2025屆河南省許昌市、洛陽市高二上數學期末教學質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設.若，則＝（）A. B.C. D.e2．已知雙曲線的右焦點為F，關于原點對稱的兩點A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，且點C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.C. D.3．已知直線與直線平行，則實數a的值為（）A.1 B.C.1或 D.4．已知等比數列的公比為正數，且，，則（）A.4 B.2C.1 D.5．已知圓過點，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.6．已知x是上的一個隨機的實數，則使x滿足的概率為（）A. B.C. D.7．已知隨機變量服從正態分布，若，則（）A.0.2 B.0.24C.0.28 D.0.328．已知數列滿足且，則（）A.是等差數列 B.是等比數列C.是等比數列 D.是等比數列9．已知直線l：，則下列結論正確的是（）A.直線l的傾斜角是B.直線l在x軸上的截距為1C.若直線m：，則D.過與直線l平行的直線方程是10．“﹣3＜m＜4”是“方程表示橢圓”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要11．已知拋物線上一點到焦點的距離為3，準線為l，若l與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.C. D.12．某口罩生產商為了檢驗產品質量，從總體編號為001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的隨機數表選取10個樣本進行抽檢，選取方法是從下面的隨機數表第1行第5列的數字開始由左向右讀取，則選出的第3個樣本的編號為（）160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.325二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓和圓的公切線的條數為______14．拋物線的焦點為F，準線為l，C上的一點M在l上的射影為N，已知線段FN的垂直平分線方程為，則___________；___________.15．過點的直線與拋物線相交于，兩點，，則直線的方程為______.16．已知點，平面過原點，且垂直于向量，則點到平面的距離是_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點，D為棱上的點.（1）證明：；（2）當時，求直線BF與平面DEF所成角的正弦值.18．（12分）中，三內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知（1）求角A；（2）若，角A的角平分線交于D，，求a19．（12分）已知圓C過點，，它與x軸的交點為，，與y軸的交點為，，且.（1）求圓C的標準方程；（2）若，直線，從點A發出的一條光線經直線l反射后與圓C有交點，求反射光線所在的直線的斜率的取值范圍.20．（12分）已知函數.（1）求函數在處的切線方程；（2）求函數在區間上的最大值與最小值.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，平面側面，且.（1）求證：；（2）若直線與平面所成的角為，請問在線段上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在請求出的位置，不存在請說明理由.22．（10分）已知數列是公差為2的等差數列，且滿足，，成等比數列（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題可得，將代入解方程即可.【詳解】∵，∴,∴，解得.故選：D.2、D【解析】設，由，得到四邊形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解.【詳解】如圖所示：設，則，，，因為，所以，則四邊形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，解得，故選：D3、A【解析】根據兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經檢驗可知符合題意.故選：A4、D【解析】設等比數列的公比為（），則由已知條件列方程組可求出【詳解】設等比數列的公比為（），由題意得，且，即，，因為，所以，，故選：D5、B【解析】根據圓心在軸上，設出圓的方程，把點，的坐標代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因為圓的圓心在軸上，所以設圓的方程為，因為點，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.6、B【解析】先解不等式得到的范圍，再利用幾何概型的概率公式進行求解.【詳解】由得，即，所以使x滿足的概率為故選：B.7、C【解析】依據正態曲線的對稱性即可求得【詳解】由隨機變量服從正態分布，可知正態曲線的對稱軸為直線由，可得則，故故選：C8、D【解析】由，化簡得，結合等比數列、等差數列的定義可求解.【詳解】由，可得，所以，又由，，所以是首項為，公比為2的等比數列，所以，，，，所以不是等差數列；不等于常數，所以不是等比數列.故選：D.9、D【解析】A.將直線方程的一般式化為斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直線m斜率即可判斷；D.設要求直線的方程為，將代入即可.【詳解】根據題意，依次分析選項：對于A，直線l：，即，其斜率，則傾斜角是，A錯誤；對于B，直線l：，令y＝0，可得，l在x軸上的截距為，B錯誤；對于C，直線m：，其斜率，，故直線m與直線l不垂直，C錯誤；對于D，設要求直線的方程為，將代入，可得t＝0，即要求直線為，D正確；故選：D10、B【解析】求出方程表示橢圓的充要條件是且,由此可得答案.【詳解】因為方程表示橢圓的充要條件是,解得且,所以“﹣3＜m＜4”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選:B【點睛】本題考查了由方程表示橢圓求參數的范圍,考查了充要條件和必要不充分條件,本題易錯點警示:漏掉,本題屬于基礎題.11、C【解析】先由已知結合拋物線的定義求出，從而可得拋物線的準線方程，則可求出準線l與兩條漸近線的交點分別為，然后由題意可得，進而可求出雙曲線的離心率詳解】依題意，拋物線準線，由拋物線定義知，解得，則準線，雙曲線C的兩條漸近線為，于是得準線l與兩條漸近線的交點分別為，原點為O，則面積，雙曲線C的半焦距為c，離心率為e，則有，解得故選：C12、A【解析】按隨機數表法逐個讀取數字即可得到答案.【詳解】根據隨機數表法讀取的數字分別為：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，故選出的第3個樣本的編號為148.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】判斷出兩個圓的位置關系，由此確定公切線的條數.內含關系0條公切線，內切關系1條公切線，相交關系2條公切線，外切關系3條公切線，外離關系4條公切線。【詳解】由題知圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，所以，，所以兩圓外切，所以兩圓共有3條公切線.故答案為：314、①.2②.4【解析】設點，根據給定條件結合拋物線定義可得線段FN的中點及點M都在線段FN的垂直平分線，再列式計算作答.【詳解】拋物線的焦點，準線l：，設點，則，線段FN的中點，由拋物線定義知：，即點M在線段FN的垂直平分線，因此，，解得，而，則有，，所以，.故答案為：2；4【點睛】結論點睛：拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點F到準線的距離，等于焦點到拋物線頂點的距離15、##【解析】根據拋物線方程可得焦點坐標，進而點P為拋物線的焦點，設，利用拋物線的定義可得，有軸，即可得出結果.【詳解】由題意知，拋物線的焦點坐標，又，所以點P為拋物線的焦點，設，由，由拋物線的定義得，解得，所以AB垂直與x軸，所以直線AB的方程為：.故答案為：16、【解析】確定，，利用點到平面的距離為，即可求得結論.【詳解】由題意，，，設與的夾角為，則所以點到平面的距離為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量證明即可，（2）求出平面DEF的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因為三棱柱是直三棱柱，且，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設，則，所以，所以，所以【小問2詳解】因為，所以，所以，設平面一個法向量為，則，令，則，設直線BF與平面DEF所成角為，則，所以直線BF與平面DEF所成角的正弦值為18、（1）（2）【解析】（1）根據正弦定理統一三角函數化簡即可求解；（2）根據角平分線建立三角形面積方程求出b,再由余弦定理求解即可.【小問1詳解】由及正弦定理，得∵，∴∵，∴∵，∴【小問2詳解】∵，∴，解得由余弦定理，得，∴.19、（1）；（2）.【解析】（1）設圓C的一般式方程為：，然后根據題意列出方程，解出D，E，F的值即可得到圓的方程；（2）先求出點關于直線l的對稱點，設反射光線所在直線方程為，利用直線和圓的位置關系列出不等式解出k的取值范圍即可.【詳解】（1）設圓C的一般式方程為：，令，得，所以，令，得，所以，所以有，所以，①又圓C過點，，所以有，②，③由①②③得，，，所以圓C的一般式方程為，標準方程為；（2）設關于的對稱點，所以有，解之得，故點，∴反射光線所在直線過點，設反射光線所在直線方程為：，所以有，所以反射光線所在的直線斜率取值范圍為.【點睛】本題考查圓的方程的求法，直線和圓的位置關系的應用，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于常考題.20、（1）（2），【解析】(1)根據導數的幾何意義即可求解；(2)根據導數的正負判斷f(x)的單調性，根據其單調性即可求最大值和最小值.【小問1詳解】，切點為(1，－2)，∵，∴切線斜率，切線方程為；【小問2詳解】令，解得，1200極大值極小值2∵，，∴當時，，.21、（1）證明見解析（2）存在，點E為線段中點【解析】(1)通過作輔助線結合面面垂直的性質證明側面，從而證明結論；（2）建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標,再求相關的向量坐標，求平面的法向量，利用向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】證明：連接交于點，因，則由平面側面，且平面側面，得平面，又平面，所以三棱柱是直三棱柱，則底面ABC，所以.又，從而側面，又側面，故.【小問2詳解】由(1).平面，則直線與平面所成的角,所以，又，所以假設在線段上是否存在一點E，使得