專題02函數概念與基本初等函數一、單選題1.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三上學期第二次月考】已知函數的定義域為.當時，；當時，；當時，.則A． B． C． D．【答案】D【解析】當時,,所以當時,函數是周期為的周期函數,所以,又函數是奇函數,所以,故選D．2.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三上學期第二次月考】已知函數，（是自然對數的底數），若關于的方程恰有兩個不等實根、，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】：∵，∴恒成立，∴，∴，作函數，的圖象如下，結合圖象可知，存在實數，使得，故，令，則，故在遞減，在遞增，∴，故選：D.3.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三下學期2月質量檢測】函數的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，且定義域關于原點對稱，所以函數為偶函數，故排除B項；，設，則恒成立，所以函數單調遞增，所以當時，，任取，則，所以，，，所以，函數在上為增函數，故排除C、D選項.故選：A.4.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三下學期2月質量檢測】已知是定義在上的奇函數，為偶函數，且函數與直線有一個交點，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數為奇函數，為偶函數，所以，則，所以函數是周期為的周期函數.因為奇函數的定義域為，所以.因為函數與直線有一個交點，所以.所以，，.所以.故.故選：B.5.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期入學摸底】的部分圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于，則，即，可知的定義域為，則，故排除C，而，所以為奇函數，則圖象關于原點對稱，故排除B，又因為當時，，故排除D.故選：A.6.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期入學摸底】已知四點均在函數f（x）＝log2的圖象上，若四邊形ABCD為平行四邊形，則四邊形ABCD的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函數f（x）＝log2，由f（2）＝1可得，∴a＝b+2，由f（）＝0可得，∴a＝1，解得：a＝4，b＝2，∴f（x），設點C，D的橫坐標分別為x1，x2，由題意可知，則，∴，由f（x2）﹣f（x1）＝1得：，∴，∴x1x2＝2x2﹣4x1，把代入解得或﹣4，又∵點C不與B重合，∴x1＝﹣4，∴C（﹣4，3），∴，，故平行四邊形ABCD的面積S＝，故選：B.7.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（二）】已知函數，給出下述論述，其中正確的是（）A．當時，的定義域為B．一定有最小值C．當時，的定義域為D．若在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是【答案】A【解析】對A，當時，解有，故A正確；對B，當時，，此時，，此時值域為，故B錯誤；對C，由A，的定義域為，故C錯誤；對D，若在區間上單調遞增，此時在上單調遞增，所以對稱軸，解得，但當時，在處無定義，故D錯誤.故選：A.8.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（一）】設函數，若存在區間，使在，上的值域為，，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】，，當時，，在，上單調遞增，，在，上單調遞增，，，，在，上單調遞增，在，上的值域為，，，方程在，上有兩解，．作出與直線的函數圖象，則兩圖象有兩交點．若直線過點，，則，若直線與的圖象相切，設切點為，，則，解得．，故選：．9.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（一）】已知實數，，滿足，則下列關系式中不可能成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，，則，，，在同一坐標系中分別畫出函數，，的圖象，如圖，當時，；當時，；當時，.故選:D.10.【湖南省長沙市長郡中學2020屆高三下學期第一次高考模擬】已知為上的奇函數，，在為減函數．若，，，則a，b，c的大小關系為A． B． C． D．【答案】C【解析】由于為奇函數,故為偶函數,且在上為增函數.,所以,故選C.11.【湖南省長沙市長郡中學2020屆高三下學期高考模擬卷（二）】已知三個數、、，其中，，，則、、的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以，，因為，，所以，因為，所以，故選：D.12.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷二】已知是自然對數的底數，設，則的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以.故選:D13.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷二】已知定義在上的奇函數在上單調遞增，且滿足，則關于的不等式的解集為（）．A． B．C． D．【答案】C【解析】為上的奇函數，，令，則，為上奇函數；在上單調遞增，在上單調遞增，在上單調遞增，由奇函數性質知：在上單調遞增；，，則，又，當時，，當時，不成立，即不成立，由此可在坐標系中畫出與大致圖象如下圖所示：由圖象可知：當時，，即當時，.故選：C.14.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷一】函數的圖像大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以為奇函數，其圖象關于原點對稱，排除B，D；因為，所以排除C，故選：A.15.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷一】已知，(e=2.718…為自然對數的底數)，，則a，b，c的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，所以所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，因為，，，所以，即.故選：C16.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期二模】函數的圖像可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，，所以函數為奇函數，C、D錯誤，當，，，，，B錯誤，故選：A.17.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期月考（六）】是的零點，若，則的值滿足A．的符號不確定B． C． D．【答案】D【解析】根據函數在上是減函數，，可得，故選D.18.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期月考（七）】已知定義在上的函數，，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，定義在上的函數的定義域為，關于原點對稱，且，所以函數為奇函數，所以又由當時，結合初等函數的性質，可得函數為單調遞增函數，又由對數的運算性質可得，所以，即.故選：D.19.【湖南師范大學附屬中學2021屆高三下學期二模】天文學中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數值越小，星星就越亮；星等的數值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量中的應用，英國天文學家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足.其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，則與最接近的是(當較小時，)A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27【答案】C【解析】根據題意可得：可得，解得，根據參考公式可得，故與最接近的是.故選：C.20.【湖南師范大學附屬中學2021屆高三下學期三模】已知函數，.若與的圖象在區間上的交點分別為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得：，關于對稱；當時，，關于對稱；，，若為與在的交點，則也為與在的交點，.故選：C.21.【湖南師范大學附屬中學2021屆高三下學期月考（七）】中國的技術領先世界，技術的數學原理之一便是著名的香農公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內信號的平均功率、信道內部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.按照香農公式，若不改變帶寬，而將信噪比從提升至，則大約增加了（）（附：）A． B． C． D．【答案】B【解析】將信噪比從提升至，大約增加了，所以，大約增加了.故選：B.22.【湖南師范大學附屬中學2021屆高三下學期月考（七）】已知函數滿足，函數，若函數與的圖像共有個交點，記作，則的值為A． B． C． D．【答案】D【解析】函數f(x)(x∈R)滿足f(-x)=8-f(4+x)，可得：f(-x)+f(4+x)=8，即函數f(x)關于點(2，4)對稱，函數可知圖象關于(2，4)對稱；∴函數f(x)與g(x)的圖象共有168個交點即在(2，4)兩邊各有84個交點．而每個對稱點都有：x1+x2=4，y1+y2=8，∵有168個交點，即有84組．故得：(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x168+y168)=(4+8)×84=1008．本題選擇D選項.二、多選題1.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（一）】已知函數滿足：對于定義域中任意，在定義域中總存在，使得成立.下列函數中，滿足上述條件的函數是（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由題意可得函數的值域關于原點對稱，對于A，函數的值域為，關于原點對稱，符合題意；對于B，函數的值域為，不關于原點對稱，不符合題意；對于C，函數的值域為，關于原點對稱，符合題意；對于D，函數的值域為，關于原點對稱，符合題意；故選：ACD.2.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷一】日本導演竹內亮拍攝的記錄片《后疫情時代》是繼《南京抗疫現場》?《好久不見，武漢》之后，又一部以中國抗疫為主題的記錄片力作.該片以南京馬拉松比賽?無人配送?網絡直播等為切入點，真實記錄了中國在疫情防控復工復產方面取得的重大成就，并指出：“在新冠疫情沖擊下，中國在全球主要經濟體中率先恢復增長，成為世界經濟體中的亮點”.片中記錄某物流公司引進智能無人配送技術，為疫情期間居家隔離網上購物帶來了很大的便利，同時也大大提升了公司的效益.2020年全年總收入與2019年全年總收入相比增長了一倍，同時該公司的各項運營成本也隨著收入的變化發生了相應變化.下圖給出了該公司這兩年不同運營成本占全年總成本的比例.已知該公司這兩年的年利潤率相同，注：年利潤率=(全年總收入-全年總成本)/全年總收入.下列說法錯誤的是（）A．該公司2020年原材料費用等于2019年工資金額與研發費用的總和B．該公司2020年研發費用是2019年工資金額?原材料費用?其他費用三項的總和C．該公司2020年其他費用占2019年工資金額的D．該公司2020年設備費用是2019年原材料費用的兩倍【答案】ACD【解析】不妨設2019年全年的總成本為，則2020年全年的總成本為.該公司2020年原材料費用為，2019年工資金額與研發費用的和為，故A錯誤；該公司2020年研發費用為，2019年工資金額?原材料費用?其他費用三項的和為，故B正確；該公司2020年其他費用為，2019年工資金額為，故C錯誤；該公司2020年設備費用為，2019年原材料費用為，故D錯誤，故選：ACD3.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期考前沖刺卷】函數的定義域為I，若使得均有，且函數是偶函數，則可以是（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于A選項，因為的值域為，所以A錯誤；對于B選項，，該函數為偶函數，根據三角函數的有界性知，存在正實數，滿足，故B正確；對于C選項，由條件得，不是偶函數，故C錯誤；對于D選項，由條件知，的值域為，滿足存在正實數，使得，且，故為偶函數，故D正確.故選：BD.4.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期月考（六）】設a，b，c都是正數，且，那么（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由于，，都是正數，故可設，，，，則，，.，，即，去分母整理得，.故選AD.5.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期月考（七）】下列函數是奇函數，且在上單調遞增的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A.因為，所以函數是奇函數，又在上單調遞增，故正確；B.因為，所以，所以函數不是奇函數，故錯誤；C.因為，所以函數是奇函數，又在上單調遞增，故正確；D.因為，所以函數是偶函數，故錯誤；故選：AC三、填空題1.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三上學期第二次月考】已知函數是定義域為的奇函數，且滿足，當時，，則方程在區間上的解的個數是______【答案】9【解析】∵當時，，令，則，解得.∵，∴函數是周期為4的周期函數.又∵函數是定義域為的奇函數，∴在區間上，，，，，則方程在區間上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8共9個.2.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三上學期第二次月考】在研究函數()的單調區間時，有如下解法:設,在區間和區間上是減函數,因為與有相同的單調區間,所以在區間和區間上是減函數.類比上述作法,研究函數()的單調區間,其單調增區間為_____________.【答案】【解析】【解析】構造函數，則，當時，單調遞減，由復合函數的單調性可知函數()單調遞減；當時，單調遞增，由復合函數的單調性可知函數()單調遞增；綜上可得：函數()的單調增區間為.3.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷一】已知關于的方程在上有兩個不相等的實根，則實數的取值范圍是________【答案】【解析】由，則方程，即，令，，則由單調性可知，函數是遞增的，故時，值域為.而轉化為，當時，方程為，不成立，故，即轉化為在有兩個不相等的實根，即和，有兩個不同的交點.，當和時，，即在上遞減，在上遞減；當時，，遞增.另外，時，；時，；.結合函數，圖象可知，當時，和，的圖象有兩個不同的交點.故答案為：.4.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期二模】已知函數，則______．【答案】【解析】由，得；故答案為：.5.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期考前沖刺卷】函數，若，，，都有成立，則滿足條件的一個區間可以是__________（填寫一個符合題意的區間即可）.【答案】（答案不唯一）【解析】在區間內，，即函數的圖象在區間內上凸，如圖，可以看出，的圖象的切線斜率遞減，即，，，令，解得：，所以滿足條件的一個區間是的一個子集，可以是.故答案為：（答案不唯一）6.【湖南師范大學附屬中學2