2023年下學期期末質量監測試卷高二數學（時量：120分鐘總分：150分考試形式：閉卷）一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定的直線方程，求出直線的斜率，進而求出傾斜角.【詳解】直線的斜率，所以該直線的傾斜角為.故選：B2.“”是“2，，8成等比數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用等比數列求出m，再結合充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】2，，8成等比數列，等價于，所以“”是“2，，8成等比數列”的充分不必要條件.故選：A3.已知等差數列中，，則數列的前8項和等于（）A.42 B.50 C.72 D.90【答案】C【解析】【分析】根據等差數列的性質求得正確答案.【詳解】根據題意，等差數列中，，則．故選：C4.如圖，在平行六面體中,為中點，則用向量可表示向量為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意結合空間向量的線性運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：B.5.已知直線的方向向量是，平面的法向量是，則與的位置關系是（）A. B.C.與相交但不垂直 D.或【答案】D【解析】【分析】根據給定條件，利用空間位置關系的向量證明判斷即得.【詳解】由直線的方向向量是，平面的法向量是，得，即，所以或.故選：D6.作圓上一點處的切線，直線與直線平行，則直線與的距離為（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷點在圓上，求出直線的斜率，確定出切線的斜率，求出的方程，得出，根據直線與直線平行，利用平行線的距離公式求出與的距離即可.【詳解】將點代入圓的方程：，所以點在圓上，因為：圓心，所以直線的斜率：，所以：切線的斜率為：，的方程為：，即：，又因為：直線與直線平行，所以：.所以：直線與直線的距離：，故A項正確.故選：A.7.已知點是拋物線上的一個動點，則點到點的距離與到該拋物線的準線的距離之和的最小值為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，確定點與拋物線的位置關系，再借助拋物線定義求解即得.【詳解】拋物線中，當時，，則點在拋物線外，拋物線的焦點，準線，過作直線的垂線，垂足為，連接，則，于是，當且僅當點是線段與拋物線的交點時取等號，所以點到點的距離與到該拋物線的準線的距離之和的最小值為.故選：C8.直線交橢圓于兩點，為橢圓上異于的點，，的斜率分別為，且，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設出點的坐標，結合橢圓方程及斜率坐標公式，利用離心率公式求解即可.【詳解】設點，則根據橢圓的對稱性知點，顯然，由與，相減得，整理得，而，于是，所以，所以該橢圓的離心率為.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是熟練掌握圓錐曲線的點差法，從而得解.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9.已知雙曲線，則下列關于雙曲線的結論正確的是（）A.實軸長為6 B.焦距為5C.離心率為 D.焦點到漸近線的距離為4【答案】AD【解析】【分析】根據題意，結合雙曲線的幾何性質，逐項判定，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，則，可得雙曲線的實軸長為，焦距為，離心率為，所以A正確，B、C不正確；又由雙曲線的漸近線方程為，即，且焦點，不妨設右焦點，漸近線為，則焦點到漸近線的距離為，所以D正確.故選：AD.10.在平面上，動點與兩定點滿足（且），則的軌跡是個圓，這個圓稱作為阿波羅尼斯圓.已知動點與兩定點滿足，記的軌跡為圓.則下列結論正確的是（）A.圓方程為：B.過點作圓的切線，則切線長是C.過點作圓的切線，則切線方程為D.直線與圓相交于兩點，則最小值是【答案】ABD【解析】【分析】利用距離關系列式求解方程判斷A，利用切線長定理求解判斷B，利用切線性質求出斜率，代入點斜式即可求出切線方程判斷C，先求出直線恒過定點，再利用幾何性質結合弦長公式求解判斷D.【詳解】對于A，由題意點，，因為，所以，即，所以動點M的軌跡圓C的方程為，正確；對于B，由選項A知圓心，半徑，設切點為D，所以，則，因為，所以，即過點作圓的切線，則切線長是，正確；對于C，因為，所以點在圓上，因為，所以過點的切線斜率為，所以切線方程為，即，錯誤；對于D，由，可得，聯立，解得，即該直線恒過定點，因為，所以點在圓內，由圖知，當軸時，有最小值是，正確.故選：ABD11.如圖所示，在棱長為1的正方體中，分別為的中點，則（）A.直線與所成的角為B.直線與平面所成的角為C.直線與平面平行D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】AC【解析】【分析】為直線與所成的角，計算得到A正確，為直線與平面所成的角，，B錯誤，平面∥平面，C正確，梯形為平面截正方體所得的截面，計算得到錯誤，得到答案.【詳解】對選項A：如圖1所示，連接，，，，則，，，故是平行四邊形，故，即，為直線與所成的角，為等邊三角形，故，正確；對選項B：如圖2所示，為中點，連接，，，故為平行四邊形，故，平面，則為直線與平面所成的角，，故，錯誤；對選項C：如圖3所示，為中點，連接，，，，則，，故為平行四邊形，故，平面，平面，故∥平面，同理可得∥平面，，故平面∥平面，平面，故直線與平面平行，正確；對選項D：如圖4所示，連接，，，則，，，故為平行四邊形，故，則，則梯形為平面截正方體所得的截面，，，，等腰梯形的高為，，錯誤；故選：AC12.關于函數，下列判斷正確的是（）A.是的極大值點B.函數有且只有1個零點C.對不等式在上恒成立D.對任意兩個正實數，且，若，則【答案】BC【解析】【分析】對于A，直接對函數求導研究即可；對于B，構造函數，求導，利用單調性來判斷即可；對于C，將問題轉化為在上恒成立，構造函數，求其最大值即可；對于D，將問題轉化為證明，，構造函數，利用導數求其最值可得答案.【詳解】對于A，，，令，得，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，為的極小值點，A錯誤；對于B，，則，所以函數在上單調遞減，又，所以函數有且只有1個零點，B正確；對于C，若在上恒成立，得在上恒成立，則令，則，令，，當時，，單調遞減，，即，在上單調遞減，故函數，則，C正確；對于D，令，，則在上單調遞減，則，即，，，結合A選項可得，，函數在上單調遞增，則，即對任意兩個正實數，且，若，則，D錯誤.故選：BC.【點睛】關鍵點點睛：本題難點在選項D，將問題轉化為證明，是關鍵，然后構造出函數來解決問題.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知空間向量，則______．【答案】【解析】【分析】利用空間向量坐標運算求解即得.【詳解】空間向量，所以.故答案為：14.已知直線的傾斜角，直線，則的斜率為__．【答案】【解析】【分析】先根據直線的傾斜角，直線，求出的傾斜角，再根據傾斜角與斜率的關系求出的斜率．【詳解】解：∵直線的傾斜角，直線，∴的傾斜角為，∴的斜率為，故答案為:．15.在數列中，，則______.【答案】【解析】【分析】根據等差數列的定義可知數列為首項為1公差為1的等差數列，結合通項公式求出，進而利用裂項相消法求和即可.【詳解】由得，又，則數列為首項為1，公差為1的等差數列，所以，得，所以，所以.故答案為：16.已知實數，滿足，則代數式的最大值為______.【答案】【解析】【分析】先根據方程判斷點的軌跡方程，再將其轉化為參數方程，代入所求式，利用正弦型函數的有界性求解即得.【詳解】因實數，滿足，，故可知點的軌跡是以為兩焦點的橢圓，軌跡方程為：，故可設該橢圓的參數方程為：（為參數）則，故當時，取得最大值為故答案為：【點睛】關鍵點點睛：根據兩變量滿足的方程，求解關于兩變量解析式的范圍或最值的題型，關鍵在于對方程的理解，如果滿足熟知的點的軌跡，則可以利用定義得出軌跡方程，再通過參數方程求出，將其轉化為單變量問題求解.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.矩形ABCD的兩條對角線相交于點，AB邊所在直線的方程為，點在AD邊所在直線上．（1）求AD邊所在直線的方程；（2）求矩形ABCD外接圓E的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據直線垂直得到直線AD的斜率，進而利用點斜式寫出AD邊所在直線的方程；（2）求出點坐標，且外接圓圓心為，從而寫出矩形外接圓的方程.【小問1詳解】因為AB邊所在直線的方程為，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為－3又因為點在直線AD上，所以AD邊所在直線的方程為，即；小問2詳解】由，解得：，故點A坐標為，因為矩形ABCD兩條對角線的交點為，所以點M為矩形ABCD外接圓圓心．又因為，從而矩形ABCD外接圓E的方程為.18.如圖，在正四棱柱中，，，點是的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1).(2).【解析】【詳解】分析：（1）直接建立空間直角坐標系，求出，D，M四點的坐標寫出對于的向量坐標，然后根據向量的夾角公式求解即可；（2）先根據坐標系求出平面的法向量，然后寫出向量，在根據向量夾角公式即可求解.詳解：在正四棱柱中，以為原點，、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系．因為，，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為．(2)，設平面的一個法向量為．則，得，取，得，，故平面的一個法向量為．于是，所以直線與平面所成角的正弦值為．點睛：考查線線角，線面角對于好建空間坐標系立體幾何題則首選向量做法，直接根據向量求解解題思路會比較簡單，但要注意坐標的準確性和向量夾角公式的熟悉，屬于基礎題.19.綜合應用拋物線和雙曲線的光學性質，可以設計制造反射式天文望遠鏡．這種望遠鏡的特點是，鏡筒可以很短而觀察天體運動又很清楚．例如，某天文儀器廠設計制造的一種鏡筒長為2m的反射式望遠鏡，其光學系統的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡弧所在的曲線為雙曲線的一個分支．已知，是雙曲線的兩個焦點，其中同時又是拋物線的焦點，試根據圖示尺寸（單位mm），分別求拋物線和雙曲線的方程．【答案】雙曲線方程為，拋物線方程為【解析】【分析】根據題意，對于雙曲線，有，求出，，可得雙曲線的方程；求出拋物線的頂點的橫坐標，可得拋物線的方程．【詳解】解：對于雙曲線，有，，，，雙曲線的方程為；拋物線的頂點的橫坐標是，拋物線的方程為．20.已知等比數列的前項和為，且，，成等差數列．（1）求的值及數列的通項公式；（2）若求數列的前項和【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）由等差數列的中項性質和數列的遞推式，等比數列的通項公式，可得所求；（2）求得，運用數列的錯位相減法，結合等比數列的求和公式，可得所求和．【小問1詳解】，，成等差數列，，即，當時，，即，當時，，是等比數列，，則，得，數列的通項公式為，；【小問2詳解】，則前項和，，兩式相減可得，化簡可得．21.如圖，正三角形與菱形所在的平面互相垂直，，，是的中點．（1）求點到平面的距離；（2）已知點在線段上，且直線與平面所成的角為，求出的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）連接，證明出、、兩兩垂直，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得點到平面的距離；（2）設，，求出向量的坐標，利用空間向量法可得出關于的等式，結合可求出的值，即可求出的值.【小問1詳解】解：連接，∵，是的中點，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，菱形中，，所以是正三角形，∴．∴、、兩兩垂直．以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，設是平面的一個法向量，則，令，得，設點到平面的距離為，則，所以，點到平面的距離為.【小問2詳解】解：由題意可知，平面的一個法向量為，，，設，，則，∵直線與平面所成的角為，，整理可得，解得，所以，．22.已知函數．（1）若在定義域內為單調遞減函數，求a的取值范圍；（2）求證：當且時，．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）在定義域內單調遞減轉化為恒成立，分