重慶市三峽名校聯盟高2025屆數學高二上期末監測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列是各項均為正數的等比數列，若，則公比()A. B.2C.2或 D.42．已知等差數列滿足，則等于（）A. B.C. D.3．設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4．將數列中的各項依次按第一個括號1個數，第二個括號2個數，第三個括號4個數，第四個括號8個數，第五個括號16個數，…，進行排列，，，…，則以下結論中正確的是（）A.第10個括號內的第一個數為1025 B.2021在第11個括號內C.前10個括號內一共有1025個數 D.第10個括號內的數字之和5．等差數列中，,，則當取最大值時，的值為A.6 B.7C.6或7 D.不存在6．過點且與拋物線只有一個公共點的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.0條7．記為等差數列的前項和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.88．“”是“方程表示焦點在x軸上的橢圓”的（）A.充要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知拋物線上的點到其準線的距離為，則（）A. B.C. D.10．閱讀程序框圖，該算法的功能是輸出A.數列的第4項 B.數列的第5項C.數列的前4項的和 D.數列的前5項的和11．已知平面，的法向量分別為，，且，則（）A. B.C. D.12．已知三棱錐，點分別為的中點，且，用表示，則等于()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線C的方程為，，，雙曲線C上存在一點P，使得，則實數a的最大值為___________.14．從甲、乙、丙、丁4位同學中，選出2位同學分別擔任正、副班長的選法數可以用表示為____________.15．在等差數列中，，那么等于______.16．已知函數，若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍是__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，且在處取得極值.（1）求的值；（2）當，求的最小值.18．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓上任意兩點，為坐標原點，且以為直徑的圓經過原點，求證：原點到直線的距離為定值，并求出該定值19．（12分）在平面直角坐標系中，圓外的點在軸的右側運動，且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離，記的軌跡為（1）求的方程；（2）過點的直線交于，兩點，以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點，線段交于點，證明：是的中點20．（12分）已知函數（）（1）討論函數的單調區間；（2）若有兩個極值點，（），且不等式恒成立，求實數m的取值范圍21．（12分）如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，，，，，（）（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值；（3）現將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由）22．（10分）已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點，點M在拋物線C的準線上，MF⊥AB，S△AFM＝λS△BFM（1）當λ＝3時，求|AB|的值；（2）當λ∈[]時，求|+|的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由兩式相除即可求公比.【詳解】設等比數列的公比為q，∵其各項均為正數，故q＞0，∵，∴，又∵，∴=4，則q＝2.故選：B.2、A【解析】利用等差中項求出的值，進而可求得的值.【詳解】因為得，因此，.故選：A.3、C【解析】對于A、B、D均可能出現，而對于C是正確的4、D【解析】由第10個括號內的第一個數為數列的第512項，最后一個數為數列的第1023項，進行分析求解即可【詳解】由題意可得，第個括號內有個數，對于A，由題意得前9個括號內共有個數，所以第10個括號內的第一個數為數列的第512項，所以第10個括號內的第一個數為，所以A錯誤，對于C，前10個括號內共有個數，所以C錯誤，對于B，令，得，所以2021為數列的第1011項，由AC選項的分析可得2021在第10個括號內，所以B錯誤，對于D，因為第10個括號內的第一個數為，最后一個數為，所以第10個括號內的數字之和為，所以D正確，故選：D【點睛】關鍵點點睛：此題考查數列的綜合應用，解題的關鍵是由題意確定出第10個括號內第一個數和最后一個數分別對應數列的哪一項，考查分析問題的能力，屬于較難題5、C【解析】設等差數列的公差為∵∴∴∴∵∴當取最大值時，的值為或故選C6、B【解析】過的直線的斜率存在和不存在兩種情況分別討論即可得出答案.【詳解】易知過點，且斜率不存在的直線為，滿足與拋物線只有一個公共點.當直線的斜率存在時，設直線方程為，與聯立得，當時，方程有一個解，即直線與擾物線只有一個公共點.故滿足題意的直線有2條.故選：B7、C【解析】根據等差數列的通項公式及前項和公式利用條件，列出關于與的方程組，通過解方程組求數列的公差.【詳解】設等差數列的公差為，則，，聯立，解得.故選：C.8、A【解析】由橢圓的標準方程結合充分必要條件的定義即得.【詳解】若，則方程表示焦點在軸上的橢圓；反之，若方程表示焦點在軸上的橢圓，則；所以“”是“方程表示焦點在x軸上的橢圓”的充要條件.故選：A.9、C【解析】首先根據拋物線的標準方程的形式，確定的值，再根據焦半徑公式求解.【詳解】，，因為點到的準線的距離為，所以，得故選：C10、B【解析】分析：模擬程序的運行,依次寫出每次循環，直到滿足條件,退出循環,輸出A的值即可詳解：模擬程序的運行,可得:

A=0,i=1執行循環體,,

不滿足條件,執行循環體,不滿足條件,執行循環體,不滿足條件,執行循環體,不滿足條件,執行循環體,滿足條件,退出循環,輸出A的值為31.觀察規律可得該算法的功能是輸出數列{}的第5項.所以B選項是正確的.點睛：模擬程序的運行,依次寫出每次循環得到的A,i的值,當i=6時滿足條件,退出循環,輸出A的值,觀察規律即可得解.11、D【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：因為，所以所以，所以，所以.故選：D12、D【解析】連接，利用，化簡即可得到答案.【詳解】連接，如下圖.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】設出，根據條件推出在圓上運動，根據題意要使雙曲線和圓有交點，則得答案.【詳解】設點，由得：，所以，化簡得：，即滿足條件的點在圓上運動，又點存在于上，故雙曲線與圓有交點，則,即實數a的最大值為2，故答案為：214、【解析】由題意知：從4為同學中選出2位進行排列，即可寫出表示方式.【詳解】1、從4位同學選出2位同學，2、把所選出的2位同學任意安排為正、副班長，∴選法數為.故答案為：.15、14【解析】根據等差數列的性質得到，求得，再由，即可求解.【詳解】因為數列為等差數列，且，根據等差數列的性質，可得，解答，又由.故答案為：14.16、【解析】分析：應用換元法，令，，不等式恒成立，轉化為在恒成立，確定關系式，即可求得答案.詳解：函數對稱軸，最小值令，則恒成立，即在上.，在單調遞增，，解得，即實數的取值范圍是故答案為.點睛：本題考查了函數的單調性、最值問題、不等式恒成立問題以及二次函數的圖象和性質等知識，考查了復合函數問題求解的換元法三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）對函數求導，則極值點為導函數的零點，進而建立方程組解出a,b，然后討論函數的單調區間進行驗證，最后確定答案；（2）根據（1）得到函數在上的單調區間，進而求出最小值.【小問1詳解】，因為在處取得極值，所以，則，所以時，，單調遞減，時，，單調遞增，時，，單調遞減，故為函數的極值點.于是.【小問2詳解】結合（1）可知，在上單調遞減，在上單調遞增，在單調遞減，而，所以.因為，所以.綜上：的最小值為.18、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）根據題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，聯立方程，根據韋達定理得到根與系數的關系，將題目轉化為，化簡得到，代入計算得到答案.【小問1詳解】橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為，故，，故橢圓方程為.【小問2詳解】當直線斜率存在時，設直線方程為，，，則，即，，以為直徑的圓經過原點，故，即，即，化簡整理得到：，原點到直線的距離為.當直線斜率不存在時，為等腰直角三角形，設，則，解得，即直線方程為，到原點的距離為.綜上所述：原點到直線的距離為定值.【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中將圓過原點轉化為是解題的關鍵.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設點，求得到圓上的最小距離為，根據題意得到，整理即可求得曲線的方程；（2）當直線的斜率不存在時，顯然成立；當直線的斜率存在時，設直線的方程，聯立方程組求得和，得到，結合拋物線的定義和方程求得，，結合，即可求解.【小問1詳解】解：設點，（其中），由圓，可得圓心坐標為，因為在圓外，所以到圓上的點的最小距離為，又由到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離，可得，即，整理得，即曲線的方程為【小問2詳解】解：當直線的斜率不存在時，可得點為拋物線的交點，點為坐標原點，點為拋物線的準線與軸的交點，顯然滿足是的中點；當直線的斜率存在時，設直線的方程，設，，，則，聯立方程組，整理得，因為，且，則，故，由拋物線的定義知，設，可得，所以，又因為，所以，解得，所以，因為在地物線上，所以，即，所以，即是的中點20、（1）時，在遞增，時，在遞減，在遞增（2）【解析】（1）求出函數導數，分和兩種情況討論可得單調性；（2）根據導數可得有兩個極值點等價于有兩不等實根，則可得出，進而得出，可得恒成立，等價于，構造函數求出最小值即可.【小問1詳解】的定義域是，，①時，，則，在遞增；②時，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增．綜上，時，在遞增時，在遞減，在遞增【小問2詳解】，定義域是，有2個極值點，，即，則有2個不相等實數根，，∴，，解得，且，，從而，由不等式恒成立，得恒成立，令，當時，恒成立，故函數在上單調遞減，∴，故實數m的取值范圍是【點睛】關鍵點睛：本題考查利用導數解決不等式的恒成立問題，解題的關鍵是將有兩個極值點等價于有兩不等實根，以此求出，再將不等式恒成立轉化為求的最小值.21、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）取得中點，連接，可證明四邊形是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又側棱底面，可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）通過建立空間直角坐標系，由線面角的向量公式即可得出；（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4種不同方案．寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，，四邊形是平行四邊形，，且，，，，又，側棱底面，，，平面（2）以為坐標原點，、、的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，設與平面所成角為，則，解得，故所求（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理的應用，利用向量求線面角、柱體的定義應用和表面積的求法，意在考查學生的直觀想象能力，邏輯推理能力，數學運算能力及化歸與轉化能力，屬于中檔題22、（1）（2）【解析】（1）由面積之比可得向量之比，設直線AB的方程，與拋物線的方程聯立求出兩根之和及兩根之積，與向量的關系可得的A，B的橫坐標的關系聯立求出直線AB的斜率，再由拋物線的性質可得焦點弦的值；（2）由（1）的解法類似的求出AB的中點N的坐標，可得直線AB的斜率與λ的關系，再由λ的范圍，求出直線AB的斜率的范圍，由題意設直線MF的方程，令y＝﹣1求出M的橫坐標，進而求出|MN|的最大值，而|+|＝2||，求出|+|的最大值【小問1詳解】當λ＝3時，即S△AFM＝3S△BFM，由題意可得＝3，因為拋物線C：x2＝4y的焦點為F（1，0），準線方程為y＝﹣1，設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y＝kx+1，聯立，整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，顯然，x1+x2＝4k①，x1x2＝﹣4②，y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，由＝3，則（﹣x1，1﹣y1）＝3（x2，y2﹣1）可得x1＝﹣3x2③，①③聯立可得x2＝﹣2k，x1