第05講利用導數研究不等式能成立（有解）問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：分離變量法 3高頻考點二：分類討論法 4高頻考點三：等價轉化法 6高頻考點四：最值定位法解決雙參不等式問題 8高頻考點五：值域法解決雙參等式問題 10第四部分：新定義題 12 第一部分：基礎知識1、分離參數法用分離參數法解含參不等式恒成立問題，可以根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量表達式的不等式；步驟：①分類參數（注意分類參數時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.2、分類討論法如果無法分離參數，可以考慮對參數或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數與判別式的方法(，或，)求解．3、等價轉化法當遇到型的不等式有解（能成立）問題時，一般采用作差法，構造“左減右”的函數或者“右減左”的函數，進而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數中，轉化為求解函數的最值的問題.4、最值定位法解決雙參不等式問題（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立5、值域法解決雙參等式問題,,使得成立①，求出的值域，記為②求出的值域，記為③則,求出參數取值范圍.第二部分：高考真題回顧1．（2021·天津·高考真題）已知，函數．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數b的取值范圍．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：分離變量法典型例題例題1．（2024·四川宜賓·二模）已知不等式有解，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．例題2．（23-24高二下·江西景德鎮·階段練習）已知函數，若，不等式在上存在實數解，則實數的取值范圍．例題3．（2024·福建泉州·模擬預測）（1）已知，求的最大值與最小值；（2）若關于x的不等式存在唯一的整數解，求實數a的取值范圍.例題4．（23-24高三上·青海西寧·期末）已知函數.(1)證明：.(2)若關于的不等式有解，求的取值范圍.練透核心考點1．（2024·吉林延邊·一模）若對任意，存在實數，使得關于x的不等式成立，則實數的最小值為．2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，若存在，使得，則實數的取值范圍．3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，若使不等式成立，求的取值范圍.4．（2023高三·全國·專題練習）已知函數.(1)求函數的極值；(2)若存在，使得成立，求實數m的最小值.高頻考點二：分類討論法典型例題例題1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知關于的不等式解集中恰有3個不同的正整數解，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.(1)求函數的極值；(2)若對任意有解，求的取值范圍.例題3．（23-24高二下·重慶綦江·期中）已知函數（），（）．(1)若函數在處的切線方程為，求實數與的值；(2)當時，若對任意的，存在，使得，求實數的取值范圍．例題4．（2024·四川瀘州·二模）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，，求實數a的取值范圍．練透核心考點1．（23-24高二下·江蘇泰州·期中）若，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2023高三·全國·專題練習）已知函數，若在上存在一點，使得成立，求的取值范圍.3．（23-24·吉林長春·模擬預測）已知函數.(1)當時，求的單調區間與極值；(2)若在上有解，求實數a的取值范圍.4．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知函數.(1)若，求函數的單調區間；(2)若存在，使得，求的取值范圍.高頻考點三：等價轉化法典型例題例題1．（2024·浙江·模擬預測）已知函數，，若關于的不等式有解，則的最小值是.例題2．（2024·江蘇·一模）已知函數，函數.(1)若過點的直線與曲線相切于點，與曲線相切于點.①求的值；②當兩點不重合時，求線段的長；(2)若，使得不等式成立，求的最小值.例題3．（23-24高二下·海南省直轄縣級單位·期中）已知.(1)求函數的最小值；(2)若存在，使成立，求實數a的取值范圍；練透核心考點1．（23-24高二下·北京·期中）已知函數，.(1)求的單調區間；(2)若存在（是常數，）使不等式成立，求實數a的取值范圍.2．（2023·河北承德·模擬預測）已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)若，求實數的取值范圍.3．（23-24高二下·山東聊城·階段練習）已知函數，(1)若，且對于任意，恒成立，求實數k的取值范圍；(2)令，若至少存在一個實數，使成立，求實數k的取值范圍．高頻考點四：最值定位法解決雙參不等式問題典型例題例題1．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數．(1)當時，求函數的最小值；(2)若，且對，都，使得成立，求實數的取值范圍．2．（2023高三·全國·專題練習）已知函數，其中參數．設函數，存在實數，使得不等式成立，求a的取值范圍．3．（23-24高二下·甘肅張掖·階段練習）已知函數為的導數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)，若對任意，均存在，使得，求實數的取值范圍.高頻考點五：值域法解決雙參等式問題典型例題例題1．（23-24高一下·河南·階段練習）已知函數和函數.(1)當時，滿足不等式成立，求實數的取值范圍；(2)若函數在上單調遞增，且對于任意，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.例題2．（23-24高一上·遼寧遼陽·期末）已知函數．(1)求的解析式；(2)若函數，，，，求的取值范圍．例題3．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習）己知函數(1)當時，解不等式；(2)已知，當時，若對任意的，總存在，使成立，求實數m的取值范圍．練透核心考點1．（23-24高一上·江蘇鎮江·階段練習）已知函數.(1)求不等式的解集.(2)記，對，總使得成立，求實數的取值范圍.2．（23-24高一上·廣東茂名·階段練習）已知函數，，(1)若不等式在區間上恒成立，求實數的取值范圍；(2)若對任意的，存在，使得，求實數的取值范圍．3．（23-24高一上·北京·期中）“函數的圖象關于點對稱”的充要條件是“對于函數定義域內的任意，都有，若函數的圖象關于點對稱，且當時，(1)求的值；(2)設函數①證明函數的圖象關于點稱；②若對任意，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.第四部分：新定義題.1．（23-24高一下·湖南長沙·開學考試）若函數對定義域內的每一個值，在其定義域內都存在唯一的，使成立，則稱該函數為“依賴函數”.(1)判斷函數是否為“依賴函數”，并說明理由；(2)已知函數在定義域上為“依賴函數”，若存在實數，使得對任意的，不等式都成立，求實數的最大值.第05講利用導數研究不等式能成立（有解）問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：分離變量法 3高頻考點二：分類討論法 10高頻考點三：等價轉化法 18高頻考點四：最值定位法解決雙參不等式問題 25高頻考點五：值域法解決雙參等式問題 31第四部分：新定義題 37 第一部分：基礎知識1、分離參數法用分離參數法解含參不等式恒成立問題，可以根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量表達式的不等式；步驟：①分類參數（注意分類參數時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.2、分類討論法如果無法分離參數，可以考慮對參數或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數與判別式的方法(，或，)求解．3、等價轉化法當遇到型的不等式有解（能成立）問題時，一般采用作差法，構造“左減右”的函數或者“右減左”的函數，進而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數中，轉化為求解函數的最值的問題.4、最值定位法解決雙參不等式問題（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立5、值域法解決雙參等式問題,,使得成立①，求出的值域，記為②求出的值域，記為③則,求出參數取值范圍.第二部分：高考真題回顧1．（2021·天津·高考真題）已知，函數．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【分析】（I）求出在處的導數，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點，利用導數求出的變化情況，數形結合即可求解；（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導數即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，當時，，，當時，，畫出大致圖像如下：所以當時，與僅有一個交點，令，則，且，當時，，則，單調遞增，當時，，則，單調遞減，為的極大值點，故存在唯一的極值點；（III）由（II）知，此時，所以，令，若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，故，所以實數b的取值范圍.【點睛】關鍵點睛：第二問解題的關鍵是轉化為證明與僅有一個交點；第三問解題的關鍵是轉化為存在，使得，即.第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：分離變量法典型例題例題1．（2024·四川宜賓·二模）已知不等式有解，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分離參數轉化為，構造函數，利用導數法求出，即為所求.【詳解】不等式有解，即，，只需要，令，，，令，，，所以函數在上單調遞增，又，，所以存在，使得，即，，，即；，，即，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，，又由，可得，..故選：A.【點睛】思路點睛：由題意問題轉化為，，構造函數，利用導數求出的最小值，即只要.例題2．（23-24高二下·江西景德鎮·階段練習）已知函數，若，不等式在上存在實數解，則實數的取值范圍．【答案】【分析】將問題轉化為在上存在實數解，令，由求解.【詳解】原條件等價于：在上存在實數解．則在上存在實數解，令，則，因為時，，則，故在上單調遞增，∴的最小值為，∴時，不等式在上存在實數解．所以實數的取值范圍是.故答案為：例題3．（2024·福建泉州·模擬預測）（1）已知，求的最大值與最小值；（2）若關于x的不等式存在唯一的整數解，求實數a的取值范圍.【答案】（1）最大值，最小值1；（2）【分析】（1）求導，利用導數研究函數的單調性，結合區間端點函數值比較大小即可求解最值；（2）解法一：把不等式化為，由的單調性結合端點函數值分析求解即可；解法二：令，求導，對a進行分類討論，判斷函數單調性及最大值，從而求得a的范圍，結合有唯一整數解，進一步求出a的取值范圍.【詳解】（1）因為，，所以，令，解得，，的變化情況如下表所示．x1+0單調遞增單調遞減1所以，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.當時，有極大值，也是的最大值.又因為，，而，所以，所以為的最小值.（2）解法一：因為，所以不等式可化為，由（1）可知在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.因為的最大值，，，，，所以，時，最大，所以不等式，即存在唯一的整數解只能為1，所以，所以a的取值范圍為.解法二：令，由題意可知有唯一整數解，，當時，，所以在單調遞增，而，所以，與題意矛盾；當時，由可得或（舍去），當時，，時，，所以在單調遞增，在單調遞減，所以時，取最大值為，由題意可知，解得，因為，所以當即時，由有唯一整數解知，解得，若，由在單調遞增知，矛盾所以，由在單調遞減可知，所以符合題意；當時，，，由在單調遞減可知，，不符合題意；綜上所述，a的取值范圍為.例題4．（23-24高三上·青海西寧·期末）已知函數.(1)證明：.(2)若關于的不等式有解，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據單調性求出的最小值即可證明.（2）分離參數，借助（1）中不等式關系進行放縮，求其最小值，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）.當時，；當時，.所以在上單調遞減，在上單調遞增.故.（2）由題意可得不等式有解.因為，所以當時，等號成立，所以.故的取值范圍為練透核心考點1．（2024·吉林延邊·一模）若對任意，存在實數，使得關于x的不等式成立，則實數的最小值為．【答案】【分析】根據題意分析可知，構建，利用導數判斷其單調性和最值，結合恒成立問題分析求解.【詳解】因為，，可得，構建，則，構建，因為在內單調遞減，可知在內單調遞減，且，當時，，即；當時，，即；可知在上單調遞增，在上單調遞減，則，可得，可得，所以實數的最小值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：利用導數解決不等式存在性問題的方法技巧根據條件將問題轉化為某函數在該區間上最大(小)值滿足的不等式成立問題，進而用導數求該函數在該區間上的最值問題，最后構建不等式求解．2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，若存在，使得，則實數的取值范圍．【答案】【分析】由題意，即，構造函數，利用導數求出最大值即可.【詳解】存在，使得可得，構造函數，其中，則，當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，則，所以，，解得，因此，實數的取值范圍是.故答案為：.3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，若使不等式成立，求的取值范圍.【答案】【分析】由題設不等式能成立轉化為在上能成立，即需求的最大值，求解即得的取值范圍.【詳解】因為使不等式成立，所以，即.設，則問題轉化為.由，令，得.當在區間內變化時，，的變化情況如下表：＋0－↗極大值↘由上表可知，當時，函數有極大值，也是最大值，為.所以，即的取值范圍是.4．（2023高三·全國·專題練習）已知函數.(1)求函數的極值；(2)若存在，使得成立，求實數m的最小值.【答案】(1)極小值為，無極大值(2)4【分析】（1）直接利用導函數判定函數的單調性及求極值即可；（2）分離參數，利用導函數求函數的最值即可.【詳解】（1）由，令；令，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴在處取得極小值，且為，無極大值；（2）由能成立，問題轉化為，令，由；由，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴，則，故m的最小值為4．高頻考點二：分類討論法典型例題例題1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知關于的不等式解集中恰有3個不同的正整數解，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得的解集中恰有3個不同的正整數解，設，，作出兩函數的圖象，結合圖象分，分別求解即可.【詳解】因為，所以.設，，則，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；又因為是過點的直線，如圖所示：

由此可得當時，的解集中有若干個不同的正整數解，不滿足題意；當時，要使不等式的解集中恰有3個不同的正整數解，

當過點時，取最小值，因為，此時，當過點時，取最大值，因為，此時，所以的取值范圍為.故選：D.例題2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.(1)求函數的極值；(2)若對任意有解，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為1，無極大值；(2).【分析】（1）利用導數研究函數的單調性即可求極值；（2）由題意可得任意有解，設，分、及討論即可求解.【詳解】（1），得，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以的極小值為，無極大值；（2）對任意即，設，，①當時，單調遞增，單調遞增，，成立；②當時，令單調遞增，單調遞增，，成立；③當時，當時，單調遞減，單調遞減，，不成立.綜上，.例題3．（23-24高二下·重慶綦江·期中）已知函數（），（）．(1)若函數在處的切線方程為，求實數與的值；(2)當時，若對任意的，存在，使得，求實數的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）求導，由導函數幾何意義得到方程，求出，從而得到，代入切線中，求出答案；（2）轉化為時，，求導得到的單調性，求出，再分三種情況求出，得到不等式，求出的取值范圍.【詳解】（1），由得，∴，，即切點為，代入方程得，所以，；（2）由題意可得時，．∵時，在恒成立，故在為增函數，∴，．①當時，在區間上遞增，所以，由解得，舍去；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，故，故，解得或，∴；③當時，在區間上遞減，所以，由解得，∴.綜上，.例題4．（2024·四川瀘州·二模）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，，求實數a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）對求導，利用導數的幾何意義即可得解；（2）先利用導數分析的單調性，再構造，將問題轉化為，利用的單調性，分析得，從而得解.【詳解】（1）因為，則，所以，，所以曲線在點處的切線方程；（2）因為，且，所以當時，，單調遞減，當或時，，單調遞增；不妨令，當，即時，在單調遞增，在單調遞減，且，所以，此時符合題意；當，即時，在和單調遞增，在單調遞減，顯然在處取得極小值，此時極小值為，而，所以，要使，則必有，解得，故，綜上:的取值范圍是.【點睛】結論點睛：（1）有解；有解．（2）有解；有解．（3）有解；有解．（4），，．練透核心考點1．（23-24高二下·江蘇泰州·期中）若，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過構造函數法，結合函數的導數，根據所構造函數的最值進行求解即可.【詳解】設，則有，因為，所以當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，函數有最小值，最小值為：，要想，不等式恒成立，只需，即，因為，所以有成立，設，則有，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數的最大值為：，因此要想成立，只需，所以的最大值為，故選：B【點睛】關鍵點睛：利用構造函數法，結合導數的性質進行求解.2．（2023高三·全國·專題練習）已知函數，若在上存在一點，使得成立，求的取值范圍.【答案】【分析】構造函數，將問題轉化為，從而求出，分類討論的取值范圍，分別求出即可得解.【詳解】令，若使能成立，則對于，即可，而.當，即時，，在上單調遞減，則，，而顯然成立，故；當，即時，，在上單調遞增，則，可得；當，即時，令，得；令，得；所以在上單調遞減，在上單調遞增，∴，而，∴，故，即不成立；綜上：.3．（23-24·吉林長春·模擬預測）已知函數.(1)當時，求的單調區間與極值；(2)若在上有解，求實數a的取值范圍.【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞增，函數有極小值，無極大值(2)【分析】（1）利用導數的正負判斷函數的單調性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當時，不等式變形為在，上有解，構造函數，利用導數研究函數的單調性，求解的最小值，即可得到答案．【詳解】（1）當時，，所以當時；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時函數有極小值，無極大值.（2）因為在上有解，所以在上有解，當時，不等式成立，此時，當時在上有解，令，則由（1）知時，即，當時；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，所以，綜上可知，實數a的取值范圍是.【點睛】利用導數研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構造新函數或參變量分離，利用導數研究函數的單調性，求出最值從而求得參數的取值范圍．4．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知函數.(1)若，求函數的單調區間；(2)若存在，使得，求的取值范圍.【答案】(1)在上單調遞增，在上單調遞減(2)【分析】（1）根據導數的性質進行求解即可；（2）根據導數的性質，結合導函數零點之間的大小關系分類討論進行求解即可.【詳解】（1）時，，.令，得；令，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，即函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）函數的定義域為，，由已知可知，∴.①當時，則，則當時，，∴函數在單調遞增，∴存在，使得的充要條件是，即，解得；②當時，則，則當時，，函數在上單調遞減；當時，，函數在上單調遞增.∴存在，使得的充要條件是，而，不符合題意，應舍去.③當時，，函數在上單調遞減，又，成立.綜上可得：的取值范圍是.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是根據導函數零點之間的大小關系進行分類討論.高頻考點三：等價轉化法典型例題例題1．（2024·浙江·模擬預測）已知函數，，若關于的不等式有解，則的最小值是.【答案】/【分析】參變分離可得有解，令，，利用導數求出，即可求出參數的取值范圍，從而得解.【詳解】由得，顯然，所以有解，令，則，令，則，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以，則，即的最小值是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是參變分離得到有解，再構造函數，利用導數求出.例題2．（2024·江蘇·一模）已知函數，函數.(1)若過點的直線與曲線相切于點，與曲線相切于點.①求的值；②當兩點不重合時，求線段的長；(2)若，使得不等式成立，求的最小值.【答案】(1)①或1；②(2)1【分析】（1）利用導數求的切線，再由切線與也相切，利用判別式即可求出；根據確定點，即可求；（2）轉化為原命題的非命題，利用單調性及恒成立探索時非命題成立，可得當時原命題成立，再驗證能取得即可得解.【詳解】（1）①，設，切點.方程，即，聯立，由，可得或1；②當時，，此時重合，舍去.當時，，此時，此時.（2）令，，則，所以在上單調遞增，若對，均有成立，即恒成立，或，對，當時，設，若，即時，，若，即時，，均有.因為，均有的否定為，使得不等式成立，所以由，使得不等式成立，可得，其中包含情況，而時，單調遞增，注意到在上遞減，在上遞增，成立，符合.綜上：的最小值為1.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問條件為存在性問題，利用命題與命題的否定之間的真假關系，轉化為研究恒成立問題是本題關鍵點之一，其次證明均有時，變換主元，轉為關于的二次函數，利用二次函數分類討論，是解決問題的關鍵所在.例題3．（23-24高二下·海南省直轄縣級單位·期中）已知.(1)求函數的最小值；(2)若存在，使成立，求實數a的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導數即可求得的最小值；（2）由分離常數，利用構造函數法，結合導數即可得解.【詳解】（1）依題意，的定義域是，，..所以當時，單調遞減；當時，單調遞增；所以當時，取得最小值.（2）因為存在，使成立，即能成立，即能成立，令，則，所以當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以當時，取得最小值，所以.【點睛】結論點睛：有解問題：（1）有解；有解．（2）有解；有解．（3）有解；有解．（4），，．練透核心考點1．（23-24高二下·北京·期中）已知函數，.(1)求的單調區間；(2)若存在（是常數，）使不等式成立，求實數a的取值范圍.【答案】(1)的遞減區間是，遞增區間是(2)【分析】（1）求得，令，求得，結合導數的符號，即可求得函數的單調區間；（2）把不等式轉化為則有解，設，即，求得，求得函數的單調性與最大值，即可求解.【詳解】（1）解：由函數的定義域為，且，令，解得，所以，，的對應值表為x-0+極小值所以的遞減區間是，遞增區間是.（2）解：由不等式，可得，則設，因為存在，恒成立，所以又由，令，解得或（舍去）根據的對應值表x1-0+極小值所以函數在區間上是減函數，在區間上是增函數，所以，因為，，所以，所以.【點睛】方法技巧：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．2．（2023·河北承德·模擬預測）已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先求定義域，求導后，對進行分類討論，即可得到函數的單調性；（2）由題意，可取，得，對原不等式進行放縮可得，構造函數，求導得，再構造，求導得，取特殊值可得的最小值為正數，所以可知在處取得極小值，可得，所以恒成立，故實數的取值范圍是.【詳解】（1）的定義域為，，當時，，在上單調遞減；當時，由，解得：，由，解得：，所以在上單調遞增，在上單調遞減，綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在，上單調遞增.（2）由，得，取時，得，所以，下證：，即證：，令，則，構造，則，易知在上是單調遞增函數，又，，在上存在唯一零點，設該零點為，且滿足，，當時，，當時，，故在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，，當時，，當時，，故在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，，在上恒成立，即，在上恒成立，故實數的取值范圍是.【點睛】函數與導數綜合簡答題常常以壓軸題的形式出現，難度相對較大，主要考向有以下幾點：1、求函數的單調區間（含參數）或判斷函數（含參數）的單調性；2、求函數在某點處的切線方程，或知道切線方程求參數；3、求函數的極值（最值）；4、求函數的零點（零點個數），或知道零點個數求參數的取值范圍；5、證明不等式；解決方法：對函數進行求導，結合函數導數與函數的單調性等性質解決，在證明不等式或求參數取值范圍時，通常會對函數進行參變分離，構造新函數，對新函數求導再結合導數與單調性等解決.3．（23-24高二下·山東聊城·階段練習）已知函數，(1)若，且對于任意，恒成立，求實數k的取值范圍；(2)令，若至少存在一個實數，使成立，求實數k的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由導數得出的單調區間，再討論，得出在上的單調性，由此得出實數k的取值范圍；（2）將問題轉化為至少存在一個實數，使成立，求出的最小值，進而得出實數k的取值范圍．【詳解】（1）由，可得，若，則；若，則；故的單調遞增區間為，單調遞減區間為．當，即時，在上單調遞增，則，即符合題意；當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，則，解得；綜上所述：實數k的取值范圍為．（2）若，則，可得，故原題意等價于至少存在一個實數，使成立，構造，則對恒成立，故在上單調遞增，則，可得，故實數k的取值范圍為.【點睛】方法點睛：1．兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數法第一步：將原不等式分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題；第二步：利用導數求該函數的最值；第三步：根據要求得所求范圍．（2）函數思想法第一步將不等式轉化為含待求參數的函數的最值問題；第二步：利用導數求該函數的極值；第三步：構建不等式求解．2．利用導數解決不等式存在性問題的方法技巧根據條件將問題轉化為某函數在該區間上最大(小)值滿足的不等式成立問題，進而用導數求該函數在該區間上的最值問題，最后構建不等式求解．高頻考點四：最值定位法解決雙參不等式問題典型例題例題1．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數．(1)當時，求函數的最小值；(2)若，且對，都，使得成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用導數研究單調性，注意構造中間函數判斷的符號；（2）構造研究其單調性證在上恒成立，再應用導數研究在上的最大值，結合已知恒能成立有即可求范圍.【詳解】（1）因為函數，所以．設，則，故在上遞減．，即，在上單調遞減，最小值為．（2）令，則在上恒成立，即函數在上單調遞減，所以，所以，即在上恒成立；又，當時，在區間上單調遞增；在區間上單調遞減．函數在區間上的最大值為．綜上，只需，解得，即實數的取值范圍是．例題2．（2023高三·全國·專題練習）已知函數，其中參數．(1)求函數的單調區間；(2)設函數，存在實數，使得不等式成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導，對分類討論求解單調區間；（2）不等式成立，轉化為，然后求解函數的最大與最小值列出不等式求解．【詳解】（1），（1）當時，，，的減區間是．（2）當時，，的減區間是．（3）當時，，，的增區間是，，的減區間是．綜上，當時，減區間是；當時，增區間是，減區間是.（2），，因為存在實數，使得不等式成立，，，，,，，單減，，，單增．．，，，．例題3．（2023高三·全國·專題練習）已知函數．(1)當時，討論的單調性；(2)設．當時，若對，，使，求實數的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導根據極值點的大小關系可得導函數正負區間，進而可得函數單調性；（2）由（1）在上的最小值為，再將題意轉化為在上的最小值不大于在上的最小值，進而結合二次函數的最值討論即可.【詳解】（1）∵，∴，令，可得兩根分別為1，，∵，∴當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減．（2），，由（1）知，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，∴在上的最小值為．對，，使，即在上的最小值不大于在上的最小值，（*）又，∴①當時，，此時與（*）矛盾；②當時，，同樣與（*）矛盾；③當時，，且當時，，解不等式，可得，∴實數b的取值范圍為．練透核心考點1．（23-24高二下·四川綿陽·期中）已知函數．(1)若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；(2)若函數，對，，使得成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）由單調性知在上恒成立，采用分離變量法知，由此可求得結果；（2）將問題等價于，根據二次函數性質可求得，利用導數可求得，由此構造不等式可求得結果.【詳解】（1），在上單調遞增，在上恒成立，，當時，，，實數的最小值為.（2）對“，，使成立”等價于“當時，”，在上單調遞增，，，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，，，解得：，即實數的取值范圍為.2．（2023高三·全國·專題練習）已知函數，其中參數．設函數，存在實數，使得不等式成立，求a的取值范圍．【答案】【分析】不等式成立，轉化為，然后求解函數的最大與最小值列出不等式求解【詳解】由題意可知，因為存在實數，使得不等式成立，∴，∵，，，單調遞減減，當，，∴單調遞增．∴，．∴，∴，∵，∴．【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化：一般地，已知函數，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．3．（23-24高二下·甘肅張掖·階段練習）已知函數為的導數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)，若對任意，均存在，使得，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出導函數，由得到切線斜率，再根據點坐標即可得到切線方程；（2）轉化問題為，結合二次函數性質可求得的最小值，構造，由的導函數判斷的單調性，利用端點值和極值判斷的正負，進而判斷的單調性，求得，即可求解.【詳解】（1）由題意，所以0，即切線的斜率，且，所以曲線在點處的切線方程為.（2）由題意知，且的對稱軸為直線，所以當時，.由（1），設，則，所以，當時，；當時，，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.又，所以在區間上只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，又，所以當時，，所以，即，因此，實數的取值范圍是.高頻考點五：值域法解決雙參等式問題典型例題例題1．（23-24高一下·河南·階段練習）已知函數和函數.(1)當時，滿足不等式成立，求實數的取值范圍；(2)若函數在上單調遞增，且對于任意，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意結合對數函數單調性可得，根據恒成立問題利用參變分離分析求解；（2）根據對數函數以及二次函數單調性可得，由題意可得需要的取值范圍總包含于的取值范圍，根據三角函數有界性可得，結合對數函數性質運算求解.【詳解】（1）由得，即，整理得，因為，則，可得，又因為，即，所以滿足不等式的實數的取值范圍為．（2）由函數在上單調遞增，可得，解得．因為，由得，則，可得，若要滿足題中條件，需要的取值范圍總包含于的取值范圍．因為當時，，則，解得．綜上所述：實數的取值范圍為．例題2．（23-24高一上·遼寧遼陽·期末）已知函數．(1)求的解析式；(2)若函數，，，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用換元法求函數解析式即可.（2）分別求出兩個函數值域，后轉化為子集問題解決即可.【詳解】（1）令，則，則，所以的解析式為（2）因為在上單調遞增，所以因為在上單調遞減，所以因為，，，