第01講函數的概念及其表示目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：函數的概念 3高頻考點二：函數定義域 5角度1：具體函數的定義域 5角度2：抽象函數定義域 5角度3：已知定義域求參數 5高頻考點三：函數解析式 6角度1：湊配法求解析式（注意定義域） 6角度2：換元法求解析式（換元必換范圍） 6角度3：待定系數法 7角度4：方程組消去法 7高頻考點四：分段函數 8角度1：分段函數求值 8角度2：已知分段函數的值求參數 9角度3：分段函數求值域（最值） 9高頻考點五：函數的值域 10角度1：二次函數求值域 10角度2：分式型函數求值域 10角度3：根式型函數求值域 10角度4：根據值域求參數 11第四部分：典型易錯題型 12備注：求函數解析式容易忽略定義域 12備注：抽象函數定義域問題容易忽視了，單獨一個“”的取值范圍叫定義域 12第五部分：新定義題（解答題） 12第一部分：基礎知識1、函數的概念設、是兩個非空數集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合中的任意一個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么稱為從集合到集合的一個函數，記作，.其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．2、同一（相等）函數函數的三要素：定義域、值域和對應關系．同一（相等）函數：如果兩個函數的定義和對應關系完全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩函數相等的依據．3、函數的表示函數的三種表示法解析法（最常用）圖象法（解題助手）列表法就是把變量，之間的關系用一個關系式來表示，通過關系式可以由的值求出的值.就是把，之間的關系繪制成圖象，圖象上每個點的坐標就是相應的變量，的值.就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關系.4、分段函數若函數在其定義域內，對于定義域內的不同取值區間，有著不同的對應關系，這樣的函數通常叫做分段函數．5、高頻考點結論5.1函數的定義域是使函數解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數定義域的要求為：(1)分式型函數：分母不等于零.(2)偶次根型函數：被開方數大于或等于0.(3)一次函數、二次函數的定義域均為(4)的定義域是.(5)(且)，，的定義域均為.(6)(且)的定義域為.(7)的定義域為.5.2函數求值域（1）分離常數法：將形如()的函數分離常數，變形過程為：，再結合的取值范圍確定的取值范圍，從而確定函數的值域.（2）換元法：如：函數，可以令，得到，函數可以化為()，接下來求解關于t的二次函數的值域問題，求解過程中要注意t的取值范圍的限制．（3）基本不等式法和對勾函數（4）單調性法（5）求導法第二部分：高考真題回顧1．（2023·北京·統考高考真題）已知函數，則．2．（2022·北京·統考高考真題）設函數若存在最小值，則a的一個取值為；a的最大值為．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：函數的概念典型例題例題1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中學校考階段練習）下列四個圖形中，不是以為自變量的函數的圖象是（

）A． B．C． D．例題2．（2024上·四川瀘州·高一統考期末）托馬斯說：“函數是近代數學思想之花”根據函數的概念判斷：下列對應關系是集合到集合的函數的是（）A． B． C． D．練透核心考點1．（2024上·海南省直轄縣級單位·高三校考階段練習）已知函數的對應關系如下表所示，函數的圖象是如下圖所示，則的值為（

）12343A． B．0 C．3 D．42．（多選）（2024上·陜西安康·高一校考期末）下列各圖中，是函數圖象的是（

）A． B．

C．

D．

高頻考點二：函數定義域角度1：具體函數的定義域典型例題例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯考開學考試）函數的定義域為（

）A．且 B． C． D．例題2．（2024上·北京東城·高三統考期末）函數的定義域為.角度2：抽象函數定義域典型例題例題1．（2024上·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學學業考試）已知函數的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學校聯考期末）若冪函數的圖象過點，則的定義域是（

）A． B． C． D．角度3：已知定義域求參數典型例題例題1．（2024上·吉林通化·高三校考階段練習）已知函數的定義域是R，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2024·全國·高三專題練習）若函數的定義域為，則的值為．練透核心考點1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B．C． D．2．（2024上·山西長治·高一校聯考期末）函數的定義域為.3．（2024·全國·高三專題練習）若函數的定義域為，則實數a的取值范圍為.4．（2024·全國·高三專題練習）函數的定義域為，則實數的值為．高頻考點三：函數解析式角度1：湊配法求解析式（注意定義域）典型例題例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，則函數，=．例題2．（2024上·重慶長壽·高一重慶市長壽中學校校聯考期末）已知（a，b均為常數），且．(1)求函數的解析式；角度2：換元法求解析式（換元必換范圍）典型例題例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知函數，則的解析式為（

）A． B．C． D．例題2．（2024·全國·高三專題練習）已知，求的解析式.角度3：待定系數法典型例題例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知函數是一次函數，且，則（

）A．11 B．9 C．7 D．5例題2．（2024·江蘇·高一專題練習）設二次函數滿足，且，求的解析式.角度4：方程組消去法典型例題例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知滿足，則解析式為．例題2．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，求函數的解析式．練透核心考點1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知函數，則的解析式為（

）A． B．C． D．2．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，則（

）A． B．C． D．3．（2024·全國·高三專題練習）若函數滿足方程且，則：（1）；（2）．4．（2024·全國·高三專題練習）已知定義域為R的函數滿足，則.5．（2024·江蘇·高一專題練習）求下列函數的解析式(1)設函數是一次函數，且滿足，求的解析式(2)設滿足，求的解析式6．（2024·江蘇·高一專題練習）（1）已知是一次函數，且滿足，求的解析式；（2）已知，求的解析式；高頻考點四：分段函數角度1：分段函數求值典型例題例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯考期末）已知函數，，則（

）A． B． C． D．0例題2．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學校考期末）已知函數，則．角度2：已知分段函數的值求參數典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知函數且，則（

）A．-16 B．16 C．26 D．27例題2．（2024上·江蘇常州·高三統考期末）已知函數若，則實數的值為．角度3：分段函數求值域（最值）典型例題例題1．（2024上·河南南陽·高一校聯考期末）函數的值域為（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·四川達州·高一統考期末）已知函數，則的最大值是（

）A．60 B．58 C．56 D．52練透核心考點1．（2024上·云南大理·高一統考期末）已知，，則函數的值域為（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西西安·統考一模）已知函數，則（

）A． B． C． D．2例題1．（2024·全國·高一假期作業）函數的值域為（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函數.(1)求的解析式；(2)求的值域.角度4：根據值域求參數典型例題例題1．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實驗學校校考一模）已知函數，若的值域為，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2024·上海·高一假期作業）已知，若函數的值域為，則實數的取值范圍為.例題3．（2024上·廣東深圳·高一深圳市高級中學校考期末）已知函數的值域為，則實數的取值范圍為．練透核心考點1．（2024上·廣東廣州·高二廣東實驗中學校聯考期末）函數的最大值是（

）A． B． C． D．42．（2024·全國·高三專題練習）已知函數若的值域為,則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·高三專題練習）世界公認的三大著名數學家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數學王子”美譽的高斯提出了取整函數，表示不超過x的最大整數，例如．已知，，則函數的值域為．4．（2024·全國·高三專題練習）函數的值域是或，則此函數的定義域為.5．（2024·全國·高三專題練習）求函數的值域為.6．（2024·全國·高三專題練習）已知函數的值域為，則常數．7．（2024·江蘇·高一假期作業）求下列函數的值域.(1)(2)第四部分：典型易錯題型備注：求函數解析式容易忽略定義域1．（2023上·廣東佛山·高一校考期中）已知函數，則函數的解析式為．2．（2023上·江蘇鹽城·高一校考期中）若函數，則．備注：抽象函數定義域問題容易忽視了，單獨一個“”的取值范圍叫定義域1．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B．C． D．2．（2023上·江西贛州·高一江西省信豐中學校考階段練習）若函數的定義域是，則函數的定義域是.第五部分：新定義題（解答題）1．（2024上·重慶·高一校聯考期末）已知函數的定義域為，若存在實數，使得，都滿足，則稱函數為“三倍函數”.(1)判斷函數是否為“三倍函數”，并說明理由；(2)若函數，為“三倍函數”，求的取值范圍.第01講函數的概念及其表示目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：函數的概念 4高頻考點二：函數定義域 6角度1：具體函數的定義域 6角度2：抽象函數定義域 6角度3：已知定義域求參數 7高頻考點三：函數解析式 9角度1：湊配法求解析式（注意定義域） 9角度2：換元法求解析式（換元必換范圍） 10角度3：待定系數法 11角度4：方程組消去法 12高頻考點四：分段函數 15角度1：分段函數求值 15角度2：已知分段函數的值求參數 16角度3：分段函數求值域（最值） 17高頻考點五：函數的值域 20角度1：二次函數求值域 20角度2：分式型函數求值域 21角度3：根式型函數求值域 22角度4：根據值域求參數 23第四部分：典型易錯題型 27備注：求函數解析式容易忽略定義域 27備注：抽象函數定義域問題容易忽視了，單獨一個“”的取值范圍叫定義域 28第五部分：新定義題（解答題） 29第一部分：基礎知識1、函數的概念設、是兩個非空數集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合中的任意一個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么稱為從集合到集合的一個函數，記作，.其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．2、同一（相等）函數函數的三要素：定義域、值域和對應關系．同一（相等）函數：如果兩個函數的定義和對應關系完全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩函數相等的依據．3、函數的表示函數的三種表示法解析法（最常用）圖象法（解題助手）列表法就是把變量，之間的關系用一個關系式來表示，通過關系式可以由的值求出的值.就是把，之間的關系繪制成圖象，圖象上每個點的坐標就是相應的變量，的值.就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關系.4、分段函數若函數在其定義域內，對于定義域內的不同取值區間，有著不同的對應關系，這樣的函數通常叫做分段函數．5、高頻考點結論5.1函數的定義域是使函數解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數定義域的要求為：(1)分式型函數：分母不等于零.(2)偶次根型函數：被開方數大于或等于0.(3)一次函數、二次函數的定義域均為(4)的定義域是.(5)(且)，，的定義域均為.(6)(且)的定義域為.(7)的定義域為.5.2函數求值域（1）分離常數法：將形如()的函數分離常數，變形過程為：，再結合的取值范圍確定的取值范圍，從而確定函數的值域.（2）換元法：如：函數，可以令，得到，函數可以化為()，接下來求解關于t的二次函數的值域問題，求解過程中要注意t的取值范圍的限制．（3）基本不等式法和對勾函數（4）單調性法（5）求導法第二部分：高考真題回顧1．（2023·北京·統考高考真題）已知函數，則．【答案】1【分析】根據給定條件，把代入，利用指數、對數運算計算作答.【詳解】函數，所以.故答案為：12．（2022·北京·統考高考真題）設函數若存在最小值，則a的一個取值為；a的最大值為．【答案】0（答案不唯一）1【分析】根據分段函數中的函數的單調性進行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據定義域討論可知或，

解得.【詳解】解：若時，，∴；若時，當時，單調遞增，當時，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時，當時，單調遞減，，當時，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），1第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：函數的概念典型例題例題1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中學校考階段練習）下列四個圖形中，不是以為自變量的函數的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據函數定義作出判斷.【詳解】根據函數定義，在定義域內，對于任意的，只能有唯一確定的與其對應，ABC滿足要求，D選項，在定義域內對于，有兩個確定的與其對應，D錯誤.故選：D例題2．（2024上·四川瀘州·高一統考期末）托馬斯說：“函數是近代數學思想之花”根據函數的概念判斷：下列對應關系是集合到集合的函數的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，利用函數的定義，逐項判斷即可.【詳解】對于A，集合中的元素按對應關系，在集合中沒有元素與之對應，A不是；對于B，集合中的元素按對應關系，在集合中沒有元素與之對應，B不是；對于C，集合中的每個元素按對應關系，在集合中都有唯一元素與之對應，C是；對于D，集合中的元素按對應關系，在集合中沒有元素與之對應，D不是.故選：C練透核心考點1．（2024上·海南省直轄縣級單位·高三校考階段練習）已知函數的對應關系如下表所示，函數的圖象是如下圖所示，則的值為（

）12343A． B．0 C．3 D．4【答案】D【分析】觀察函數圖象得，再利用數表求解即得.【詳解】觀察函數的圖象，得，由數表得，所以.故選：D2．（多選）（2024上·陜西安康·高一校考期末）下列各圖中，是函數圖象的是（

）A． B．

C．

D．

【答案】BD【分析】根據函數的定義判斷即可.【詳解】根據函數的定義，對于定義域內的每一個值都有唯一的一個值與之對應，可看出BD滿足.故選：BD高頻考點二：函數定義域角度1：具體函數的定義域典型例題例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯考開學考試）函數的定義域為（

）A．且 B． C． D．【答案】C【分析】可直接求出函數的定義域進行判斷.【詳解】由題得，解得，即函數的定義域為.故選：例題2．（2024上·北京東城·高三統考期末）函數的定義域為.【答案】【分析】根據分式的分母不為，對數的真數大于求解即可.【詳解】，解得且，函數的定義域為.故答案為：.角度2：抽象函數定義域典型例題例題1．（2024上·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學學業考試）已知函數的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據抽象函數的定義域可得滿足，結合根式的意義即可求解.【詳解】因為函數的定義域為，所以滿足，即，又，即，所以，解得.所以函數的定義域為.故選：D.例題2．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學校聯考期末）若冪函數的圖象過點，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，根據冪函數的圖象過點求出的值，即可求出的定義域，再根據抽象函數的定義域計算規則得到，解得即可.【詳解】設，依題意可得，解得，所以，所以的定義域為，值域為，且，對于函數，則，解得，即函數的定義域是.故選：B角度3：已知定義域求參數典型例題例題1．（2024上·吉林通化·高三校考階段練習）已知函數的定義域是R，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，建立恒成立的不等式，再分類討論求解作答.【詳解】依題意，，不等式恒成立，當時，恒成立，則，當時，有，解得，則，因此所以的取值范圍是例題2．（2024·全國·高三專題練習）若函數的定義域為，則的值為．【答案】【分析】由定義域得一元二次不等式的解，從而由二次不等式的性質可得參數值．【詳解】由題意的解是，所以，解得，，所以．故答案為：．練透核心考點1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意得到，再解不等式組即可.【詳解】根據題意可得，解得且．故選：C.故選：C2．（2024上·山西長治·高一校聯考期末）函數的定義域為.【答案】【分析】根據根號下部分大于等于0建立不等式求解即可.【詳解】令，則或，解得或，所以函數的定義域為.故答案為：3．（2024·全國·高三專題練習）若函數的定義域為，則實數a的取值范圍為.【答案】【分析】根據題意轉化為在恒成立，結合一元二次方程的性質，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數的定義域為，即在恒成立，結合一元二次方程的性質，則滿足，解得，所以實數的取值范圍為.故答案為：4．（2024·全國·高三專題練習）函數的定義域為，則實數的值為．【答案】【分析】函數定義域滿足，根據解集結合根與系數的關系解得答案.【詳解】的定義域滿足：，解集為，故且，解得.故答案為：高頻考點三：函數解析式角度1：湊配法求解析式（注意定義域）典型例題例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，則函數，=．【答案】11【分析】利用換元法可求出，進一步可得.【詳解】令，則，所以，所以，所以.故答案為：；.例題2．（2024上·重慶長壽·高一重慶市長壽中學校校聯考期末）已知（a，b均為常數），且．(1)求函數的解析式；【答案】(1)【分析】（1）由，代入函數解析式求出，得函數的解析式；【詳解】（1）由，得，即，由，可得解得所以角度2：換元法求解析式（換元必換范圍）典型例題例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知函數，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據換元法求函數解析式.【詳解】令，可得.所以，因此的解析式為.故選：D.例題2．（2024·全國·高三專題練習）已知，求的解析式.【答案】【分析】令，則，代入函數解析式可得解.【詳解】由，令，則，所以，所以.【點睛】本題主要考查了已知的解析式求解析式的求解，解題的關鍵是換元法，但是需要主要定義域的變化，屬于基礎題角度3：待定系數法典型例題例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知函數是一次函數，且，則（

）A．11 B．9 C．7 D．5【答案】A【分析】設，根據恒成立可得a，b，然后可解.【詳解】設，則，整理得，所以，解，所以，所以.故選：A例題2．（2024·江蘇·高一專題練習）設二次函數滿足，且，求的解析式.【答案】【分析】根據題意設，由求出c，由可求得，即可得答案.【詳解】設二次函數為，因為，所以，所以，又因為，即，所以，解得：，所以函數解析式為.角度4：方程組消去法典型例題例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知滿足，則解析式為．【答案】【分析】用代得出一個式子，利用方程思想求解函數解析式.【詳解】由

①用代可得，

②由①②可得：故答案為：例題2．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，求函數的解析式．【答案】【分析】通過構造方程組的方法來求得的解析式.【詳解】①，以替換，得②，得：，所以.練透核心考點1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知函數，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據條件，通過配湊即可求出結果.【詳解】因為，所以.故選：D.2．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法直接求解即可.【詳解】令，，則，，所以，所以的解析式為：故選：B.3．（2024·全國·高三專題練習）若函數滿足方程且，則：（1）；（2）．【答案】【分析】令可得；用替換，再解方程組可得答案.【詳解】令可得：，所以；由①得，②，聯立①②可得：.故答案為：①；②.4．（2024·全國·高三專題練習）已知定義域為R的函數滿足，則.【答案】【解析】由題意利用方程思想求得函數的解析式即可.【詳解】因為，所以，同除以2得，兩式相加可得，即.故答案為：.【點睛】求函數解析式常用方法：(1)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，可用待定系數法；(2)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；(3)方程法：已知關于f(x)與或f(－x)的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．5．（2024·江蘇·高一專題練習）求下列函數的解析式(1)設函數是一次函數，且滿足，求的解析式(2)設滿足，求的解析式【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用待定系數法求函數解析式；（2）利用消元法求函數解析式.【詳解】（1）設一次函數的解析式為，則，所以，解得，或，所以或.（2）由①，得②，①②得，即.6．（2024·江蘇·高一專題練習）（1）已知是一次函數，且滿足，求的解析式；（2）已知，求的解析式；【答案】（1）；（2）【分析】（1）設出，根據題目條件得到方程組，求出，，得到函數解析式；（2）換元法求出函數解析式，注意自變量取值范圍.【詳解】（1）由題意，設函數為，，，即，由恒等式性質，得，，，所求函數解析式為（2）令，則，，因為，所以，所以.高頻考點四：分段函數角度1：分段函數求值典型例題例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯考期末）已知函數，，則（

）A． B． C． D．0【答案】C【分析】由題意首先將代入得的值，進一步將代入即可求解.【詳解】由題意，解得，所以.故選：C.例題2．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學校考期末）已知函數，則．【答案】【分析】由，從而可求解.【詳解】由題意知當，，則，所以.故答案為：.角度2：已知分段函數的值求參數典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知函數且，則（

）A．-16 B．16 C．26 D．27【答案】C【分析】根據函數解析式，結合指數對數運算性質分類討論進行求解即可.【詳解】當時，，當時，，所以，故選：C例題2．（2024上·江蘇常州·高三統考期末）已知函數若，則實數的值為．【答案】【分析】利用分段函數求解即可.【詳解】，，．故答案為：角度3：分段函數求值域（最值）典型例題例題1．（2024上·河南南陽·高一校聯考期末）函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一，根據題意，分別求出當時與當時的最值，即可得到分段函數的值域；法二，畫出的草圖，數形結合可求出值域；【詳解】法一：因為且，所以當時，，當時，；當時，，所以函數的最小值為，最大值為3，故函數的值域為.法二：畫出的草圖，如圖所示，由圖象可知函數的最小值為，最大值為3，故函數的值域為.

故選：D例題2．（2024上·四川達州·高一統考期末）已知函數，則的最大值是（

）A．60 B．58 C．56 D．52【答案】C【分析】分和兩種情況討論，結合二次函數和反比例函數的性質即可得解.【詳解】當時，，此時，當時，在上單調遞減，此時，綜上所述，.故選：C.練透核心考點1．（2024上·云南大理·高一統考期末）已知，，則函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得到，再作出其圖象求解.【詳解】解：由題意得：，其圖象，如圖所示：

由圖象知：函數y的值域為，故選：A2．（2024·陜西西安·統考一模）已知函數，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據給定的分段函數，依次代入計算即得.【詳解】函數，則，所以.故選：A3．（多選）（2024上·山東濟寧·高一統考期末）已知，若，則所有可能的值是（

）A．－1 B． C．1 D．【答案】BD【分析】利用函數的解析式，結合指數、對數運算可求得結果.【詳解】由已知可得或或，解得，或.故選：BD4．（2024·全國·模擬預測）函數的值域為．【答案】【分析】分別計算出分段函數每段函數取值范圍后取并集即可得.【詳解】當時，，當時，，所以的值域為．故答案為：.高頻考點五：函數的值域角度1：二次函數求值域典型例題例題1．（2024上·上海·高一校考期末）函數，的最小值是.【答案】【分析】根據二次函數的單調性進行求解即可.【詳解】因為的圖象開口向上，對稱軸為，又，所以的最小值是.故答案為：.例題2．（2024上·湖南衡陽·高一統考期末）已知二次函數滿足．(1)求的解析式．(2)求在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，則，利用換元法代入可求得的解析式；（2）由（1）可得函數的解析式，結合二次函數的性質分析可得答案.【詳解】（1）令，則，，∴.（2）因為，所以的圖象對稱軸為，在上遞減，在上遞增，∴，，即的值域為.角度2：分式型函數求值域典型例題例題1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）函數的值域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分離常數，再確定分式函數值域，最后確定整個函數的值域.【詳解】，而由函數向右平移3個單位得到，所以得值域和的值域相同，都為，所以得值域為，故選：B例題2．（2024上·上海·高一上海中學校考期末）函數的值域是．【答案】【分析】利用分離常數項整理化簡函數解析式，根據指數函數的性質以及不等式性質，可得答案.【詳解】由題意可知，函數，由，，或，則或，即函數值域為.故答案為：角度3：根式型函數求值域典型例題例題1．（2024·全國·高一假期作業）函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，，可得，利用函數單調性求值域.【詳解】令，，則，所以函數，函數在上單調遞增，時，有最小值，所以函數的值域為.故選：C例題2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函數.(1)求的解析式；(2)求的值域.【答案】(1)(2).【分析】（1）換元法求解析式；（2）求復合函數的值域，先由內層二次函數配方法求值域，再由冪函數的性質可得函數值域.【詳解】（1）令，則，所以，故.（2）由（1）知，設，圖象開口向上，由，，的值域為，令，則的值域即函數的值域，由函數在單調遞增，則，的值域為.故的值域為.角度4：根據值域求參數典型例題例題1．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實驗學校校考一模）已知函數，若的值域為，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助的值域為可得要取遍所有的正數，對進行分類討論即可得.【詳解】若函數的值域為，則要取遍所有的正數．所以或，解得，即實數的取值范圍是.故選：A．例題2．（2024·上海·高一假期作業）已知，若函數的值域為，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】分類討論，在時由可得．【詳解】時，不合題意，因此且，∴，故答案為：．例題3．（2024上·廣東深圳·高一深圳市高級中學校考期末）已知函數的值域為，則實數的取值范圍為．【答案】【分析】先求解出時的值域，然后根據分類討論時的值域，由此確定出的取值范圍.【詳解】當時，，此時，當且時，，此時，且，所以不滿足；當且時，，由對勾函數單調性可知在上單調遞增，在上單調遞減，所以，此時，若要滿足的值域為，只需要，解得；當且時，因為均在上單調遞增，所以在上單調遞增，且時，，時，，所以此時，此時顯然能滿足的值域為；綜上可知，的取值范圍是，故答案為：.練透核心考點1．（2024上·廣東廣州·高二廣東實驗中學校聯考期末）函數的最大值是（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】設，根據輔助角公式，結合三角函數的性質求解.【詳解】由，解得，故的定義域為.設，則，其中，，∵，則，∴當，即時，取最大值，即函數的最大值是.故選：B.2．（2024·全國·高三專題練習）已知函數若的值域為,則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別畫出分段函數對應的兩個函數圖象，再對實數的取值進行分類討論即可.【詳解】根據題意可得，在同一坐標系下分別畫出函數和的圖象如下圖所示：由圖可知，當或時，兩圖象相交，若的值域是，以實數為分界點，可進行如下分類討論：當時，顯然兩圖象之間不連續，即值域不為；同理當,值域也不是；當時，兩圖象相接或者有重合的部分，此時值域是；綜上可知，實數的取值范圍是.故選：B3．（2024·全國·高三專題練習）世界公認的三大著名數學家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數學王子”