第一章二元一次方程組（單元重點綜合測試）（考試時間：120分鐘；滿分：120分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（本題3分）（2023上·陜西西安·八年級?？茧A段練習）下列方程組中，是二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了二元一次方程組的定義，含有兩個未知數，且每個未知數的最高次數都是1的整式方程組是二元一次方程組，正確掌握二元一次方程組的定義的三要點：（1）共有兩個未知數；（2）未知數的項最高次數都應是一次；（3）都是整式方程，是解題的關鍵．2．（本題3分）（2023上·陜西榆林·八年級?？茧A段練習）已知是關于，的二元一次方程的一個解，則的值是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】D【分析】此題考查的是二元一次方程的解，解題關鍵是把方程的解代入原方程．把代入方程，得到一個含有未知數m的一元一次方程，從而可以求出m的值．【詳解】解：把代入二元一次方程，得，解得：，故選：D3．（本題3分）（2023下·四川眉山·七年級?？计谥校┒淮畏匠探M的解是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查二元一次方程組的解，知道二元一次方程組的解是兩個方程的公共解是解題的關鍵．根據方程組的解法進行解答即可得出答案．【詳解】解：①＋②，得：，解得：，把代入①，得：，∴方程組的解是．故選：B．4．（本題3分）（2023下·黑龍江牡丹江·七年級統考期末）已知，滿足方程組，則的值是（

）A．4 B． C．3 D．【答案】C【分析】此題考查了解二元一次方程組．方程組兩方程相加，再整理即可求出的值．【詳解】解：，得：，∴，即，故選：C．5．（本題3分）（2023上·寧夏銀川·八年級銀川唐徠回民中學?？计谀秾O子算經》是中國傳統數學的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長、繩子還剩余尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了從實際問題中抽象出二元一次方程組，設木頭長為x尺，繩子長為y尺，根據用一根繩子去量一根木頭的長、繩子還剩余尺，可得，根據將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺可得，據此列出方程組即可．【詳解】解；設木頭長為x尺，繩子長為y尺，由題意得，，故選A．6．（本題3分）（2023下·甘肅天水·七年級校考期末）已知，則、的值分別是()A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】本題考查了非負數的性質及解二元一次方程組，先根據非負數的性質得到關于、的二元一次方程，再用加減消元法或代入消元法求出未知數的值，求出，的值即可，根據非負數的性質得出方程組是解答此題的關鍵．【詳解】∵，∴，解得：，故選：．7．（本題3分）（2023上·廣西南寧·七年級統考期中）將4個完全相同的小長方形分別放入兩個形狀大小完全相同的長方形中，兩個大長方形未被覆蓋部分分別是圖（1）和圖（2）的陰影部分，如果大長方形的長為，則圖（1）與圖（2）的陰影部分周長之差是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了列代數式、整式的加減的應用，設小長方形的長為，寬為，由圖（1）可得，解得，繼而根據周長公式求出兩個陰影部分的周長，從而得出答案，正確列出代數式是解此題的關鍵．【詳解】解：設小長方形的長為，寬為，由圖（1）可得，解得：，兩個大長方形的形狀大小相同，大長方形長為，寬為，圖（1）陰影部分的周長為，圖（2）陰影部分的周長為，周長差為：，故選：C．8．（本題3分）（2023下·湖南岳陽·七年級岳陽市弘毅新華中學?？茧A段練習）若方程組與有相同的解，則a、b的值為（

）A．2，3 B．3，2 C．2，－1 D．－1，2【答案】B【分析】先求出的解，再代入，解關于a和b的方程組即可．【詳解】解：，將得：，將代入①得：，∴該方程組的解為，由題意，的解也是，∴，解得：，故選：B．【點睛】本題考查了同解方程組的問題，解題關鍵是先求出方程組的解，再代入含字母的兩個方程組成的方程組中求出字母的值即可．9．（本題3分）（2023上·四川達州·八年級校考期末）兩位同學在解方程組時，甲同學正確地解出，乙同學因把c抄錯了解得，則a、b、c正確的值應為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二元一次方程組的錯解問題，解題的關鍵是理解題意得出正確的方程組．把甲的結果代入方程組兩方程中，乙的結果代入第一個方程中，分別求出a，b，c的值，即可求出所求．【詳解】解：解：把代入方程組得：，把代入得：，聯立得：，解得：，由，得到，故選：C．10．（本題3分）（2022下·浙江寧波·七年級校聯考期中）已知關于x，y的方程組的解為，則關于方程組的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將方程組變形，結合題意得出，即可求出x，y的值．【詳解】解：方程組變形為，設則，和的方程組的解是，∴，，解得，故A正確．故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（本題3分）（2022上·湖南永州·七年級校考階段練習）把方程化成用y的代數式表示x的形式．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程的變形，熟練掌握性質是解題的關鍵．【詳解】∵，∴，∴，故答案為：．12．（本題3分）（2023上·陜西西安·八年級校考階段練習）若關于，的方程是二元一次方程，則.【答案】2【分析】本題主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程滿足的條件：含有2個未知數，含未知數的項的次數是1的整式方程，據此解答即可．【詳解】解：根據題意得：，解得．故答案為：．13．（本題3分）（2023上·安徽宿州·八年級統考階段練習）若關于x，y的二元一次方程組的解是，其中y的值被墨汁蓋住了，則b的值是．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程組的解；先把代入求出y的值，再把x，y的值代入即可求出b．【詳解】解：把代入得：，解得：，把，代入得：，解得：，故答案為：．14．（本題3分）（2023上·山東濟南·八年級統考期中）已知關于x，y的方程組的解滿足，則a的值為．【答案】4【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，利用加減消元法求出，再由，得到，解之即可得到答案．【詳解】解：得：，∵，∴，解得：，故答案為：4．15．（本題3分）（2023上·四川達州·八年級?？计谀┊敺匠探M解是正整數時，整數值為．【答案】1或【分析】此題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法是解答此題的關鍵，根據為正整數，為整數，求出的值是解答此題的難點．對于方程組，得，根據為正整數，為整數可得出的值．【詳解】解：對于方程組，得：．原方程組的解為：，∵為正整數，∴、為正整數，則、；又∵為整數，或1，綜上所述：整數的值為1或，故答案為：1或．16．（本題3分）（2023上·河南鄭州·八年級校考期中）上學年初一某班的學生都是兩人一桌，其中男生與女生同桌，這些女生占全班女生的．本學年該班新轉入4個男生后，男女生剛好一樣多．設上學年該班有男生x人，女生y人，則列方程組為．【答案】【分析】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組．根據本學年該班新轉入4個男生后，男女生剛好一樣多，其中男生與女生同桌，這些女生占全班女生的，可以列出相應的方程組．【詳解】解：由題意可得，，故答案為：．17．（本題3分）（2023上·黑龍江綏化·七年級統考期末）中國瓷器以其精湛的工藝和精美的圖案享譽世界．某瓷器廠一車間有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壺或30只茶杯．1只茶壺需要配4只茶杯，為使每天加工的茶壺和茶杯剛好配套，該車間應安排名工人加工茶壺．【答案】6【分析】本題主要考查二元一次方程組的應用，根據題意找出合適的等量關系，列出方程組求解即可.【詳解】解：設名工人加工茶杯，名工人加工茶壺，根據題意得：，解得：，故8名工人加工茶杯，6名工人加工茶壺．故答案為：6．18．（本題3分）（2023上·重慶·八年級四川外國語大學附屬外國語學校?？计谥校┤粢粋€四位自然數的各個數位上的數字均不為0，且千位數字的5倍等于百位數字、十位數字與個位數字的和，則稱這個四位數為“謙和數”．例如：四位數是“謙和數”．又如四位數不是“謙和數”．若四位數為“謙和數”，則．若“謙和數”（其中為偶數），將“謙和數”的十位數字與個位數字放到千位數字與百位數字之前，組成一個新的四位數，規定．若能被11整除，且能被3整除，則的最大值為．【答案】【分析】本題考查的是數的整除，乘法分配律的靈活應用，二元一次方程的正整數解問題，由，可得能被整除，再分類討論即可．清晰的分類討論是解本題的關鍵．【詳解】解：∵四位數為“謙和數”，∴，解得；∵是“謙和數”，∴，，∴，又∵新的四位數，∴，∴，∴能被11整除，又∵能被3整除，∴能被3整除，當時，或，由于是偶數，不符合題意；當時，，由于是偶數，不符合題意；當時，或，由于是偶數，不符合題意；當時，或，由于是偶數，不符合題意；當時，，由于是偶數，不符合題意；當時，（舍去）或，這時，而不能被3整除，不符合題意；當時，（舍去）或，這時，能被3整除，即b最大為，c為，∴的最大值為，故答案為：；．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（本題6分）（2023下·四川德陽·七年級統考期中）解方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解二元一次方程組，掌握用加減消元法解二元一次方程組，步驟的完整性是解題關鍵．（1）運用加減消元法解答即可；（2）運用加減消元法解答即可【詳解】（1），得，，把代入得，∴此方程組的解；（2）原方程組可化為：，得，把代入得，∴此方程組的解．20．（本題6分）（2023下·貴州黔東南·七年級?？茧A段練習）若關于，的方程組的解，互為相反數，求的值【答案】【分析】根據已知條件，互為相反數知，然后將代入原方程組，轉變為二元一次方程組，利用加減消元法解方程組即可．【詳解】解：，互為相反數，，即，將代入原方程組，，整理可得，，得，，即，將代入②得，．21．（本題8分）（2023下·福建泉州·七年級統考期中）小明在拼圖時，發現8個一樣大小的長方形，恰好可以拼成一個大的長方形如圖1；小紅看見了，說：“我也來試一試．”結果小紅七拼八湊，拼成了如圖2那樣的正方形，中間還留下了一個洞，恰好是面積為的小正方形，求每個小長方形的面積．

圖1

圖2【答案】【分析】設每個小長方形的長為，寬為，根據題意列二元一次方程組求解即可．【詳解】解：由中間還留下了一個洞，恰好是面積為的小正方形其邊長為，設每個小長方形的長為，寬為，根據題意得：，解得：，．答：每個小長方形面積為．22．（本題8分）（2023下·四川遂寧·七年級校聯考階段練習）關于x的代數式，當時，其值為；當時，其值為3；當時，其值為35；(1)求a，b，c的值(2)當時，求代數式的值．【答案】(1)，，(2)16【分析】（1）根據題意列出關于a，b，c的三元一次方程組，進行計算即可解答；（2）根據（1）中算出的a，b，c，得到代數式，然后令代入計算即可．【詳解】（1）解：由題意得：，得：，得：，得：，得：，解得：，把代入④得：，解得：，把，代入①得：，解得：，∴原方程組的解為：，（2）當時，，∴的值為16．23．（本題9分）（2022下·陜西商洛·七年級校考階段練習）樂樂，果果兩人同解方程組時，樂樂看錯了方程①中的a，解得，果果看錯了方程②中的b，解得，求的值．【答案】0【分析】把代入②得出可求出，把代入①得出可求出，然后再代入求代數式的值即可．【詳解】解：甲、乙兩人同解方程組時，甲看錯了方程①中的，解得，乙看錯了方程②中的，解得，把代入②，得，解得：，把代入①，得，解得：，．24．（本題9分）（2023上·河南平頂山·八年級校聯考階段練習）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車店計劃購進一批新能源汽車進行銷售．據了解，購進輛型新能源汽車、輛型新能源汽車共需萬元；購進輛型新能源汽車、輛型新能源汽車共需萬元．(1)問、兩種型號的新能源汽車每輛進價分別為多少萬元？(2)若該公司計劃正好用萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），銷售輛型汽車可獲利萬元，銷售輛型汽車可獲利萬元．假如這些新能源汽車全部售出，問該公司的共有幾種購買方案？最大利潤是多少萬元？【答案】(1)種型號的新能源汽車每輛進價為萬元，種型號的新能源汽車每輛進價為萬元；(2)該公司共有四種購買方案，最大利潤是萬元．【分析】（）設種型號的新能源汽車每輛進價為萬元，種型號的新能源汽車每輛進價為萬元，根據題意列出方程組即可；（）設購買輛種型號的新能源汽車，輛種型號的新能源汽車，根據題意得，由，均為正整數，求出，的值即可；此題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出二元一次方程組．【詳解】（1）設種型號的新能源汽車每輛進價為萬元，種型號的新能源汽車每輛進價為萬元，根據題意得：，解得：，答：種型號的新能源汽車每輛進價為萬元，種型號的新能源汽車每輛進價為萬元；（2）設購買輛種型號的新能源汽車，輛種型號的新能源汽車，根據題意得：，∴，∵，均為正整數，∴或或或，∴該公司共有四種購買方案．當，時，獲得的利潤為（萬元）；當，時，獲得的利潤為（萬元）；當，時，獲得的利潤為（萬元）；當，時，獲得的利潤為（萬元）．∵．∴最大利潤是萬元．25．（本題10分）（2022下·北京懷柔·七年級校考期末）我們知道方程組的解與方程組中每個方程的系數和常數項有聯系，系數和常數項經過一系列變形、運算就可以求出方程組的解．因此，在現代數學的高等代數學科將系數和常數項排成一個表的形式，規定：關于x，y的二元一次方程組可以寫成矩陣的形式．例如：可以寫成矩陣的形式．(1)填空：將寫成矩陣形式為：；(2)若矩陣所對應的方程組的解為，求a與b的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意中的定義將方程組轉換為：，按照定義即可寫出矩陣；（2）根據矩陣形式寫成方程組的形式，將題目告知的解代入方程組，解得系數a、b．【詳解】（1）解：整理方程得，，因此矩陣形式為：