2025屆西藏自治區拉薩市八校高二上數學期末監測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為（）A. B.C. D.2．已知向量，，且與互相垂直，則（）A. B.C. D.3．函數單調減區間是（）A. B.C.和 D.4．已知圓與拋物線的準線相切，則實數p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或65．已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．已知，則點到平面的距離為（）A. B.C. D.7．若點，在拋物線上，是坐標原點，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.8．拋物線的焦點到直線的距離為，則（）A.1 B.2C. D.49．“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知直線，若圓C的圓心在軸上，且圓C與直線都相切，求圓C的半徑（）A. B.C.或 D.11．已知不等式解集為，下列結論正確的是（）A. B.C D.12．雙曲線的虛軸長為（）A. B.C.3 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且，則_____________14．直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為，直線是線段AB的垂直平分線，若，D為垂足，則D點的軌跡方程是______15．若函數的遞增區間是，則實數______.16．已知直線，拋物線上一動點到直線l的距離為d，則的最小值是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的短軸長為2，左、右焦點分別為，，過且垂直于長軸的弦長為1（1）求橢圓C的標準方程；（2）若A，B為橢圓C上位于x軸同側的兩點，且，共線，求四邊形的面積的最大值18．（12分）已知直線過點（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標軸的截距相等，求直線的方程19．（12分）已知橢圓C與橢圓有相同的焦點，且離心率為.（1）橢圓C的標準方程；（2）若橢圓C的兩個焦點，P是橢圓上的點，且，求的面積.20．（12分）已知函數.（1）當時，證明：函數圖象恒在函數的圖象的下方；（2）討論方程的根的個數.21．（12分）已知函數.（1）設x=2是函數f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調區間；（2）證明：當時，.22．（10分）已知圓C經過坐標原點O和點（4，0），且圓心在x軸上（1）求圓C的方程；（2）已知直線l：與圓C相交于A、B兩點，求所得弦長值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由向量線性運算得，利用數量積的定義和運算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.2、D【解析】根據垂直關系可得，由向量坐標運算可構造方程求得結果.【詳解】，，又與互相垂直，，解得：.故選：D.3、B【解析】根據函數求導，然后由求解.【詳解】因為函數，所以，由，解得，所以函數的單調遞減區間是，故選：B4、D【解析】由拋物線準線與圓相切，結合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準線方程為，即可求參數p.【詳解】圓的標準方程為：，故當時，有或，所以或，得或6故選：D5、A【解析】先根據雙曲線的離心率得到，然后由，得，即為所求的漸近線方程，進而可得結果【詳解】∵雙曲線的離心率，∴又由，得，即雙曲線（）的漸近線方程為，∴雙曲線的漸近線方程為故選：A6、A【解析】根據給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點到平面的距離.【詳解】依題意，，設平面的法向量，則，令，得，則點到平面的距離為，所以點到平面的距離為.故選：A7、A【解析】根據等邊三角形的面積求得邊長，根據角度求得點的坐標，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設等邊三角形的邊長為，則，解得根據拋物線的對稱性可知，且，設點在軸上方，則點的坐標為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A8、B【解析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.9、B【解析】因但10、C【解析】設出圓心坐標，利用圓心到直線的距離相等列方程，求得圓心坐標并求得圓的半徑.【詳解】設圓心坐標為，則或，所以圓的半徑為或.故選：C11、C【解析】根據不等式解集為，得方程解為或，且，利用韋達定理即可將用表示，即可判斷各選項的正誤.【詳解】解：因為不等式解集為，所以方程的解為或，且，所以，所以，所以，故ABD錯誤；，故C正確.故選：C.12、D【解析】根據題意，由雙曲線的方程求出的值，即可得答案【詳解】因為，所以，所以雙曲線的虛軸長為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由，可得，，，從而利用換底公式及對數的運算性質即可求解.【詳解】解：因為，所以，，，又，所以，所以，所以，故答案為：.14、【解析】設直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡，然后根據M為線段AB的中點結合根與系數的關系得到k,t間的關系，進而寫出線段AB的垂直平分線的直線方程，可以判斷它過定點E，再考慮直線l的斜率不存在的情況，根據題意可知，點D在以OE為直徑的圓上，最后求出點D的軌跡方程.【詳解】設直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡得：，設，則，解得.因為直線是線段AB的垂直平分線，故直線：，即：令，此時，，于是直線過定點當直線l的斜率不存在時，，直線也過定點點D在以OE為直徑的圓上，則圓心為，半徑，所以點D軌跡方程為：15、【解析】求得二次函數的單調增區間，即可求得參數的值.【詳解】因為二次函數開口向上，對稱軸為，故其單調增區間為，又由題可知：其遞增區間是，故.故答案為：.16、##【解析】作直線l，拋物線準線且交y軸于A點，根據拋物線定義有，進而判斷目標式最小時的位置關系，結合點線距離公式求最小值.【詳解】如下圖示：若直線l，拋物線準線且交y軸于A點，則，，由拋物線定義知：，則，所以，要使目標式最小，即最小，當共線時，又，此時.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）2【解析】（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）延長，交橢圓C于點．設出直線的方程并與橢圓方程聯立，化簡寫出根與系數關系，根據對稱性求得四邊形的面積的表達式，利用換元法，結合基本不等式求得四邊形的面積的最大值.【小問1詳解】由題可知，即，因為過且垂直于長軸的弦長為1，所以，所以所以橢圓C的標準方程為【小問2詳解】因為，共線，所以延長，交橢圓C于點．設，由（1）可知，可設直線的方程為聯立，消去x可得，所以，由對稱性可知設與間的距離為d，則四邊形的面積令，則．因為，當且僅當時取等號，所以，即四邊形的面積的最大值為2【點睛】在橢圓、雙曲線、拋物線中，求三角形、四邊形面積的最值問題，求解策略是：首先結合弦長公式、點到直線距離公式等求得面積的表達式；然后利用基本不等式、二次函數的性質等知識來求得最值.18、（1）（2）或【解析】(1)由兩條直線垂直可設直線的方程為，將點的坐標代入計算即可；(2)當直線過原點時，根據直線的點斜式方程即可得出結果；當直線不過原點時可設直線的方程為，將點的坐標代入計算即可.【小問1詳解】解：因為直線與直線垂直所以，設直線的方程為，因為直線過點，所以，解得，所以直線的方程為【小問2詳解】解：當直線過原點時，斜率為，由點斜式求得直線的方程是，即當直線不過原點時，設直線的方程為，把點代入方程得，所以直線的方程是綜上，所求直線的方程為或19、（1）（2）【解析】（1）由題意求出即可求解；（2）由橢圓的定義和三角形面積公式求解即可【小問1詳解】因為橢圓C與橢圓有相同的焦點，所以橢圓C的焦點，，，又，所以，，所以橢圓C的標準方程為.【小問2詳解】由，，得，，而，所以，所以20、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】（1）構造函數，利用導數判斷單調性，并求出函數的最大值小于零，即，即可得證；（2）將方程根的個數轉化為函數圖象與交點的問題，大致畫出函數的圖象，即可求解.【小問1詳解】設，其中，則，在區間上，單調遞減，又∵，即時，，∴，∴在區間上函數的圖象恒在函數的圖象的下方.【小問2詳解】由得，即，令，則，令，得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴在處取得最小值，∴，又∵當時，，當時，，有零點存在性定理可知函數有唯一的零點，∴的大致圖象如圖所示，∴當時，方程的根的個數為0；當或時，方程的根的個數為1；當時，方程的根的個數為2.21、（1），的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）證明見解析；【解析】（1）求出函數的定義域與導函數，依題意可得，即可求出參數的值，再根據導函數與函數的單調性的關系求出函數的單調區間；（2）依題意可得，令，即證，，又，所以即證，令，利用導數說明其單調性，即可得解；【詳解】解：（1）因為，定義域為，所以，因為是函數的極值點，所以，所以，解得，所以，令，則，所以在上單調遞增，又，所以當時，，即，所以在上單調遞減，當時，，即，所以上單調遞增，綜上