學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7（),\s\do5（整體設計）)教學分析教材通過例題介紹了利用方程判斷兩圓的位置關系．讓學生進一步感受坐標方法在研究幾何問題中的作用．值得注意的是針對學生的實際情況來學習坐標法討論兩圓的位置關系，對于基礎較差的學生,建議不學習,對于基礎較好的學生可以作為課后閱讀教材，否則本節課的教學目標完不成．三維目標1．掌握圓與圓的位置關系的判定，培養學生分析問題和解決問題的能力．2．了解用坐標方法討論兩圓位置關系，體會坐標方法在研究幾何問題中的作用，提高應用能力．重點難點教學重點：利用方程判定兩圓位置關系．教學難點:用坐標方法討論兩圓位置關系．課時安排1課時eq\o(\s\up7(）,\s\do5（教學過程)）導入新課設計1。前面我們學習了利用方程判斷點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系，那么，圓與圓的位置關系有哪幾種呢？如何利用方程判斷圓與圓之間的位置關系呢？教師板書課題:圓與圓的位置關系．設計2.我們知道,日食和月食都是一種自然現象，如果把月球、地球、太陽都抽象成圓，那么這兩種自然現象就展現了兩圓的位置關系，如何利用方程來描述這一現象呢？教師點出課．推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題）)eq\a\vs4\al（初中學過的平面幾何中，圓與圓的位置關系有幾種？畫圖表示，并指出判斷方法.)討論結果:外離外切相交內切內含d>R＋rd＝R＋r|R－r|<d〈R＋rd＝｜R－r｜d〈｜R－r|eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應用示例))思路1例1判斷下列兩個圓的位置關系：(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；（2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2:x2＋y2－2eq\r(3）x－6＝0.解：（1）已知兩圓的方程可分別變形為（x－1)2＋y2＝22，(x－2）2＋（y＋1）2＝（eq\r(2)）2.由此可知圓心C1的坐標為(1,0)，半徑r1＝2；圓心C2的坐標為(2,－1),半徑r2＝eq\r（2）.設兩圓的圓心距為d，則:d＝|C1C2|＝eq\r（2－12＋－12）＝eq\r（2）.r1＋r2＝2＋eq\r（2)，r1－r2＝2－eq\r(2）.所以r1－r2〈d〈r2＋r2。因此這兩個圓相交．(2）已知兩圓的方程分別變形為：x2＋(y－1)2＝12，(x－eq\r（3））2＋y2＝32。由此可知圓心C1的坐標為（0，1)，半徑r1＝1;圓心C2的坐標為（eq\r(3)，0），半徑r2＝3,則兩圓的圓心距d＝eq\r（\r(3）2＋12)＝2,所以d＝r2－r1.因此這兩個圓內切．點評：判斷兩個圓的位置關系．幾何法:即兩個圓的圓心坐標、半徑長、連心線長的關系來判別兩個圓的位置關系．設兩圓的連心線長為d，則判別圓與圓的位置關系的依據有以下幾點：①當d〉R＋r時，圓C1與圓C2外離;②當d＝R＋r時，圓C1與圓C2外切;③當|R－r|〈d〈R＋r時,圓C1與圓C2相交；④當d＝｜R－r|時,圓C1與圓C2內切;⑤當d<|R－r|時，圓C1與圓C2內含．變式訓練1．在平面直角坐標系中分別作出圓心為C1(0,0)，C2(1,1），半徑分別為1，2的兩圓,并判斷兩圓的位置關系．解：作出兩圓，如下圖．兩圓半徑分別記作r1和r2，則r1＝1，r2＝2,圓心距d＝｜C1C2|＝eq\r(0－12＋0－12）＝eq\r（2)，于是，1＝|r1－r2|<d<r1＋r2＝3，所以兩圓相交．2．判斷圓C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0與圓C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置關系,并畫出圖形．解:由已知得圓C1：（x＋1）2＋(y－3）2＝36,其圓心C1(－1，3）,半徑r1＝6；圓C2：(x－2）2＋(y＋1)2＝1，其圓心C2(2，－1)，半徑r2＝1。于是｜C1C2｜＝eq\r(2＋12＋－1－32)＝5。又|r1－r2｜＝5，即｜C1C2|＝｜r1－r2|，所以兩圓內切．如下圖．3．x2＋y2－2x＝0和圓O2:x2＋y2－4y＝0的位置關系是（）A．相離B．相交C．外切D．內切解析：圓O1：x2＋y2－2x＝0（x－1）2＋y2＝1，故圓心為（1，0）,半徑為1.圓O2：x2＋y2－4y＝0x2＋（y－2）2＝4，故圓心為（0，2)，半徑為2。則圓心距d＝eq\r（1－02＋0－22）＝eq\r（5）.而2－1<eq\r（5）〈1＋2，即兩圓相交．答案:B例2試用坐標方法討論兩圓位置關系．（本題針對學生實際選用)解：如下圖所示，以O1為坐標原點,使x軸通過O1，O2，且O2在x軸的正半軸上，建立直角坐標系xOy。這樣，可設⊙O2的圓心的坐標為（d，0）．這時兩圓的圓心距等于d,兩圓的方程分別為x2＋y2＝req\o\al（2,1）①（x－d）2＋y2＝req\o\al（2,2).②將①②兩式聯立，研究此方程組的解．①－②，整理可得x＝eq\f（r\o\al（2,1）－r\o\al(2,2)＋d2,2d)。將x值代入①，得y2＝req\o\al(2,1)－eq\f（r\o\al(2,1）－r\o\al（2,2)＋d22,4d2）＝eq\f(2dr1＋r\o\al（2,1)－r\o\al(2，2）＋d22dr1－r\o\al（2,1)＋r\o\al(2，2）－d2,4d2)＝eq\f([r1＋d2－r\o\al（2,2）][r\o\al（2，2）－r1－d2]，4d2)＝eq\f(r1＋r2＋dr1－r2＋dr1＋r2－dr2－r1＋d，4d2)＝eq\f（[r1＋r22－d2］［d2－r1－r22],4d2）.由此可見，如果|r1－r2|<d<r1＋r2則等式右邊兩個因式都為正數，于是方程組有解，且有兩解．這時相應的兩圓相交于兩點（如下圖）．如果:r1＋r2＝d或|r1－r2｜＝d,則等式右邊分子的因式中至少有一個為0，則方程組有唯一解,這時兩圓相切（外切或內切)(上圖(2）（3))．如果：r1＋r2〈d或|r1－r2｜>d,則方程組無解,這時兩圓不相交（相離或內含）(上圖(4）(5)）．思路2例3已知圓C1:x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．分析：因兩圓的交點坐標同時滿足兩個圓方程，聯立方程組，消去x2項、y2項，即得兩圓的兩個交點所在的直線方程，利用勾股定理可求出兩圓公共弦長．解：設兩圓交點為A（x1，y1）、B(x2,y2），則A、B兩點坐標滿足方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，,x2＋y2－4x＋2y－11＝0,))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))①－②，得3x－4y＋6＝0。因為A、B兩點坐標都滿足此方程,所以3x－4y＋6＝0即為兩圓公共弦所在的直線方程．易知圓C1的圓心（－1,3)，半徑r＝3.又點C1到直線的距離為d＝eq\f(｜－1×3－4×3＋6｜,\r(32＋－42)）＝eq\f(9，5）。所以AB＝2eq\r（r2－d2)＝2eq\r（32－\f（9，5)2)＝eq\f(24,5)，即兩圓的公共弦長為eq\f（24,5).點評：處理圓有關的問題,利用圓的幾何性質往往比較簡單,要注意體會和應用．本題中求兩圓公共弦所在直線方程可以作為結論記住．變式訓練判斷下列兩圓的位置關系，如果兩圓相交，請求出公共弦的方程．(1）(x＋2）2＋（y－2）2＝1與（x－2)2＋（y－5)2＝16,(2）x2＋y2＋6x－7＝0與x2＋y2＋6y－27＝0.解：(1)根據題意，得兩圓的半徑分別為r1＝1和r2＝4，兩圓的圓心距d＝eq\r(［2－－2]2＋5－22)＝5.因為d＝r1＋r2，所以兩圓外切．（2)將兩圓的方程化為標準方程，得（x＋3）2＋y2＝16，x2＋（y＋3）2＝36。故兩圓的半徑分別為r1＝4和r2＝6，兩圓的圓心距d＝eq\r（0－32＋－3－02）＝3eq\r（2）。因為｜r1－r2|〈d〈r1＋r2，所以兩圓相交．兩圓方程相減得公共弦的方程：6x－6y＋20＝0,即3x－3y＋10＝0.例4求過點A(0,6)且與圓C:x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原點的圓的方程．分析：如下圖．所求圓經過原點和A(0,6），且圓心應在已知圓的圓心與原點的連線上．根據這三個條件可確定圓的方程．解：將圓C化為標準方程,得(x＋5）2＋(y＋5）2＝50，則圓心為C（－5,－5），半徑為5eq\r（2)。所以經過此圓心和原點的直線方程為x－y＝0.設所求圓的方程為(x－a)2＋（y－b）2＝r2.由題意，知O(0，0)，A(0,6）在此圓上，且圓心M（a，b)在直線x－y＝0上，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋0－b2＝r2，,0－a2＋6－b2＝r2,，a－b＝0,)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3,,b＝3，,r＝3\r（2)。）)于是所求圓的方程是（x－3)2＋(y－3）2＝18。點評：求圓的方程,一般可從圓的標準方程和一般方程入手，至于選擇哪一種方程形式更恰當，要根據題目的條件而定，總之要讓所選擇的方程形式使解題過程簡單．變式訓練求經過點A（4，－1),且與已知圓C：（x＋1)2＋（y－3)2＝5相外切于點B(1，2）的圓的方程．解:如下圖，設所求的圓C′的方程為（x－a)2＋(y－b）2＝R2.因為C′既在弦AB的垂直平分線上，又在直線BC上，AB中垂線方程為x－y－2＝0，BC所在直線的方程為x＋2y－5＝0，所以，圓心C′的坐標應滿足方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b－2＝0，,a＋2b－5＝0.)）解得a＝3，b＝1。因為所求圓C′過點A（4，－1），所以(4－3）2＋（－1－1)2＝R2＝5.所以，所求圓的方程為(x－3）2＋（y－1）2＝5.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓練)）1．在（x＋k）2＋(y＋2k＋5)2＝5（k＋1)2(k≠－1)所表示的一切圓中,任意兩圓的位置關系是（）A．相切或相交B．相交C．相切D．內切或相交答案：C2．已知圓x2＋y2＋m＝0與圓x2＋y2－6x＋8y＝0沒有公共點，則實數m的取值范圍為（）A．－10〈m〈0B．－100<m<－10C．m〈－100D．答案:C3．半徑為5且與圓x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原點的圓的方程是________．答案：x2＋y2＋6x－8y＝04．一圓過兩圓x2＋y2＋6x－3＝0和x2＋y2－6y－3＝0的交點，圓心在直線x＋y＋6＝0上,求此圓的方程．答案：x2＋y2＋9x＋3y－3＝05．求圓心在直線x－y－4＝0上，且經過兩圓x2＋y2－4x－3＝0和x2＋y2－4y－3＝0的交點的圓的方程．解：設經過兩已知圓的交點的圓的方程為x2＋y2－4x－3＋λ（x2＋y2－4y－3）＝0（λ≠－1)，則其圓心坐標為(eq\f（2,1＋λ),eq\f(2λ,1＋λ))．∵所求圓的圓心在直線x－y－4＝0上，∴eq\f(2,1＋λ）－eq\f(2λ,1＋λ)－4＝0，λ＝－eq\f（1，3).∴所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－3＝0.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))求經過原點，且過圓x2＋y2＋8x－6y＋21＝0和直線x－y＋5＝0的兩個交點的圓的方程．解法一：由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋8x－6y＋21＝0，，x－y＋5＝0，)）求得交點（－2，3）或(－4，1）．設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。因為(0，0）,(－23），（－4，1）三點在圓上，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋1－4D＋E＋F＝0,）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（F＝0，,E＝－\f(9，5），,D＝\f（19,5）。））所以所求圓的方程為x2＋y2＋eq\f（19,5）x－eq\f（9,5)y＝0。解法二：設過交點的圓系方程為x2＋y2＋8x－6y＋21＋λ(x－y＋5)＝0（λ為參數)．將原點（0，0)代入上述方程得λ＝－eq\f(21,5）.則所求方程為x2＋y2＋eq\f（19，5）x－eq\f（9,5)y＝0。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結)）本節課學習了：利用方程判斷兩圓位置關系,解決與兩圓有關的問題．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業））本節練習A1,2題．eq\o（\s\up7（)，\s\do5(設計感想）)這堂課是建立在初中已經對圓與圓的位置關系有個粗略地了解的基礎上，對這個位置關系的進一步深化，而且前一堂課學習過直線與圓的位置關系,圓與圓的位置關系的研究和直線與圓的位置關系的研究方法是類似的,所以可以用類比的思想來引導學生自主地探究圓與圓的位置關系．作為解析幾何的一堂課，判斷圓與圓的位置關系,體現的正是解析幾何的思想：用代數方法處理幾何問題，用幾何方法處理代數問題．所以在教材處理上，對判斷兩圓位置關系用了幾何方法，使學生對解析幾何的本質有所了解．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(備課資料）)圓的參數方程一般地,在取定的坐標系中，如果曲線上