全國名校大聯考2025屆數學高二上期末教學質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題“，”的否定是A.， B.，C.， D.，2．金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅硬物質，它的結構是由8個等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長為2，則它外接球的體積為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．已知，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足，那么點P到x軸的距離為（）A. B.C. D.5．執行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為3，則輸出的的值為（）A.3 B.6C.9 D.126．若在1和16中間插入3個數，使這5個數成等比數列，則公比為（）A. B.2C. D.47．函數的導函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數在上單調遞增B.函數的遞減區間為C.函數在處取得極大值D.函數在處取得極小值8．設函數在上可導，則等于（）A. B.C. D.以上都不對9．拋物線的準線方程是A.x=1 B.x=-1C. D.10．設P是雙曲線上的點，若，是雙曲線的兩個焦點，則（）A.4 B.5C.8 D.1011．已知等比數列的各項均為正數，且，則（）A. B.C. D.12．若、、為空間三個單位向量，，且與、所成的角均為，則（）A.5 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．兩條平行直線與的距離是__________14．命題，恒成立是假命題，則實數a取值范圍是________________15．已知等差數列滿足，請寫出一個符合條件的通項公式______16．已知球的半徑為3，則該球的體積為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，且（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數在區間上的最小值18．（12分）已知直線經過拋物線的焦點，且與拋物線相交于兩點.（1）若直線的斜率為1，求；（2）若，求直線的方程.19．（12分）已知數列滿足各項均不為0，，且，.（1）證明：為等差數列，并求的通項公式；（2）令，，求.20．（12分）已知拋物線的焦點到準線的距離為，過點的直線與拋物線只有一個公共點.（1）求拋物線的方程；（2）求直線的方程.21．（12分）已知圓與直線（1）若，直線與圓相交與，求弦長（2）若直線與圓無公共點求的取值范圍22．（10分）設函數（1）若，求的單調區間和極值；（2）在（1）的條件下，證明：若存在零點，則在區間上僅有一個零點；（3）若存在，使得，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，改量詞，且否定結論，故命題的否定是“”.本題選擇C選項.2、A【解析】求得外接球的半徑，進而計算出外接球體積.【詳解】設，正八面體的棱長為，根據正八面體的性質可知：，所以是外接球的球心，且半徑，所以外接球的體積為.故選：A3、A【解析】先根據雙曲線的離心率得到，然后由，得，即為所求的漸近線方程，進而可得結果【詳解】∵雙曲線的離心率，∴又由，得，即雙曲線（）的漸近線方程為，∴雙曲線的漸近線方程為故選：A4、D【解析】設，由雙曲線的性質可得的值，再由，根據勾股定理可得的值，進而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設，，為雙曲線的兩個焦點，設焦距為，，點P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設的高為，則為點P到x軸的距離，則，故選：D【點睛】本題考查雙曲線的性質，難度不大.5、A【解析】模擬執行程序框圖，根據輸入數據，即可求得輸出數據.【詳解】當時，不滿足，故，即輸出的的值為.故選：.6、A【解析】根據等比數列的通項得：，從而可求出.【詳解】解：成等比數列，∴根據等比數列的通項得：，，故選：A.7、C【解析】根據函數單調性與導數之間的關系及極值的定義結合圖像即可得出答案.【詳解】解：根據函數的導函數的圖象可得，當時，，故函數在和上遞減，當時，，故函數在和上遞增，所以函數在和處取得極小值，在處取得極大值，故ABD錯誤，C正確.故選：C.8、C【解析】根據目標式，結合導數的定義即可得結果.【詳解】.故選：C9、C【解析】先把拋物線方程整理成標準方程，進而求得p，再根據拋物線性質得出準線方程【詳解】解：整理拋物線方程得，∴p＝∵拋物線方程開口向上，∴準線方程是y＝﹣故答案為C【點睛】本題主要考查拋物線的標準方程和簡單性質．屬基礎題10、C【解析】根據雙曲線的定義可得：，結合雙曲線的方程可得答案.【詳解】由雙曲線可得根據雙曲線的定義可得：故選：C11、B【解析】利用對數的運算性質，結合等比數列的性質可求得結果.【詳解】是各項均為正數的等比數列，，，，.故選：B12、C【解析】先求的平方后再求解即可.【詳解】，故，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】根據兩平行直線，可求得a值，根據兩平行線間距離公式，即可得答案.【詳解】因為兩平行直線與，所以，解得，所以兩平行線的距離.故答案為：514、【解析】由命題為假命題可得命題為真命題，由此可求a范圍.【詳解】∵命題，恒成立是假命題，∴，，∴，，又函數在為減函數，∴，∴，∴實數a的取值范圍是,故答案為：.15、3（答案不唯一）【解析】由已知條件結合等差數列的性質可得，則，從而可寫出數列的一個通項公式【詳解】因為是等差數列，且，所以，當公差為0時，；公差為1時，；…故答案為：3（答案為唯一）16、【解析】根據球的體積公式計算可得；【詳解】解：因為球的半徑，所以球的體積；故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意，求出的值，然后根據導數的幾何意義即可求解；（2）根據導數與函數單調性關系，判斷函數在區間上的單調性，從而即可求解.【小問1詳解】解：由題意，，因為，所以，解得，所以，，因為，，所以曲線在點處的切線方程為，即；【小問2詳解】解：因為，，所以時，，時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即函數在區間上的最小值為.18、（1）8（2）【解析】（1）設，由，進而結合拋物線的定義，將點到焦點的距離轉化為到準線的距離，最后求得答案；（2）由，所以，設出直線方程并代入拋物線方程，進而結合根與系數的關系求得答案.【小問1詳解】設，拋物線的準線方程為：，因為，由拋物線定義可知，.直線，代入拋物線方程化簡得：，則，所以.【小問2詳解】設，代入拋物線方程化簡得：，所以，因為，所以，于是則直線的方程為：.19、（1）證明見解析，，（2）【解析】（1）根據題意，結合遞推公式，易知，即可求證；（2）根據題意，結合錯位相減法，即可求解.【小問1詳解】∵，∴，，∴等差數列，首項為，公差為3.∴，即，.【小問2詳解】根據題意，得，，①，②①-②得，故.20、（1）；（2）或或.【解析】(1)根據給定條件結合p的幾何意義，直接求出p寫出方程作答.(2)直線l的斜率存在設出其方程，再與拋物線C的方程聯立，再討論計算，l斜率不存在時驗證作答.【小問1詳解】因拋物線的焦點到準線的距離為，于是得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設直線為，由消去y并整理得：，當時，，點是直線與拋物線唯一公共點，因此，，直線方程為，當時，，此時直線與拋物線相切，直線方程為，當直線的斜率不存在時，y軸與拋物線有唯一公共點，直線方程為，所以直線方程為為或或.21、（1）；（2）或.【解析】（1）求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理求弦長；（2）由圓心到直線的距離大于半徑列式求解的范圍【詳解】解：（1）圓，圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，弦長（2）若直線與圓無公共點，則圓心到直線的距離大于半徑解得或22、（1）遞減區間是，單調遞增區間是，極小值（2）證明見解析（3）【解析】（1）對函數進行求導通分化簡，求出解得，在列出與在區間上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在區間上的最小值為，因為存在零點，所以，從而．在對進行分類討論，再利用函數的單調性得出結論.（3）構造函數，在對進行求導，在對進行分情況討論，即可得的得到答案.【小問1詳解】函數的定義域為，，由解得與在區間上的情況如下：–↘↗所以，的單調遞減區間是，單調遞增區間是；在處取得極小值，無極大值【小問2詳解】由（1）知，在區間上的最小值為因為存在零點，所以，從而當時，在區間上單調遞減，且，所以是在區間上的唯一零點當