課時質量評價(三十八)(建議用時：45分鐘)A組全考點鞏固練1．如果AB，BC，CD是不在同一平面內的三條線段，則經過它們中點的平面和直線AC的位置關系是()A．平行 B．相交C．AC在此平面內 D．平行或相交A解析：把這三條線段放在正方體內如圖，顯然AC∥EF，AC平面EFG，EF?平面EFG，故AC∥平面EFG.故選A．2．(多選題)下列命題中不是真命題的為()A．若直線l平行于平面α內的無數條直線，則直線l∥αB．若直線a在平面α外，則a∥αC．若直線a∥b，b∥α，則a∥αD．若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內的無數條直線ABC解析：A中，l可以在平面α內，故不是真命題；B中，也存在直線a與平面α相交，故不是真命題；C中，a也可能在平面α內，故不是真命題；D是真命題．3．(2020·重慶育才中學月考)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，有以下四個命題：①若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n.其中真命題的序號是()A．②③B．③④C．①④D．①②A解析：對于命題①，直線m，n可以相交、平行或異面，故是錯誤的；易知②③正確；對于命題④，直線m，n可以相交、平行或異面，故是錯誤的．故選A．4．如圖，AB∥平面α∥平面β，過A，B的直線m，n分別交α，β于C，E和D，F.若AC＝2，CE＝3，BF＝4，則BD的長為()A．eq\f(6,5)B．eq\f(7,5)C．eq\f(8,5)D．eq\f(9,5)C解析：由AB∥α∥β，易證eq\f(AC,CE)＝eq\f(BD,DF)，即eq\f(AC,AE)＝eq\f(BD,BF)，所以BD＝eq\f(AC·BF,AE)＝eq\f(2×4,5)＝eq\f(8,5).5．若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有()A．0條 B．1條C．2條 D．0條或2條C解析：如圖，設平面α截三棱錐所得的四邊形EFGH是平行四邊形，則EF∥GH，EF平面BCD，GH?平面BCD，所以EF∥平面BCD．又EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，則EF∥CD，EF?平面EFGH，CD平面EFGH，則CD∥平面EFGH.同理AB∥平面EFGH，所以該三棱錐與平面α平行的棱有2條．故選C．6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．eq\r(2)解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2).又E為AD的中點，EF∥平面AB1C，EF?平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F為DC的中點，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).7．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請填上你認為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)點M在線段FH上(或點M與點H重合)解析：連接HN，FH，FN(圖略)，則FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1.故只需M∈FH，則MN?平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.8．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，E，F分別是線段A1D，BC1的中點．延長D1A1到點G，使得D1A1＝A1G.證明：GB∥平面DEF.證明：連接A1C，B1C，則B1C，BC1交于點F(圖略)．因為CBD1A1，D1A1＝A1G，所以CBA1G，所以四邊形BCA1G是平行四邊形，所以GB∥A1C．又GB平面A1B1CD，A1C?平面A1B1CD，所以GB∥平面A1B1CD．又點D，E，F均在平面A1B1CD內，所以GB∥平面DEF.9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E為PB的中點．(1)求證：CE∥平面PAD．(2)在線段AB上是否存在一點F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，證明你的結論；若不存在，請說明理由．(1)證明：如圖，取PA的中點H，連接EH，DH.因為E為PB的中點，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB.又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD，因此四邊形DCEH為平行四邊形，所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE平面PAD，所以CE∥平面PAD．(2)解：存在點F為AB的中點，使平面PAD∥平面CEF.證明如下：取AB的中點F，連接CF，EF，則AF＝eq\f(1,2)AB.因為CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD．又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，所以CF∥AD．又AD?平面PAD，CF平面PAD，所以CF∥平面PAD．由(1)知CE∥平面PAD，又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，故存在AB的中點F滿足要求．B組新高考培優練10．(2020·福州3月質檢)已知a，b是兩條異面直線，直線c與a，b都垂直，則下列說法正確的是()A．若c?平面α，則a⊥αB．若c⊥平面α，則a∥α，b∥αC．存在平面α，使得c⊥α，a?α，b∥αD．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥αC解析：對于A，滿足c?平面α，且c與異面直線a，b均垂直，則a可能在α內，也可能與α相交，也可能與α平行，故A錯誤．對于B，滿足c⊥平面α時，直線a與直線b可能其中一條在平面α內，故B錯誤．對于C，若b∥α，則α內一定存在一條直線b′，使得b∥b′.又a?α，且a與b為兩條異面直線，所以a與b′一定相交．又c⊥b，b∥b′，所以c⊥b′.又知c⊥a，a與b′相交，所以c⊥α，故C正確．對于D，如果a⊥α，b⊥α，則a∥b，這與條件中a，b是兩條異面直線相矛盾，故D錯誤．故選C．11．(多選題)(2020·濟南模擬)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為2，側棱AA1＝1，P為上底面A1B1C1D1上的動點，下列四個結論中正確的為()A．若PD＝3，則滿足條件的P點有且只有一個B．若PD＝eq\r(3)，則點P的軌跡是一段圓弧C．若PD∥平面ACB1，則DP長的最小值為2D．若PD∥平面ACB1，且PD＝eq\r(3)，則平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面圖形的面積為eq\f(9π,4)ABD解析：如圖，因為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為2，所以B1D1＝2eq\r(2).又側棱AA1＝1，所以DB1＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3，則點P與點B1重合時，PD＝3，此時P點唯一，故A正確．因為PD＝eq\r(3)∈(1,3)，DD1＝1，則PD1＝eq\r(2)，即點P的軌跡是一段圓弧，故B正確．連接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，則當P為A1C1中點時，DP有最小值，為eq\r(\r(2)2＋12)＝eq\r(3)，故C錯誤．由C選項知，平面BDP即為平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為eq\f(1,2)eq\r(22＋22＋12)＝eq\f(3,2)，面積為eq\f(9π,4)，故D正確．故選ABD．12．平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l，則直線l與直線A1C1所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°D解析：如圖所示，因為平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l＝AF，平面A1BD∩平面ABCD＝BD，所以BD∥AF.又因為A1C1∥AC，所以直線l與直線A1C1所成的角即為直線BD與直線AC所成的角，即直線l與直線A1C1所成的角為90°.13．(2021·蚌埠模擬)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別為AA1，AB的中點，M是正方形ABB1A1內的動點．若C1M∥平面CD1EF，則M點的軌跡長度為________．eq\r(2)解析：如圖，取A1B1的中點H，B1B的中點G，連接GH，C1H，C1G，EG，HF.可得四邊形EGC1D1是平行四邊形，所以C1G∥D1E.同理可得C1H∥CF.因為C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.由M是正方形ABB1A1內的動點可知，若C1M∥平面CD1EF，則點M在線段GH上，所以M點的軌跡長度GH＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).14．已知A，B，C，D四點不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，則四邊形EFHG是________．平行四邊形解析：因為AB∥α，平面ABD∩α＝FH，平面ABC∩α＝EG，所以AB∥FH，AB∥EG，所以FH∥EG.同理EF∥GH，所以四邊形EFHG是平行四邊形．15．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，E為側棱PD(不含端點)上的動點．(1)是否存在一點E，使得PB∥平面AEC？若存在，請說明點E的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．(2)若點F在CD上，且PE∶ED＝CF∶FD，在棱PA(不含端點)上是否存在點G，使得平面BCG∥平面AEF？若存在，請證明你的結論；若不存在，請說明理由．解：(1)當E為PD的中點時，PB∥平面AEC．證明如下：如圖，連接BD，設AC∩BD＝O，則O為BD的中點．連接EO，由E，O分別為PD，BD的中點，知EO為△