熱點01二次函數系數與圖像的關系近幾年四川中考看，在選擇題中對二次函數的系數與圖像之間的關系考查一直是必考點，在解此類題型時，需要考生熟練掌握二次函數解析式中系數a，b，c分別代表的含義，將其與二次函數圖像聯系起來。同時，解決此類題型中不等式的問題，應熟練運用賦值法、消元法等等。二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；

當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）．【中考真題】1．（2022·四川成都·中考真題）如圖，二次函數的圖像與軸相交于，兩點，對稱軸是直線，下列說法正確的是（

）A． B．當時，的值隨值的增大而增大C．點的坐標為 D．【答案】D【詳解】解：A、根據圖像可知拋物線開口向下，即，故該選項不符合題意；B、根據圖像開口向下，對稱軸為，當，隨的增大而減小；當，隨的增大而增大，故當時，隨的增大而增大；當，隨的增大而減小，故該選項不符合題意；C、根據二次函數的圖像與軸相交于，兩點，對稱軸是直線，可得對稱軸，解得，即，故該選項不符合題意；D、根據可知，當時，，故該選項符合題意；故選：D．2．（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，二次函數的圖象關于直線對稱，與x軸交于，兩點，若，則下列四個結論：①，②，③，④．正確結論的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】∵對稱軸為直線x=1，2<x1<1，∴3＜x2＜4，①正確，∵=1，∴b=2а，∴3a＋2b=3a4a=a，∵a＞0，∴3a+2b<0，②錯誤；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b24ac>0，根據題意可知x=1時，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c<b，∵a＞0，∴b=2a<0，∴a＋c<0，∴b24ac>a+c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正確；∵拋物線開口向上，與y軸的交點在x軸下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，∵ab＋c<0，b=2a，∴3a+c<0，∴c<3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④錯誤；故選B3．（2022·四川廣安·中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=1，與x軸正半軸的交點為A（3，0），其部分圖象如圖所示，有下列結論：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是拋物線上的三點，則y1<y2<y3．其中正確結論的個數有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：由圖象可知，開口向上，圖象與y軸負半軸有交點，則，，對稱軸為直線，則，∴，故①正確；當時，，∵，∴，即∴，故②錯誤；∵對稱軸為直線，∴拋物線與x軸負半軸的交點為（，0），∴，∵，兩式相加，則，∴，故③錯誤；∵，，，∴，∴根據開口向上，離對稱軸越近其對應的函數值越小，則有，故④正確；∴正確的結論有2個，故選：B4．（2022·四川達州·中考真題）二次函數的部分圖象如圖所示，與y軸交于，對稱軸為直線．以下結論：①；②；③對于任意實數m，都有成立；④若，，在該函數圖象上，則；⑤方程（，k為常數）的所有根的和為4．其中正確結論有（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】二次函數的部分圖象與y軸交于，對稱軸為直線，拋物線開頭向上，，，，故①正確；令，解得，由圖得，，解得，故②正確；，可化為，即，，若成立，則，故③錯誤；當時，隨的增大而減小，，，對稱軸為直線，時與時所對應的值相等，，故④錯誤；（，k為常數）的解，是拋物線與直線y=±k的交點的橫坐標，則（，k為常數）解的個數可能有2個，3個或4個，根據拋物線的對稱性可知，當有3個或4個交點時，（，k為常數）的所有解的和是4，當有2個交點時，即k=0時，（，k為常數）的所有解的和是2，故⑤錯誤；綜上，正確的個數為2，故選：A．5．（2022·四川廣元·中考真題）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2，下列結論：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若點A（﹣2，y1）、點B（﹣，y2）、點C（，y3）在該函數圖象上，則y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m為常數）．其中正確的結論有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【詳解】解：由圖象及題意得：，對稱軸為直線，與x軸的一個交點為，∴，∴，即，∴，故（1）（3）正確；由圖象可知當x=2時，則有，即，故（2）錯誤；∵點A（﹣2，y1）、點B（﹣，y2）、點C（，y3）在該函數圖象上，∴根據二次函數開口向下，離對稱軸的距離越近，其所對應的函數值越大，∴，故（4）錯誤；由圖象可知當x=2時，該函數有最大值，最大值為，∴當x=m時，（m為常數），則有，∴，即為，故（5）正確；綜上所述：正確的有（1）（3）（5）共3個；故選C．【模擬題】1．（2022·四川達州·一模）二次函數的部分圖象如圖，圖象過點（2，0）對稱軸為直線x=1，下列結論：①<0；②=0；③>0；④當y>0時，的取值范圍是；⑤>3b，其中正確的結論序號為（

）A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④【答案】B【詳解】解：①由圖象可得c＞0，，∵x==1，∴，∴abc＜0，故①正確；②∵拋物線的對稱軸為直線x==1，∴b=2a，即2a+b=0，故②錯誤；③∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴b24ac＞0，故③正確；④∵拋物線與x軸的交點的一個坐標為（2，0），對稱軸為直線x=1，∴拋物線與x軸的另外一個交點坐標為（4，0），∴當y>0時，x的取值范圍是?2<x<4，故④正確；⑤∵當x=3時，y＜0，∴9a3b+c＜0，即9a+c＜3b，故⑤錯誤；綜上分析可知，①③④正確，故B正確．故選：B．2．（2022·四川成都·二模）如圖，二次函數的圖象過點（1，0），對稱軸為直線，則下列結論中不正確的是（

）A． B．C．函數的最小值為 D．【答案】D【詳解】解：∵拋物線對稱軸為直線x=1，∴．∴b=2a．∵拋物線的開口方向向上，∴a＞0．∴b＞0．∵拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸，∴c＜0．∵a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0．∴A的結論正確；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴Δ=b24ac＞0．∴B的結論正確；∵拋物線開口方向向上，對稱軸為直線x=1，∴當x=1時，函數有最小值ab+c．∴C的結論正確；∵次函數y=ax2+bx+c的圖象過點（1，0），對稱軸為直線x=1，∴根據拋物線的對稱性可知拋物線與x軸的另一個交點為（3，0）．∴當時，4a2b+c＜0．∴D的結論不正確．故選：D．3．（2022·四川廣元·一模）拋物線（a，b，c為常數，）經過，兩點，下列五個結論：①一元二次方程的兩根為，；②若點，在該拋物線上，則；③對于任意實數t，總有；④；⑤對于a的每一個確定值，若一元二次方程（p為常數，）的根為整數，則p的值只有兩個．其中正確的結論是（

）A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①③④【答案】D【詳解】解：拋物線（a，b，c為常數，）經過，兩點一元二次方程的兩根為，；故①正確；，經過，兩點則當時，對稱軸為開口向下的拋物線，離拋物線對稱軸越遠的點的函數值越小，點，在該拋物線上，故②不正確對稱軸為，頂點坐標為，拋物線開口向下，存在最大值對于任意實數t，總有即故③正確對稱軸，時，，，，即，即，故④正確對稱性可知方程的根為整數，存在3對整數解，分別為或或，則的值有3個，故⑤不正確綜上分析可得，正確的結論是：①③④，故選：D4．（2022·四川·石室中學一模）如圖是二次函數y＝ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸是直線x＝﹣1，且過點(﹣3，0)，下列說法不正確的是（

）A．abc＜0 B．2a﹣b＝0C．3a+c＝0D．若(﹣5，y1)，(3，y2)是拋物線上兩點，y1＞y2【答案】D【詳解】解：A、∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以A正確，不符合題意；B、∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴2a﹣b＝0，所以B正確，不符合題意；C、∵x＝﹣3時，y＝9a﹣3b+c=0，∵b＝2a，∴9a﹣6a+c=0，即3a+c=0，所以C正確，不符合題意；D、∵點(﹣5，y1)離對稱軸的距離等于點(3，y2)離對稱軸的距離，∴y1=y2，所以D錯誤，符合題意．故答案為：D．5．（2022·四川眉山·一模）二次函數＝＋＋（≠0）的圖象如圖所示，則下列結論不正確的是（

）A．＜0 B．＋＞(＋)（≠1）C．4－2＋＜0 D．3＋＝1【答案】D【詳解】解：A.∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵對稱軸為直線x==1，即b=2a，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以A正確，不符合題意；B.∵x=1時，函數值最大，最大值為a+b+c，∴a+b+c＞am2+mb+c（m≠1），即a十b＞m（am+b），所以B正確，不符合題意；C.當x=2時，4－2＋＜0，故C正確，不符合題意；D.當x=1時，ab+c＜0，又∵b=2a，得到3a+c＜0，故D錯誤，符合題意故選：D6．（2022·四川·雅安中學一模）如圖，二次函數的圖象經過點（－1，2），且與x軸交點的橫坐標分別為、，其中－2＜x1＜－1，0＜x2＜1，下列結論：①＜0；②；③1＜＜0；④；⑤＜1．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】解：∵二次函數的圖象開口向下，與軸交于正半軸，∴，∵與x軸交點的橫坐標分別為、，其中－2＜x1＜－1，0＜x2＜1，∴對稱軸，即，，，，故①錯誤，②，，，即，故②正確，④由于拋物線的對稱軸x=＞1，所以拋物線的頂點縱坐標應該大于2，即＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正確，∵二次函數的圖象經過點（－1，2），∴，即與x軸交點的橫坐標分別為、，其中－2＜x1＜－1，0＜x2＜1，時，，，故⑤正確當時，，，故③不正確故選B7．（2022·四川南充·一模）如圖，拋物線y＝a2＋bx＋c的對稱軸為，經過點（﹣2，0），下列結論：①a＝b；②abc＜0；③；④點A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝ax2＋bx＋c上，當時，y1＜y2；⑤m為任意實數，都有a（4m2﹣1）＋2b（2m＋1）≤0．其中正確結論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【詳解】（1）由圖象知．又對稱軸，∴．則．∴①正確．②正確．（2）由對稱性得與x軸另一交點為，則．由，可得．．∴③正確．（3）時，y隨x的增大而增大．∴④錯誤．（4）由圖象可知當時，函數值最小．∴．∴．∴．∴⑤錯誤．綜上，說法正確的有3個，故選：B．8．（2022·四川·瀘州市第二十八初級中學校一模）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點（1，2）且與x軸交點的橫坐標分別為x1，x2如，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列結論：①4a+2b+c＜0；②2a+b＞0；③b2+8a＞4ac；④a＜﹣1．其中結論正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：由拋物線的開口向下知a＜0，與y軸的交點為在y軸的正半軸上，得c＞0，對稱軸為0＜x=＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，故②錯誤而拋物線與x軸有兩個交點，∴b24ac＞0，當x=2時，y=4a+2b+c＜0，當x=1時，a+b+c=2．∵＞2，∴4acb2＜8a，∴b2+8a＞4ac，故③正確∵函數經過點（1，2），∴a+b+c=2，則2a+2b+2c=4，∵當時，，時，∴4a+2b+c＜0，ab+c＜0．故①正確∴2a+2c＜2，2ac＜4，∴4a2c＜8，∴6a＜6，∴a＜1．故選C．9．（2022·四川·岳池縣教研室二模）如圖，拋物線的對稱軸為，現有下列結論：①；②；③；④；⑤．正確的個數是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B圖象即可判定④；當時，從函數圖象可得函數值，將代入化簡即可判斷⑤．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，對稱軸，∴，∴，∵拋物線與y軸的交點在正半軸，∴，∴，故①錯誤；由函數圖像與y軸交點可知，，當時，從函數圖象可知：，即，∵，∴，即，∴，故②正確；當時，代入解析式可得：，從函數圖象可知：，即，故③錯誤；當時，，當時，，且，根據圖象可得：當時，y取到最大值，∴，即，故④正確；當時，從函數圖象可得函數值，∵，即，代入，可得，，，即，故⑤正確；綜合可得：②④⑤正確，故選：B．10．（2022·四川·珙縣孝兒鎮初級中學校一模）如圖是二次函數的圖象，對于下列說法：①；②；③；④；⑤當時，y隨x的增大而減小．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④【答案】C【詳解】解：∵開口方向向上，∴a>0，∵拋物線與y軸的交點得出c<0，則ac<0，故①錯誤；由對稱為直線x=<1，又∵a>0，∴b<2a，∴2a+b>0，故②正確；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴Δ=b24ac>0，∴4ac<b2，故③正確；由圖可知當x=1時，y<0，即a+b+c<0，故④正確；由圖可知當0<x<時，y隨x的增大而減小．當x>時，y隨x的增大而增大，故⑤錯誤；故選：C．11．（2022·四川廣安·三模）二次函數的圖象如圖所示．下列結論：①；②；③m為任意實數，則；④；⑤若且，則．其中正確結論的個數有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【詳解】解：①拋物線開口方向向下，則a＜0．拋物線對稱軸位于y軸右側，則a、b異號，即ab＜0．拋物線與y軸交于正半軸，則c＞0，所以abc＜0．①錯誤．②∵拋物線對稱軸為直線x=，∴b=2a，即2a+b=0，故②正確；③∵拋物線對稱軸為直線x=1，∴函數的最大值為：a+b+c，∴當m≠1時，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，故③錯誤；④∵拋物線與x軸的一個交點在（3，0）的左側，而對稱軸為直線x=1，∴（3，0）關于直線x=1的對稱點為（1，0），拋物線與x軸的另一個交點在（1，0）的右側∴當x=1時，y＜0，∴ab+c＜0，故④錯誤；⑤∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1ax22bx2=0，∴a（x1+x2）（x1x2）+b（x1x2）=0，∴（x1x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=，∵b=2a，∴x1+x2=2，故⑤正確．綜上所述，正確的有②⑤．故選：A．12．（2022·四川德陽·一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸的正半軸交于點C．下列結論：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＜0，其中正確結論的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：①∵由拋物線的開口向下，∴a＜0，∵對稱軸位于y軸的左側，∴a、b同號，即ab＞0．∴b＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∴abc＞0，∴①正確；②如圖，當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＞0，∴②正確；③對稱軸為x＝﹣＞﹣1，即＜1，∵a＜0，∴b＞2a，即2a﹣b＜0，∴③錯誤；④當x＝1時，y＝a+b+c＝0，又∵b＞2a，∴a+b+c＝0＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0．∴④正確．綜上所述，正確的結論有①②④共3個，故選：C．13．（2022·四川·寧南縣初級中學校一模）平面直角坐標系中，二次函數的圖象如圖所示，現給出下列結論：①；②；③；④（為實數）；⑤．其中正確的結論的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】拋物線的開口向上，且與y軸的交點位于y軸負半軸上，，其對稱軸為，，，則結論①正確，時，，，即，，則結論②錯誤，由二次函數的對稱性可知，當時，，即，則結論③正確，由二次函數的性質可知，當時，y取得最小值，最小值為，當時，，，即，則結論④正確，拋物線與x軸有兩個交點，關于x的方程有兩個不相等的實數根，此方程的根的判別式，，則結論⑤正確，綜上，正確的結論的個數是4，故選：C．14．（2022·四川廣安·二模）對稱軸為直線x＝1的拋物線（a、b、c為常數，且a≠0）如圖所示，小明同學得出了以下結論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a＋2b＋c＞0，④3a＋c＞0，⑤a＋b≤m(am＋b)（m為任意實數），⑥當x＜－1時，y隨x的增大而增大，其中結論正確的個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，∵=1，∴b=2a＜0，∴abc＞0，故①錯誤；②∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b24ac＞0，故②正確；③當x=2時，y=4a+2b+c＜0，故③錯誤；④當x=1時，y=ab+c=a（2a）+c＞0，∴3a+c＞0，故④正確；⑤當x=1時，y取到值最小，此時，y=