2025屆湖南省株洲市茶陵縣二中高二上數學期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列命題中，結論為真命題的組合是（）①“”是“直線與直線相互垂直”的充分而不必要條件②若命題“”為假命題，則命題一定是假命題③是的必要不充分條件④雙曲線被點平分的弦所在的直線方程為⑤已知過點的直線與圓的交點個數有2個.A.①③④ B.②③④C.①③⑤ D.①②⑤2．設，，則“”是“”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件3．過點且垂直于的直線方程為（）A. B.C. D.4．若直線與互相垂直，則實數a的值為（）A.-3 B.C. D.35．已知，則（）A. B.C. D.6．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，則（）A.14 B.9C.4 D.27．已知是雙曲線的左焦點，為右頂點，是雙曲線上的點，軸，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．已知全集，集合，則（）A. B.C. D.9．展開式中第3項的二項式系數為（）A.6 B.C.24 D.10．在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.611．經過直線與直線的交點，且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.12．已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數在區間內存在最大值，則實數的取值范圍是____________.14．設命題：，，則為______.15．函數的圖象在點處的切線方程為______16．設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S2020>0，S2021<0，則當n=_____________時，Sn最大.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知各項均為正數的等比數列{}的前4項和為15，且.（1）求{}的通項公式；（2）若，記數列{}前n項和為，求.18．（12分）已知是邊長為2的正方形，正方形繞旋轉形成一個圓柱；（1）求該圓柱的表面積；（2）正方形繞順時針旋轉至，求異面直線與所成角的大小19．（12分）已知等差數列滿足：，，數列的前n項和為（1）求及；（2）設是首項為1，公比為3的等比數列，求數列的前項和20．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）21．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，，為中點，且平面.（1）求點到平面的距離；（2）線段上是否存在一點，使平面？如果不存在，請說明理由；如果存在，求的值.22．（10分）已知橢圓的焦距為4，點在G上.（1）求橢圓G的方程；（2）過橢圓G右焦點的直線l與橢圓G交于M，N兩點，O為坐標原點，若，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求出兩直線垂直時m值判斷①；由復合命題真值表可判斷②；化簡不等式結合充分條件、必要條件定義判斷③；聯立直線與雙曲線的方程組成的方程組驗證判斷④；判定點與圓的位置關系判斷⑤作答.【詳解】若直線與直線相互垂直，則，解得或，則“”是“直線與直線相互垂直”的充分而不必要條件，①正確；命題“”為假命題，則與至少一個是假命題，不能推出一定是假命題，②不正確；，，則是的必要不充分條件，③正確；由消去y并整理得：，，即直線與雙曲線沒有公共點，④不正確；點在圓上，則直線與圓至少有一個公共點，而過點與圓相切的直線為，直線不包含，因此，直線與圓相交，有兩個交點，⑤正確，所以所有真命題的序號是①③⑤.故選：C2、C【解析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.3、B【解析】求出直線l的斜率，再借助垂直關系的條件即可求解作答.【詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B4、C【解析】根據給定條件利用兩條直線互相垂直的關系列式計算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實數a的值為.故選：C5、B【解析】根據基本初等函數的導數公式及求導法則求導函數即可.【詳解】.故選：B.6、C【解析】根據給定條件結合橢圓、雙曲線方程的特點直接列式計算作答.【詳解】設橢圓半焦距為c，則，而橢圓與雙曲線有共同的焦點，則在雙曲線中，，即有，解得，所以.故選：C7、C【解析】根據條件可得與，進而可得，，的關系，可得解.【詳解】由已知得，設點，由軸，則，代入雙曲線方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故選：C.8、B【解析】根據題意先求出，再利用交集定義即可求解.【詳解】全集，集合，則，故故選：B9、A【解析】根據二項展開式的通項公式，即可求解.【詳解】由題意，二項式展開式中第3項，所以展開式中第3項的二項式系數為.故選：A.10、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.11、B【解析】求出兩直線的交點坐標，可設所求直線的方程為，將交點坐標代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點坐標為，設所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.12、A【解析】根據平面向量垂直的性質，結合平面向量數量積的坐標表示公式、充分性、必要性的定義進行求解判斷即可.詳解】當時，有，顯然由，但是由不一定能推出，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先利用導數判斷函數的單調性，再根據函數在開區間內存在最大值，可判斷極大值點就是最大值點，列式求解.【詳解】由題可知：所以函數在單調遞減，在單調遞增，故函數的極大值為.所以在開區間內的最大值一定是又，所以得實數的取值范圍是故答案為：【點睛】關鍵點點睛：由函數在開區間內若存在最大值，即極大值點在區間內，同時還得滿足極大值點是最大值，還需列不等式，不要忽略這個不等式.14、，【解析】由全稱命題的否定即可得到答案【詳解】根據全稱命題的否定，可得為，【點睛】本題考查了含有量詞的命題否定，屬于基礎題15、【解析】求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】因為，則，所以，，，故所求切線方程為，即.故答案為：.16、1010【解析】先由S2020>0，S2021<0，判斷出，，即可得到答案.【詳解】等差數列{an}的前n項和為，所以，因為1+2020=1010+1011，所以，所以.，所以，所以當n=1010時，Sn最大.故答案為：1010.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設正項的等比數列的公比為，根據題意列出方程組，求得的值，即可求得數列的通項公式；（2）由，結合乘公比錯位相減求和，即可求解.小問1詳解】解：設正項的等比數列的公比為，顯然不為1，因為等比數列前4項和為且，可得，解得，所以數列的通項公式為.【小問2詳解】解：由，所以，可得，兩式相減得，所以.18、（1）（2）【解析】（1）利用表面積公式直接計算得到答案.（2）連接和，，故即為異面直線與所成角，證明，根據長度關系得到答案.【小問1詳解】【小問2詳解】如圖所示：連接和，，故即為異面直線與所成角，，，，故平面，平面，故，，故，直角中，，，，故異面直線與所成角的大小為.19、（1）；（2）【解析】(1)先根據已知求出，再求及.(2)先根據已知得到，再利用分組求和求數列的前項和.【詳解】（1）設等差數列的公差為d，因為，，所以，解得，所以；==.（2）由已知得，由（1）知，所以，=.【點睛】(1)本題主要考查等差數列的通項和前n項和求法，考查分組求和和等比數列的求和公式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.(2)有一類數列，它既不是等差數列，也不是等比數列，但是數列是等差數列或等比數列或常見特殊數列，則可以將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比數列或常見的特殊數列，然后分別求和，再將其合并即可.這叫分組求和法.20、（1）（2）【解析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用分式不等式的解法求解.【小問1詳解】解：因為，所以，解得，所以不等式的解集是；【小問2詳解】因為，所以，所以，即，解得，所以不等式的解集是.21、（1）（2）線段上存在一點，當時，平面.【解析】（1）設點到平面的距離為，則由，由體積法可得答案.（2）由（1）連接,可得則從而平面，過點作交于點，連接，可證明平面平面，從而可得出答案.【小問1詳解】由，，為中點，則由平面，平面,則又，且,則平面又，則平面,且都在平面內所以所以,取的中點，連接，則,所以,所以所以所以則設點到平面的距離為，則由即,即【小問2詳解】線段上是否存在一點，使平面.由（1）連接,則四邊形為平行四邊形，則過點作交于，則為中點，則為的中點,即又平面，則平面過點作交于點，連接，則,即又平面,所以平面又，所以平面平面又平面,所以平面所以線段上存在一點，當時，平面.22、（