/（x）取得最小值，

所以=/（與）=%6--a（lnx0+x0+l）

=a—a（\na+1）=—〃Ina,

由一alnaNO,得InaKO,得OvaWl,

綜上，0<?<l,

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：此題考查不等式恒成立問題，考查導數的綜合應用，解題的關鍵是將問題轉化為

xe、-〃（lnx+x+l）之。在x￡（0,”）上恒成立，構造函數/（x）=xe'-a（ln九+x+l）,利用導數求出函數的最小值，考

查數學轉化思想和計算能力，屬于較難題

11.A

【分析】令—e"二?,故lnf=2Inx+x,原不等式變為x%'Nq（21nx+x）+lo,=aln/+l之。，進而令

F^=t-\-a\nt,利用最值分析法，通過對尸⑺的導數進行討論，即得.

【詳解】由題意得，人工之q（21nx+x）+l,令了％卜=人故ln，=21nx+x,

17

故Ye*>6r(21n?r+x)+lofNalnz+l.

令尸⑴=—lnt,則/⑺=1一臺寧.

若aVO,貝1」尸'(。>0,則F⑺在(0,+8)上單調遞增，

又F(1)=0,則當0。<1時，/(。<0,不合題意，舍去；

若a>0,則當，€(0M)時，尸。)<0,當小)時，F'。)>0,

則函數尸⑺在(0,。)上單調遞減，在(4+8)上單調遞增.

因為產⑴=0,

所以若a>l,則當fe(l,a),F(/)<0,舍去；

若則當f€(4」)，尸(。<0,舍去；

若a=l,則F(r)ZF(l)=0,符合題意，故a=l.

故選：A

【點睛】方法點睛：恒(能)成立問題的解法：

若f(x)在區間D上有最值，則

(1)恒成立：Vxe￡>,/(x)>0?/(x)^>0；VxeD,/(x)<0<s>/(x)n)ax<0；

(2)能成立：HreDJ(x)>0of(x)3>0；BxeD,/(x)<0?/(x)min<0.

若能分離常數，即將問題轉化為：?>/(%)(或〃<f(x)),則

⑴恒成立：a>/(x)??>/(x)nm；a<f(x)=a<〃x*n；

(2)能成立：?>/(x)<=>a>/(x)inin；a<f(x)<^>a</(x)^.

12.B

【分析】法一：由題設得r(x)=Y-2辦+1(。>0),結合二次函數的性質研究/(x)符號，進而確定/(X)的單調性,

求得不同情況下的最值并結合/(幻皿-/(幻臉,即可求參數范圍；

法二：由題設可得/(3。)=3。+1、/(-3〃)=-18"-34+1,應用作差法，與Ax)比較大小，即可確定最值結合

/(-v)n?x-/(A")min2一；,即可求參數范圍；

【詳解】法一：由題意，/'(x)=x2—2ox+l(a>0),對于用x)=0,

18

當△=4/-440,即0<。41時,小/。,/(x)在［―3凡3可上單調遞增，

所以f(3a)+f(-3a)=2-18/z-J,即因此0<〃4〈；

482

當△=4/-4>0,即時，由神市-八。、/(一3。)>0且/"(3。)>0,則用x)=0在［―3兄3句上有兩個不相

等的實根巧，X》

不妨設看<芻，則［-3a,%)上第x)>0,(%,%2)上/")<0,(和3雙上第x)>0,

所以/(x)在［-3a,芭)上單調遞增，在(不超)上單調遞減，在小，3句上單調遞增，

由此，/(比產血"〃-3a),/?)},/⑸而=max{/(3a),〃%)}?

由/(王)-〃3a)=gx：-端+%-3a=gx；(玉-3a)+玉-3a=(玉-3?)(gx；+1卜0,則/(演)</(3a),同理可得

/⑸>/(-3a),

所以/(“2=/。。)，”力而“=/(—3a),則f(3.)+/(—3a)=2_18a3zT，解得與。>1矛盾.

綜上，0<6Z<—.

法二：由題意得：f(3a)=I(3a)3-a(3a)2+3?+1=3a+1,/(-3a)=1(-3a)3-a(-3a)2-3a+1=-18a3-3a+1.

當xe［_3a,3可時，/(x)-/(3?)=-^x3-ax2+x-3a=-^x2(x-3a)+x-3a=(x-3a)^x2+l^j<0,即/(x)</(3a),

所以〃xU=/(3a)；

f(x)-f(-3a)=§x'-ux~+x-(-18a，-3a)——x3+ax~—2tlv+1Stz1+x+3a——x2(x+3a)-2a(x2-9a~)+x+3a,又

x+3a>0,x2-9a2<0,即/(x)2/(—3a),

所以/(%=/(')?

綜上，/(3a)+/(-3a)=3?+1-18o3-3a+1=2-18a3>--,即得

482

故選：B.

(101

13.(l)［-8,可

(2)證明見解析

【分析】⑴由題意可得/。)=-心竽里V0在(3,內)上恒成立，轉化為a4x+1在(3,田)上恒成立，構造函數

XX

19

〃(x)=x+,利用導數可求出其最小值,

〃止/伍),2?21nx2

(2)由(1)知：4，巧滿足f-6+1=0,中2=1，不妨設°<々<W，則x?>1,則%-9J__v

X)

所以只需證，-々+21門2<°成立，構造函數g(x)=L-l+21nx,利用求出其出其最大值小于零即可.

X2X

【詳解】(1)r(x)=--V-i+-=-v-T+I>又/(x)在區間(3,y)上單調遞減，

XXX

f'(x)=-廠一宇+140在(3,轉)上恒成立,即f一6+120在(3,”)上恒成立，

X

〃qx+-在(3,+oo)上恒成立；

設〃(x)=x+g,則”(x)=l一5，

當x>3時，〃(x)>0,.，?〃(x)單調遞增，

/?(x)>〃(3)=?,

即實數〃的取值范圍是18,與.

(2)由(1)知：X[,巧滿足X?+1=。?

x,x2=1,不妨設0<玉<工2，則工2〉1.

.1__i1.lnX|lnx2_2...一—當一2^―2111々

X-XX]/X)-Xx一WJ__Y，

22l*2

X2

則要證八七"〈I,即證_L_Y,

4一&E2

即證21nx2------，也即證----x2+2Inx2<()成立.

了2工2

設函數g(x)=/-l+21nx,則g[x)=1_]+2=_(*:1)<0,

g(x)在(0,+8)單調遞減，又g⑴=0.

.?.當xe(l,+oo)時，g(x)<0,

一」+21nx2<0,即/」)7(引<a-2.

X2再一％2

【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的綜合應用，考查利用導數求函數的單調性，考查利用導數證明不等式，解(2)

20

問解題的關鍵是根據題意將問題轉化為證,-々+2In9<0成立，構造函數g(x)=工_1+2Inx,利用導數求出其最

X2X

值即可，考查數學轉化思想，屬于較難題.

14.(1)極小值為-曉；，無極大值

⑵(《0).

【分析】(1)極值點就是導數等于零的解，且在解的左右兩邊區間的導數符號異號時才是極值點，進而求出極值.

(2)函數有兩個零點，轉化為兩個函數有兩個交點問題.求出函數的極值，并且得到函數的單調性，再分類討論即可

求出2個交點時的，〃的范圍.

【詳解】(1)已知f(x)=e*(x+2),則r(x)=r(%+3已令fM=0,得工=一3,

當x<-3時，/(x)<O,/(x)為減函數；

當x>-3時，/(x)>O,/(x)為增函數；

所以/(x)的極小值為/(-3)=-e-3,無極大值；

(2)g(x)=/(x)-5ev-m=ex(x-3)-m,

函數g(x)=e'(x-3)-利有兩個零點，等價于曲線〃(外=1(1-3)與直線丫=機有兩個交點.

u\x)=ex(x-3)+ex=e'(x-2),

令/(x)=。得x=2.當xe{-co,2)時,〃'(x)vO「.w(x)在(-<x),2)單調遞減，

當X€(2,-H?)時,〃'(X)>O「.〃(X)在(2,+8)單調遞增，

:.x=2時，取得極小值履2)=-。2,

又xw(2,+oo)時，〃(幻單調遞增，且x->+8時，〃(x)fy；

xe(-8,2)時〃(x)單調遞減，且時，?(%)->(),w(x)<0；

要使函數且。)=/(幻-51-根有兩個零點，

即曲線u(x)=e\x-3)與直線、=機有兩個交點.，

則只需"(2)=-e2<加<0.；.m的取值范圍為：(T,。).

【點睛】本題考查函數的極值定義，以及函數的零點問題轉化成函數的交點問題.屬于中等題.

15.⑴y=-1

21

⑵1-21n2.

【分析】(1)由導數的幾何意義即可求曲線產/(x)在x=l處的切線方程；

(2)將g(xj-g(&)轉化為比土-；(五-三)，從而構造G(f)=Inf-("」)，根據導數即可求得GQ)的最小值，從

x22x,xt2t

而得解.

【詳解】⑴r(x)=i-p所以切線斜率為r⑴=o,

又〃1)=-1,切點為所以切線方程為：y=-l.

1

(2)g(x)=\nx+—x~9-(b+l)x,

,1.x2—(/?+l)x+1

???g(X)=_+X_S+1)=——-——-——,

XX

若62/,則e+i)~-4=e+3)s-i)>。恒成立，

,X1+工2="1,XjX2=1,

y1

=L

g(%)-g(X2)In—+7(X1"—xl)-(b+1)(^—x2)

x22

=In--—(/?+l)(Xj—x2)

x22

_%1(x+x,)(x-x)

—in-------------1-----------1-----2--

x22x1x2

=lnA_l(A_^)(

x22x2%

0<x,<x2,

設，=五，貝ij0vf<1,

%

令G(f)=ln/」("1),0</<l,

2t

則G?)=J_2(i+4~)=_??<0,

t2r2r

.??G⑴在(0,1)上單調遞減;

a?s

b>~,/.(/?+l)2>y,

..+1)2=(再+?)2=』+21々+小