第第頁2.5有理數的乘方

【考點1有理數冪的概念理解】【考點2有理數的乘方運算】【考點3有理數四則混合運算】【考點4程序流程圖與有理數計算】【考點5算“24”點】【考點6含乘方的有理數混合運算】【考點7科學記數法】【考點8近似數】【考點9有理數四則混合運算的實際應用】

知識點1：乘方法則運算（1）正數的任何次冪都是正數（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數（3）0的任何正整數次冪都是0知識點2：混合運算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運算，從左到右的順序進行。（3）如有括號，先算括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。在進行有理數的運算時，要分兩步走：先確定符號，再求值?！究键c1有理數冪的概念理解】【典例1】在?324中底數是【答案】?32【分析】本題考查了有理數的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關鍵．根據冪的定義中指數與底數的說明解答本題．【詳解】解：在?324中底數是?故答案為：?32【變式1-1】在?1.52中，底數是，指數是，冪是【答案】?1.522.25【分析】本題主要考查有理數的乘方，an中，a叫做底數，n【詳解】在?1.52中，底數是?1.5，指數是2，冪是2.25故答案為：?1.5；2；2.25【變式1-2】?53表示（A．3個?5相乘 B．3個5相乘的相反數C．5個?3相乘 D．5個3相乘的相反數【答案】B【分析】本題考查有理數冪的概念理解，掌握ana≠0表示n個【詳解】解：?5故選B．【變式1-3】算式4+4+…+4m個4A．4m?7n B．4m?7n C．【答案】C【分析】本題主要考查有理數的加法及乘方運算，解題的關鍵是理解題意；因此此題可根據有理數的加法及乘方可進行求解．【詳解】解：由題意得4+4+…+4m故選C．【考點2有理數的乘方運算】【典例2】計算2×42×【答案】1【分析】本題考查了有理數的乘方運算，先計算42，同時根據乘方意義把183【詳解】解：原式=2×16×=2×2×==116，故答案為：116【變式2-1】??A．?3 B．3 C．9 D．?9【答案】D【分析】本題考查絕對值的計算，有理數的乘方運算，注意符號是解題關鍵．根據負數的絕對值等于它的相反數求解即可．【詳解】解：??故選：D．【變式2-2】下列四組數中，互為相反數的是（

）A．(?1)2024和(?1)2023B．23和?32 C．?(?5)和?5【答案】A【分析】本題主要考查了乘方的運算，絕對值化簡，以及相反數的定義，解題的關鍵是熟練掌握相反數的定義．先根據乘方運算的法則、絕對值的法則進行計算，再根據相反數的定義逐一判定即可．【詳解】解：A、(?1)2024=1，B、23=8，C、??5=5，D、?33=?27，故選：A．【變式2-3】下列各對數中，相等的是（

）A．32與23 B．?32與?32 C．3×23與【答案】D【分析】本題考查了有理數的計算，大小比較，根據乘方的意義，計算，比較大小即可．【詳解】A.32=9，2B.?32=?9，C.3×23=216，3×D.?23=?8故選D．【考點3有理數四則混合運算】【典例3】計算：(1)12+?18÷?6【答案】(1)21(2)-19【分析】本題考查了有理數的混合運算，解題的關鍵是掌握運算法則和運算順序．（1）先計算乘除，然后計算加減；（2）先計算乘方，然后計算乘除，最后計算加減．【詳解】（1）12+=12+3+6=21；（2）?=?4+=?4+=?4?16+1=?19．【變式3-1】計算：(1)?23+36??27?40×2；(2)【答案】(1)?40(2)0【分析】本題主要考查了有理數混合運算，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．（1）先去括號，再按照混合運算法則進行計算即可；（2）先算出乘方，再去括號，最后進行混合運算即可．【詳解】（1）解：?23+36?=?23+36+27?80=?40；（2）解：?=?1?=?1?=?1+1=0．【變式3-2】計算(1)(?72)×(【答案】(1)?1(2)32．【分析】（1）先進行括號里面的運算，再根據有理數的乘除運算法則進行計算即可；（2）先算乘方，再算乘法，最后相加減即可；本題考查了有理數的運算，掌握有理數的運算法則是解題的關鍵．【詳解】（1）解：原式==?7=?1（2）解：原式=?8+=?8+16?=?8+16+24=?8+40，=32．【考點4程序流程圖與有理數計算】【典例4】按如圖所示的程序計算，若輸入x的值為?1，則輸出的y值為．【答案】4【分析】本題考查有理數計算．根據題意代入數值?1按照程序圖計算即可得到本題答案．【詳解】解：∵輸入x的值為?1，∴(?1)2×2?4=?2，(?2)2×2?4=4，故答案為：4．【變式4-1】小明編制了一個計算機計算程序如圖所示，如果輸入的數5，則輸出的數是．【答案】6【分析】此題考查了有理數的混合運算，把5代入計算程序中，根據圖中流程列出式子，計算，即可確定輸出的數，解題關鍵是掌握有理數的混合運算法則．【詳解】解：把5代入計算程序中得：[5+4?(?=(5+4+9)×(=18×(?=6，∵6>5，∴輸出的數是6，故答案為：6．【變式4-2】在如圖所示的運算程序中，若開始輸入x的值為96，我們發現第一次輸出的結果為48，第二次輸出的結果為24…，則第2023次輸出的結果為．【答案】3【分析】本題考查程序問題，從程序中找到從第4次開始，每2次1組，每組按照3，6的順序循環的規律是解題的關鍵．【詳解】解：第1次96×1第2次48×1第3次24×1第4次12×1第5次6×1第6次3+3=6，第7次6×1……從第4次開始，每2次1組，每組按照3，6的順序循環，2023?3÷2=1010∴第2023次為第1010組第二個，∴第2023次輸出的結果為3，故答案為：3．【考點5算“24”點】【典例5】小明有5張寫著不同數字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列各問題：(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數字的乘積最大，如何抽取？最大值是多少？答：我抽取的2張卡片是、，乘積的最大值為．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？答：我抽取的2張卡片是、，商的最小值為．(3)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數字組成一個最大的數，如何抽??？最大的數是多少；答：我抽取的2張卡片是、，組成一個最大的數為．(4)從中取出4張卡片，用學過的運算方法，使結果為24．如何抽取？寫出運算式子．（寫出一種即可）．答：我抽取的4張卡片算24的式子為．【答案】(1)?3、?5；15；(2)?5、+3；?(3)?5、4；?5(4)0?【分析】本題考查有理數的運算．熟練掌握運算法則，是解題的關鍵．（1）根據有理數的乘法法則即可確定；（2）根據有理數的除法法則即可確定；（3）根據有理數的乘方運算即可確定；（4）根據有理數的混合運算法則即可確定．【詳解】（1）解：∵?3×?5=15，+3×∴抽取?3、?5兩張卡片的乘積最大，最大值為15．故答案為：?3、?5；15；（2）∵35∴抽取?5、+3兩張卡片相除的商最小，最小值為?5故答案為：?5、+3；?5（3）∵?34=3∴抽取?5、4兩張卡片，組成的最大值為?54故答案為：?5、4；?54（4）抽取?3、?5、0、3，則0??3故答案為：0??3【變式5-1】“24點”的游戲規則是：任抽四個數，用加、減、乘、除四則運算列一個算式，使得計算結果為24．小明抽到的四個數是3，4，5，?8，請列出符合要求的算式：．【答案】3+5×4?8=24【分析】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵．根據有理數的混合運算法則列式即可．【詳解】解：3+5×4?8=24故答案為：3+5×4?8=24【變式5-2】“24點”的游戲規則是：用“+、?、×、÷”四種運算符號把給出的四個數字連接起來進行計算，要求最終算出的結果是24．例如：給出2，2，2，8這四個數，可以列式2÷2+2×8=24．以6、3、3、8這四個數用“+、?、×、÷”四種運算符號列出算式為【答案】6+3×【分析】本題考查了有理數的混合運算，根據題意列式計算即可求解．【詳解】解：依題意，6+3×故答案為：6+3×【考點6含乘方的有理數混合運算】【典禮6】計算下列各題：(1)?(2)?(3)(?1)(4)?【答案】(1)?10(2)1(3)2(4)?11【分析】本題主要考查含乘方的有理數混合運算，以及絕對值化簡，熟練掌握有理數的混合運算法則是解題的關鍵．（1）先算乘方，然后再進行有理數的混合運算即可；（2）先算乘方和括號，然后再根據有理數的混合運算法則計算，即可解題；（3）先算乘方和括號，然后再根據有理數的混合運算法則計算，即可解題；（4）先算乘方、括號、以及絕對值化簡，然后再根據有理數的混合運算法則計算，即可解題．【詳解】（1）解：?2=?4+18?24，=?10；（2）解：?1=?1+7=1（3）解：(?1)5=?1??=?1+5=2（4）解：?5=?25×4=?20=?111【變式6-1】計算：?2+【答案】19【分析】本題考查了有理數的混合運算，先計算絕對值、有理數的乘方，再計算有理數的乘法，最后計算加減即可，熟練掌握運算法則以及運算順序是解此題的關鍵．【詳解】解：?2=2+9×=2+3+6?=19【變式6-2】計算：?2【答案】1【分析】本題考查了有理數的混合運算，解題的關鍵是掌握運算法則和運算順序．先計算乘方和乘除，然后計算加減．【詳解】?2=2+9×=2+3+=1．【變式6-3】計算：5÷(?1)【答案】?10【分析】本題考查了有理數的混合運算，解題的關鍵是掌握運算法則和運算順序．先計算乘方和括號內，然后計算乘除，最后計算加減．【詳解】5÷=5÷=5÷=?1+=?10．

知識點3：科學計數法1.科學記數法概念：把一個大于10的數表示成a×10n的形式（其中a是整數數位只有一位的數，n為正整數）。這種記數的方法叫做科學記數法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一個n為數用科學記數法表示為a×10n－12.近似數的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數點后某位。（2）保留幾個有效數字注：對于較大的數取近似數時，結果一般用科學記數法來表示例如：256000（精確到萬位）的結果是2.6×105有效數字：從一個數的左邊第一個非0數字起，到末尾數字止，所有的數字都是這個數的有效數。注意：（1）用科學記數法表示的近似數的有效數字時，只看乘號前面的數字。例如：3.0×104的有效數字是3。（2）帶有記數單位的近似數的有效數字，看記數單位前面的數字。例如：2.605萬的有效數字是2，6，0，5。【考點7科學記數法】【典例7】2024年4月25號，我國神舟十八號載人飛船發射取得圓滿成功，在發射過程中，飛船的速度約為每小時29000千米，數據29000用科學記數法表示為（

）A．2.9×106 B．2.9×105 C．【答案】C【分析】本題主要考查了用科學記數法表示較大的數，掌握科學記數法的方法是解題的關鍵．用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤a<10，n為整數，原數≥10，原數變為【詳解】解：29000=2.9×10故選：C．【變式7-1】據中國鐵路昆明局集團有限公司消息，截至2023年12月26日，麗香鐵路開通運營滿一個月，累計發送旅客超180000人次．數據180000用科學記數法表示為（

）A．18×104 B．1.8×104 C．【答案】C【分析】本題主要考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成【詳解】解：180000=1.8×10故選：C．【變式7-2】我國首個火星探測器“天問一號”經過470000000公里旅程成功著陸在火星上，將470000000用科學記數法表示是（

）A．47×107 B．4.7×107 C．【答案】C【分析】此題考查科學記數法的表示方法，關鍵是確定a的值以及n的值．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，【詳解】解：470000000=4.7×10故選：C【變式7-3】新冠肺炎疫情爆發以來，給全世界人民的生命安全，帶來了很大的威脅，截至2020年5月21日，根據世界衛生組織統計，全球感染新冠肺炎的確診病例已超過496萬人，請把數“496萬”用科學記數法表示為．【答案】4.96×【分析】本題考查科學記數法的表示方法，科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成根據科學記數法的表示方法解答即可．【詳解】解：496萬=4960000=4.96×10故答案為：4.96×10【考點8近似數】【典例8】近似數5.50×104是精確到（A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位【答案】C【分析】本題主要考查了科學記數法和近似數的知識，解題關鍵是將科學記數法表示的近似數還原成數字形式．精確度由近似數的最后一位有效數字在該數中所處的位置決定，將科學記數法表示的近似數還原成數字形式，再確定精確到哪位即可．【詳解】解：5.50×10所以，近似數5.50×10故選：C．【變式8-1】將近似數1290000保留2個有效數字并用科學記數法表示為.【答案】1.3×【分析】本題考查科學記數法與有效數字．關鍵是掌握用科學記數法表示的數的有效數字的確定方法．用科學記數法a×10n（1≤a<10，n是正整數）表示的數的有效數字應該由首數【詳解】1290000=1.29×10故答案為：1.3×10【變式8-2】用四舍五入法把1.8935精確到0.001為．【答案】1.894【分析】此題考查近似數和有效數字，把萬分位上的數字5進行四舍五入即可．【詳解】解：1.8935精確到0.001為1.894；故答案為：1.894．【變式8-3】用四舍五入法將30.1755精確到百分位約為．【答案】30.18【分析】本題考查了近似數，近似數精確到哪一位，應當看末位數字實際在哪一位．【詳解】解：用四舍五入法將30.1755精確到百分位約為30.18．故答案為：30.18．【考點9有理數四則混合運算的實際應用】【典例9】疫情后，武漢這座英雄的城市歷經劫難與涅槃，一度成為國內旅游的熱門打卡地，其中“藏身”于東湖風景區的東湖綠道非常受歡迎，它全長101.98公里，是國內首條城區內5A級旅游景區綠道．武漢一部門對東湖綠道某周工作日的客流變化量進行了不完全統計，數據如下（正數表示客流量比前一天增加，負數表示客流量比前一天下降）：時間周一周二周三周四周五人數（單位：萬人）?12+1?2+3+1(1)請計算比較這5天中，客流量最多的是哪一天？最少的是哪一天？(2)若前一周周日的客流量為22萬人，假設本周工作日游客每人每天平均消費100元，請問這5天的游客消費總額為多少萬元？【答案】(1)客流量最多的一天是周五，最少的一天是周三(2)5500萬元【分析】（1）以前一周日為標準，根據本周5個工作日每天比前一天客流量增減數量，求出每天的游客量，比較5天的游客量，即得；（2）根據22與5的積加上5天中每天游客增減的總和，得到5天的游客總數，根據游客每人每天平均消費100元乘以5天的游客總數，得到這5天的游客消費總額．【詳解】（1）以前一周日的游客量為標準，本周5個工作日每天的游客量（萬人）：周一：?12；周二：?12+1=?11；周三：?11?2=?13；周四：?13+3=?10；周五：?10+1=?9；∵?9>?10>?11>?12>?13，∴客流量最多的一天是周五，最少的一天是周三；（2）本周5天工作日游客總量，22×5+?12?11?13?10?9這5天的游客消費總額為，100×55=5500（萬元），答：這5天的游客消費總額為5500萬元．【點睛】本題主要考查了有理數混合運算的應用，解決問題的關鍵是熟練掌握題意列出算式，有理數的加法法則和乘法法則．【變式9-1】某冷庫一天的冷凍食品進出記錄如表（運進用正數表示，運出用負數表示）：進出數量（單位：噸）?26?12?5進出次數31332(1)請計算這天冷庫的冷凍食品比原來增加了還是減少了？增加了或減少了多少？(2)根據實際情況，現有兩種運費方案：方案一：運進每噸冷凍食品費用是500元，運出每噸冷凍食品費用是800元；方案二：不管運進還是運出每噸冷凍食品費用都是600元．從節約運費的角度考慮，選用哪一種方案比較合適．【答案】(1)比原來減少了，減少了7噸(2)選擇方案二比較合適【分析】（1）根據表格中的數據列出算式，計算即可；（2）表示出兩種方案中的費用，比較即可．【詳解】（1）根據題意，得：?2×3+6×1+答：這天冷庫的冷凍食品比原來減少了，減少了7噸；（2）方案一：?2×3+方案二：?2×3+∵18600<21200，∴選擇方案二比較合適．【點睛】本題考查有理數混合運算的應用，準確計算是解題的關鍵．【變式9-2】某射擊運動員進行射擊訓練，射擊成績以10環為基準，記錄相對環數，超過10環記為正，不足10環記為負．他的前9次射擊成績（單位：環）的相對環數記錄如下表，第10次射擊成績為9.6環．序號①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩相對環數?0.20.3?0.50.10.100.20.40.2(1)第10次射擊成績的相對環數應記為____環；(2)這10次射擊中，與10環偏差最大的是第____次射擊；（填序號）(3)計算這10次射擊的平均成績．【答案】(1)?0.4(2)③(3)10.02環【分析】（1）計算9.6?10即可得出答案；（2）這10次射擊中，相對環數的絕對值最大的那一次與10環偏差最大；（3）求出10次射擊的總成績，即可計算．【詳解】（1）解：∵9.6?10=?0.4，∴第10次射擊成績的相對環數應記為?0.4環，故答案為：?0.4；（2）解：根據表中的數據可知，?0.5=0.5?0.2=0.3=0.30.4=0.1=0.10=0∵0.5>0.4>0.3>0.2>0.1>0，∴這10次射擊中，與10環偏差最大的是第③次射擊，故答案為：③；（3）解：∵10×10?0.2+0.3?0.5+0.1×2+0.2×2?0.4+0.4=100.2（環），∴100.2÷10=10.02（環），∴這10次射擊的平均成績是10.02環．【點睛】本題主要考查正負數的概念，絕對值的意義，解題的關鍵是熟練掌握正負數表示的實際意義．【變式9-3】風箏節將至，某風箏加工廠計劃這周內追加生產某種型號的風箏700只，上周日生產102只，但由于種種原因，實際每天生產量與計劃量相比有變化、下表是這周的實際生產情況（正負表示比上周日的增減）；星期一二三四五六日增減+5?2?4+13?6+6?3(1)產量最多的一天比產量最少的一天多生產多少只風箏？(2)該廠實行每周計件工資制，每生產一只風箏可得20元，若超額完成任務，則超過部分每多生產一只獎勵5元；若未完成任務，則每少生產一只少得4元．那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？【答案】(1)產量最多的一天比產量最少的一天多生產19只風箏；(2)該廠工人這一周的工資總額是14505元．【分析】此題考查了正數和負數以及有理數的混合運算，正確列出算式并掌握相關運算法則是解答本題的關鍵．（1）用記錄中的最大數減去最小數即可；（2）根據“每周計件工資制”的方法列式計算解答即可．【詳解】（1）解：+13?(?6)=13+6=19（只)，答：產量最多的一天比產量最少的一天多生產19只風箏；（2）解：7×102×20+(5?2?4+13?6+6?3)×(20+5)=14505（元)，答：該廠工人這一周的工資總額是14505元．一、單選題1．《熱辣滾燙》是一部勵志電影，講述了一個女人在絕望中努力奮斗，最終實現自我突破的故事，故事啟示我們“命運只負責洗牌，出牌的永遠是自己，一切都來得及”，截止2月底，電影全國票房累計約3300000000元．數據3300000000用科學記數法表示為（）A．33×108 B．3.3×108 C．【答案】C【分析】根據科學記數法的要求，將3300000000變為a×10n(1≤a<10)，分別確定a本題考查了科學記數法，其表示形式為a×10n(1≤a<10)，正確確定a和n的值是解答本題的關鍵．n是整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數的絕對值大于等于10時，n【詳解】解：3300000000=3.3×10故選：C．2．在有理數?12、0、??32、??2A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本題主要考查相反數、有理數的乘方、絕對值、負數的定義，熟練掌握相反數、有理數的乘方、絕對值、負數的定義是解決本題的關鍵．首先把每一個數化為最簡，再判定即可．【詳解】解：?12=1，??故負數有??2，?2故選C．3．下列算式中正確的是（

）A．23=6 C．?|?2|=2 D．?【答案】B【分析】本題考查了有理數的乘方，化簡絕對值，根據有理數的乘方，絕對值的性質，分別進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、23=8B、?1C、?|?2|=?2，故該選項不正確，不符合題意；

D、?4故選：B．4．若a=?32，b=?23，A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<c<a【答案】D【分析】本題主要考查了有理數比較大小，有理數的乘方計算，有理數的乘法計算，先根據有理數的乘法和乘方計算法則計算出三個數，再根據正數大于0，0大于負數即可得到答案．【詳解】解：a=?32=9，b=∵?8<6<9，∴b<c<a，故選：D．5．?32可表示為（A．?3×2 B．?3×3 C．?3+【答案】B【分析】此題主要考查了有理數的乘方，正確理解乘方的意義是解題的關鍵．根據乘方的意義求解即可．【詳解】解：?3故選：B．6．下列各式子互為相反數的是()A．?2和?|?2| B．?23C．?22和(?2)2 D．【答案】C【分析】本題考查了有理數的乘方運算，化簡絕對值，相反數的定義，根據乘方運算進行計算，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：A.?2和??2B.?23=?8和C.?22=?4和(?2)2D.??2=2和故選：C．二、填空題7．?33的底數是【答案】3【分析】本題考查了有理數乘方的定義“一般地，n個相同的因數a相乘，記作an，這種運算叫做乘方，其中，a叫底數，n【詳解】解：根據乘方的定義，?3故答案為：3．8．計算：?2×12【答案】1【分析】此題考查了有理數的乘方運算，涉及?1n等于幾的問題，當n為偶數時，?1n=1，當n【詳解】解：?2×1故答案為：1．9．若a?32+a+b?2=0【答案】4【分析】本題考查了平方與絕對值的非負性，有理數的乘方．解題的關鍵在于正確的求解．由a?32=0，【詳解】解：由題意知a?3解得a=3∴a?b=3?故答案為：4．10．如果x+22+|3?y|=0，那么xy【答案】?8【分析】本題考查的是絕對值的非負性是應用，乘方運算的含義，根據兩個非負數相加得0，則每個加數均為0，解x+2=0，和3?y=0得出x，y值，代入結論即可求解．【詳解】解：∵x+22∴x+2=0，3?y=0，∴x=?2，y=3，∴xy故答案為：?8．三、解答題11．計算：?3【答案】?15【分析】此題考查了有理數的運算，原式先計算乘方運算，再計算乘除運算，最后加減運算即可.【詳解】解：?=?27+=?27+4+8=?15；12．計算(1)?6+10?3+?9；(2)?(3)19+16?(5)?1917【答案】(1)10(2)0(3)?1(4)2(5)?359【分析】（1）先求解絕對值，再進行加減運算即可；（2）先去括號，再計算，可得答案；（3）利用乘法的分配律進行簡便運算即可；（4）先乘方再算除法，再計算加減運算即可；（5）把原式化為?20+1【詳解】（1）解：?6+10?3+=?6+10?3+9=10（2）解：?=?=?1+1=0（3）解：1==?4?6+9=?1（4）解：?=?16÷=2+1?=2（5）解：?19===?360+1=?359【點睛】本題考查的是含乘方的有理數的混合運算，絕對值的含義，乘法分配律，熟記有理數的混合運算的運算順序是解本題的關鍵．13．已知a與?3互為相反數，