（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第2章對稱圖形——圓》2.1圓知識點一知識點一圓的認識◆1、圓的定義定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．◆2、確定一個圓的兩個要素：一是圓心，二是半徑；圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.知識點二知識點二與圓有關(guān)的概念弦：連接圓上任意兩點的線段叫弦；直徑：經(jīng)過圓心的弦叫直徑,是圓中最長的弦；弧：圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧；半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓；優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，用三個點表示，如圖中ABC叫做優(yōu)弧；劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧，用兩個點表示，如圖中AC叫做劣弧；等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓；等弧：能夠互相重合的弧叫做等弧；【注意】1、半圓是弧，但弧不一定是半圓.弧包括優(yōu)弧、劣弧和半圓.半圓既不是優(yōu)弧也不是劣弧.2、等弧只能出現(xiàn)在同圓或等圓中.知識點三知識點三點和圓的位置關(guān)系◆點和圓的位置關(guān)系：1、點與圓的位置關(guān)系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；③點P在圓內(nèi)?d＜r.2、點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．題型一圓的概念題型一圓的概念【例題1】到定點的距離等于定長的點的集合是（）A．圓的外部 B．圓的內(nèi)部 C．圓 D．圓的內(nèi)部和圓解題技巧提煉定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．【變式1-1】車輪滾動一周，求所行的路程，就是求車輪的（）A．直徑 B．周長 C．面積 D．半徑【變式1-2】下列由實線組成的圖形中，為半圓的是（）A． B． C． D．【變式1-3】下列生活中的做法與其背后的數(shù)學原理對應錯誤的是（）A．工人師傅砌門時，常用一根木條固定長方形門框（三角形具有穩(wěn)定性） B．在景區(qū)兩景點之間設計“曲橋”（垂線段最短） C．砌墻時，在兩端釘釘子，沿中間的拉線砌墻（兩點確定一條直線） D．車轱轆設計為圓形（圓上的點到圓心的距離相等）【變式1-4】（2022?路南區(qū)三模）在平面內(nèi)與點P的距離為1cm的點的個數(shù)為（）A．無數(shù)個 B．3個 C．2個 D．1個【變式1-5】（2022秋?東陽市月考）由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為（）A．π B．2π C．3π D．4π【變式1-6】（2022秋?如皋市校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中點為O．求證：A，B，C，D四點在以O為圓心的圓上．題型二與圓有關(guān)的概念題型二與圓有關(guān)的概念【例題2】（2022秋?郯城縣校級期末）有下列四種說法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓．其中，錯誤的說法有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種解題技巧提煉與圓有關(guān)的概念有弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．【變式2-1】如圖，若點O為⊙O的圓心，則線段是圓O的半徑；線段是圓O的弦，其中最長的弦是；是劣弧；是半圓．【變式2-2】（2022秋?公安縣月考）已知⊙O的半徑是4cm，則⊙O中最長的弦長是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【變式2-3】下列說法：①直徑是最長的弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等弧；④長度相等的兩條弧是等弧；⑤半徑相等的兩個圓是等圓；其中說法正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-4】（2022秋?承德縣期末）小明在半徑為5的圓中測量弦AB的長度，下列測量結(jié)果中一定是錯誤的是（）A．4 B．5 C．10 D．11【變式2-5】如圖，是圓O弦的是（）A．線段AB B．線段AC C．線段AE D．線段DE【變式2-6】如圖，已知A，B，C，D四點都在⊙O上，則⊙O中的弦的條數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5題型三確定圓的條件題型三確定圓的條件【例題3】能決定圓的位置的是（）A．圓心 B．半徑 C．直徑 D．周長解題技巧提煉確定一個圓的兩個要素：一是圓心，二是半徑；圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.【變式3-1】（2022秋?廣平縣期末）下列條件中，能確定一個圓的是（）A．經(jīng)過已知點M B．以點O為圓心，10cm長為半徑 C．以10cm長為半徑 D．以點O為圓心【變式3-2】下列條件中，能確定一個圓的是（）A．已知圓心O B．已知半徑r＝5cm C．已知圓心O，半徑r＝5cm D．已知點A為圓上一點【變式3-3】下列條件中，能確定一個圓的是（）A．以點O為圓心 B．以10cm長為半徑 C．以點A為圓心，4cm長為半徑 D．經(jīng)過已知點M題型四點和圓的位置關(guān)系題型四點和圓的位置關(guān)系【例題4】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以點C為圓心，AC長為半徑作圓．則下列結(jié)論正確的是（）A．點B在圓內(nèi) B．點B在圓上 C．點B在圓外 D．點B和圓的位置關(guān)系不確定解題技巧提煉1、點和圓的位置關(guān)系有三種，即點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外.2、點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．【變式4-1】（2022秋?寧波期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，點D在邊BC上，CD＝6，以點D為圓心作⊙D，其半徑長為r，要使點A恰在⊙D外，點B在⊙D內(nèi)，則r的取值范圍是（）A．8＜r＜10 B．6＜r＜8 C．6＜r＜10 D．2＜r＜14【變式4-2】（2023?伊通縣模擬）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中（小正方形的邊長為1），有5個點，M，N，O，P，Q，以O為圓心，5為半徑作圓，則在⊙O外的點是（）A．M B．N C．P D．Q【變式4-3】AB＝12cm，過A、B兩點畫半徑為6cm的圓，能畫的圓的個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個【變式4-4】（2023?徐匯區(qū)模擬）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，點P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）A．點B，C均在圓P外 B．點B在圓P外，點C在圓P內(nèi) C．點B在圓P內(nèi)，點C在圓P外 D．點B，C均在圓P內(nèi)【變式4-5】設AB＝3cm，作圖說明滿足下列要求的圖形．（1）到點A和點B的距離都等于2cm的所有點組成的圖形．（2）到點A和點B的距離都小于2cm的所有點組成的圖形．【變式4-6】（2022秋?海州區(qū)校級月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A為圓心，6cm長為半徑作⊙A（畫圖），則B、C、D與圓的位置關(guān)系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三點至少有一個點在⊙A內(nèi)，至少有一點在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是．題型五圓中角度的計算題型五圓中角度的計算【例題5】（2022?興化市模擬）如圖所示，MN為⊙O的弦，∠N＝52°，則∠MON的度數(shù)為（）A．38° B．52° C．76° D．104°解題技巧提煉圓中角度長度的計算，主要利用了平行線的性質(zhì)，三角形的外角，等腰三角形等有關(guān)知識；正確作出輔助線、利用圓的半徑相等是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】如圖，在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，連接OC，若∠ACO＝25°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．55° D．60°【變式5-2】（2022?西藏）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC=12OD，則∠A．90° B．95° C．100° D．105°【變式5-3】（2022?廣陵區(qū)二模）如圖，在扇形AOB中，D為AB上的點，連接AD并延長與OB的延長線交于點C，若CD＝OA，∠O＝75°，則∠A的度數(shù)為（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【變式5-4】如圖，半圓O是一個量角器，△AOB為一紙片，AB交半圓于點D，OB交半圓于點C，若點C、D、A在量角器上對應讀數(shù)分別為40°、70°、150°，則∠B的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【變式5-5】如圖，AB是半圓O的直徑，D是半圓上的一點，∠DOB＝75°，DC交BA的延長線于E，交半圓于C，且CE＝AO，求∠E的度數(shù)．題型六圓中線段長度的計算題型六圓中線段長度的計算【例題6】（2022秋?延吉市校級期末）如圖，OA是⊙O的半徑，B為OA上一點（且不與點O、A重合），過點B作OA的垂線交⊙O于點C．以OB、BC為邊作矩形OBCD，連接BD．若BD＝10，BC＝8，則AB的長為（）A．8 B．6 C．4 D．2解題技巧提煉圓中線段長度的計算，主要利用了同圓的半徑相等、勾股定理，在圓中常利用勾股定理計算邊的長，熟練掌握勾股定理是關(guān)鍵．【變式6-1】（2022?潮安區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以點C為圓心，CA長為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點D，則⊙C的半徑為（）A．53 B．8 C．6 【變式6-2】如圖，四邊形PAOB是扇形OMN的內(nèi)接矩形，頂點P在弧MN上，且不與M，N重合，當P點在弧MN上移動時，矩形PAOB的形狀、大小隨之變化，則PA2+PB2的值（）A．變大 B．變小 C．不變 D．不能確定【變式6-3】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，AB為直徑，CD⊥AB于C，四邊形CDEF是正方形，連接BD，若CO＝3，OF＝1，則BD＝（）A．35 B．45 C．13 【變式6-4】（2022秋?通榆縣期中）如圖，點B，E在半圓O上，四邊形OABC，四邊形ODEF均為矩形．若AB＝3，BC＝4，則DF的長為．【變式6-5】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的長．題型七圓中線段長度的證明題型七圓中線段長度的證明【例題7】已知，如圖，在⊙O中，C、D分別是半徑OA、BO的中點，求證：AD＝BC．解題技巧提煉利用圓的半徑相等進行證明，同時還用到三角形全等的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的相關(guān)知識.【變式7-1】如圖，AB、CD為⊙O中兩條直徑，點E、F在直徑CD上，且CE＝DF．求證：AF＝BE．【變式7-2】如圖，AB、AC為⊙O的弦，連接CO、BO并延長分別交弦AB、AC于點E、F，∠B＝∠C．求證：CE＝BF．【變式7-3】如圖，在△ABC中，以點A為圓心畫弧分別交BA的延長線，AC于E、F，聯(lián)結(jié)EF并延長交BC于G，EG⊥BC．求證：AB＝AC．

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第2章對稱圖形——圓》2.1圓知識點一知識點一圓的認識◆1、圓的定義定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．◆2、確定一個圓的兩個要素：一是圓心，二是半徑；圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.知識點二知識點二與圓有關(guān)的概念弦：連接圓上任意兩點的線段叫弦；直徑：經(jīng)過圓心的弦叫直徑,是圓中最長的弦；弧：圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧；半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓；優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，用三個點表示，如圖中ABC叫做優(yōu)弧；劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧，用兩個點表示，如圖中AC叫做劣弧；等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓；等弧：能夠互相重合的弧叫做等弧；【注意】1、半圓是弧，但弧不一定是半圓.弧包括優(yōu)弧、劣弧和半圓.半圓既不是優(yōu)弧也不是劣弧.2、等弧只能出現(xiàn)在同圓或等圓中.知識點三知識點三點和圓的位置關(guān)系◆點和圓的位置關(guān)系：1、點與圓的位置關(guān)系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；③點P在圓內(nèi)?d＜r.2、點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．題型一圓的概念題型一圓的概念【例題1】到定點的距離等于定長的點的集合是（）A．圓的外部 B．圓的內(nèi)部 C．圓 D．圓的內(nèi)部和圓【分析】根據(jù)圓的定義作答．【解答】解：圓可以看作是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．故選：C．【點評】考查了圓的認識，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．解題技巧提煉定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．【變式1-1】車輪滾動一周，求所行的路程，就是求車輪的（）A．直徑 B．周長 C．面積 D．半徑【分析】依據(jù)圓的周長的概念，即圍成圓的一周的曲線的長度就是圓的周長，即可進行選擇．【解答】解：車輪滾動一周，求所行的路程，就是求車輪的周長．故選：B．【點評】考查了圓的認識，解答此題的主要依據(jù)是：圓的周長的概念．【變式1-2】下列由實線組成的圖形中，為半圓的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)圓的有關(guān)定義進行解答．【解答】解：根據(jù)半圓的定義可知，選項B的圖形是半圓．故選：B．【點評】本題考查了圓的認識．解題的關(guān)鍵是掌握半圓的定義．圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓．【變式1-3】下列生活中的做法與其背后的數(shù)學原理對應錯誤的是（）A．工人師傅砌門時，常用一根木條固定長方形門框（三角形具有穩(wěn)定性） B．在景區(qū)兩景點之間設計“曲橋”（垂線段最短） C．砌墻時，在兩端釘釘子，沿中間的拉線砌墻（兩點確定一條直線） D．車轱轆設計為圓形（圓上的點到圓心的距離相等）【分析】A、根據(jù)三角形的穩(wěn)定性判斷；B、根據(jù)線段的性質(zhì)進行判斷；C、根據(jù)公理“兩點確定一條直線”進行判斷；D、根據(jù)圓的性質(zhì)進行判斷．【解答】解：A、工人師傅砌門時，常用一根木條固定長方形門框，利用了三角形具有穩(wěn)定性的性質(zhì)，對應正確，不符合題意；B、某兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度，其中蘊含的數(shù)學道理是：兩點之間，線段最短，對應不正確，符合題意；C、砌墻時，在兩端釘釘子，沿中間的拉線砌墻，這是因為兩點確定一條直線，對應正確，不符合題意；D、將車輪設計為圓形是運用了“圓上所有的點到圓心的距離相等”的原理，對應正確，不符合題意．故選：B．【點評】考查直線的性質(zhì)，線段公理等知識，三角形的穩(wěn)定性以及圓的認識，將實際問題數(shù)學化是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2022?路南區(qū)三模）在平面內(nèi)與點P的距離為1cm的點的個數(shù)為（）A．無數(shù)個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】在平面內(nèi)與點P的距離為1cm的點在“以點P為圓心，1cm為半徑的圓”上．【解答】解：在平面內(nèi)與點P的距離為1cm的點的個數(shù)為：所有到定點P的距離等于1cm的點的集合，故選：A．【點評】本題主要考查了圓的認識，圓可以看作是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．【變式1-5】（2022秋?東陽市月考）由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為（）A．π B．2π C．3π D．4π【分析】根據(jù)題意、利用圓的面積公式計算即可．【解答】解：由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為以2為半徑的圓與以1為半徑的圓組成的圓環(huán)的面積，即π×22﹣π×12＝3π，故選：C．【點評】本題考查的是圓的認識、圓的面積的計算，掌握圓的面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式1-6】（2022秋?如皋市校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中點為O．求證：A，B，C，D四點在以O為圓心的圓上．【分析】連結(jié)OC、OD，由直角三角形斜邊上的中線定理得OA＝OB＝OC＝OD=12【解答】證明：連結(jié)OC，OD，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB的中點為O，∴OA＝OB＝OC＝OD=12∴A，B，C，D四點在以O為圓心，OA長為半徑的圓上．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，圓的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型二與圓有關(guān)的概念題型二與圓有關(guān)的概念【例題2】（2022秋?郯城縣校級期末）有下列四種說法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓．其中，錯誤的說法有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【分析】根據(jù)弦的定義、弧的定義、以及確定圓的條件即可解決．【解答】解：①圓確定的條件是確定圓心與半徑，是假命題，故此說法錯誤；②直徑是弦，直徑是圓內(nèi)最長的弦，是真命題，故此說法正確；③弦是直徑，只有過圓心的弦才是直徑，是假命題，故此說法錯誤；④半圓是弧，但弧不一定是半圓，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫半圓，所以半圓是弧．但比半圓大的弧是優(yōu)弧，比半圓小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圓，是真命題，故此說法正確．其中錯誤說法的是①③兩個．故選：B．【點評】本題考查弦與直徑的區(qū)別，弧與半圓的區(qū)別，及確定圓的條件，不要將弦與直徑、弧與半圓混淆．解題技巧提煉與圓有關(guān)的概念有弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．【變式2-1】如圖，若點O為⊙O的圓心，則線段是圓O的半徑；線段是圓O的弦，其中最長的弦是；是劣弧；是半圓．【分析】根據(jù)弦、直徑、半徑、弧、半圓、劣弧等定義一一解答即可；【解答】解：如圖，若點O為⊙O的圓心，則線段OA、OB、OC是圓O的半徑；線段AC、AB、BC是圓O的弦，其中最長的弦是AC；BC、AB是劣弧；ADC、ABC是半圓．故答案為OA、OB、OC；AC、AB、BC；AC；AB、BC；ADC、ABC；【點評】本題考查弦、直徑、半徑、弧、半圓、劣弧等定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式2-2】（2022秋?公安縣月考）已知⊙O的半徑是4cm，則⊙O中最長的弦長是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】根據(jù)圓中最長的弦是直徑以及同圓或等圓中，直徑是半徑的2倍，即可求得結(jié)果．【解答】解：∵⊙O的半徑是4cm，∴⊙O中最長的弦，即直徑的長為8cm．故選：C．【點評】本題考查了圓的基本知識；熟練理解圓中最長的弦是直徑是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】下列說法：①直徑是最長的弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等弧；④長度相等的兩條弧是等弧；⑤半徑相等的兩個圓是等圓；其中說法正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：①直徑是最長的弦，正確，符合題意；②直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；③半徑相等的兩個半圓是等弧，正確，符合題意；④長度相等的兩條弧不一定是等弧，故原命題錯誤，不符合題意；⑤半徑相等的兩個圓是等圓，正確，符合題意，故選：C．【點評】考查了圓的認識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)，難度不大．【變式2-4】（2022秋?承德縣期末）小明在半徑為5的圓中測量弦AB的長度，下列測量結(jié)果中一定是錯誤的是（）A．4 B．5 C．10 D．11【分析】根據(jù)直徑是圓中最長的弦即可求解．【解答】解：∵半徑為5的圓，直徑為10，∴在半徑為5的圓中測量弦AB的長度，AB的取值范圍是：0＜AB≤10，∴弦AB的長度可以是4，5，10，不可能為11．故選：D．【點評】本題考查了圓的認識，掌握弦與直徑的定義是解題的關(guān)鍵．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑．【變式2-5】如圖，是圓O弦的是（）A．線段AB B．線段AC C．線段AE D．線段DE【分析】根據(jù)弦的定義確定答案即可．【解答】解：弦是圓上兩點間的線段，圖中AB是弦，其他均不是，故選：A．【點評】考查了圓的認識，了解弦的定義是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．【變式2-6】如圖，已知A，B，C，D四點都在⊙O上，則⊙O中的弦的條數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)弦的定義（連接圓上任意兩點的線段叫弦）作答．【解答】解：⊙O中的弦有：弦BD，弦AB，弦CD，共有3條．故選：B．【點評】本題主要考查了圓的認識，在圓中，直徑是最長的弦．題型三確定圓的條件題型三確定圓的條件【例題3】能決定圓的位置的是（）A．圓心 B．半徑 C．直徑 D．周長【分析】根據(jù)圓的定義即可解答．【解答】解：根據(jù)圓的定義可知，能決定圓的位置的是圓心，故選A．【點評】本題考查了圓的認識，熟悉圓的定義是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉確定一個圓的兩個要素：一是圓心，二是半徑；圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.【變式3-1】（2022秋?廣平縣期末）下列條件中，能確定一個圓的是（）A．經(jīng)過已知點M B．以點O為圓心，10cm長為半徑 C．以10cm長為半徑 D．以點O為圓心【分析】確定一個圓有兩個重要因素，一是圓心，二是半徑，據(jù)此可以得到答案．【解答】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，∴B選項正確，故選：B．【點評】本題考查了確定圓的條件，確定圓要首先確定圓的圓心，然后也要確定半徑．【變式3-2】下列條件中，能確定一個圓的是（）A．已知圓心O B．已知半徑r＝5cm C．已知圓心O，半徑r＝5cm D．已知點A為圓上一點【分析】確定一個圓有兩個重要因素，一是圓心，二是半徑，據(jù)此可以得到答案．【解答】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，∴C選項正確，故選：C．【點評】本題考查了確定圓的條件，確定圓要首先確定圓的圓心，然后也要確定半徑．【變式3-3】下列條件中，能確定一個圓的是（）A．以點O為圓心 B．以10cm長為半徑 C．以點A為圓心，4cm長為半徑 D．經(jīng)過已知點M【分析】確定一個圓有兩個重要因素，一是圓心，二是半徑，據(jù)此可以得到答案．【解答】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，∴C選項正確，故選：C．【點評】本題考查了確定圓的條件，確定圓要首先確定圓的圓心，然后也要確定半徑．題型四點和圓的位置關(guān)系題型四點和圓的位置關(guān)系【例題4】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以點C為圓心，AC長為半徑作圓．則下列結(jié)論正確的是（）A．點B在圓內(nèi) B．點B在圓上 C．點B在圓外 D．點B和圓的位置關(guān)系不確定【分析】欲求圓與B的位置關(guān)系，關(guān)鍵是求出點B到圓心的距離d，再與r進行比較．若d＜r，則Bz在圓內(nèi)；若d＝r，則B在圓內(nèi)；若d＞r，則B在圓外．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AC＞BC，∴R＞d，∴點B在圓內(nèi)．故選：A．【點評】此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，解決此類問題可通過比較圓心到點距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．解題技巧提煉1、點和圓的位置關(guān)系有三種，即點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外.2、點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．【變式4-1】（2022秋?寧波期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，點D在邊BC上，CD＝6，以點D為圓心作⊙D，其半徑長為r，要使點A恰在⊙D外，點B在⊙D內(nèi)，則r的取值范圍是（）A．8＜r＜10 B．6＜r＜8 C．6＜r＜10 D．2＜r＜14【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長，進而得出BD的長，由點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CD＝6，則BD＝BC﹣CD＝14﹣6＝8，AD=A∵點A恰在⊙D外，點B在⊙D內(nèi)，∴8＜r＜10．故選：A．【點評】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握點與圓的三種位置關(guān)系，如設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；③點P在圓內(nèi)?d＜r．【變式4-2】（2023?伊通縣模擬）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中（小正方形的邊長為1），有5個點，M，N，O，P，Q，以O為圓心，5為半徑作圓，則在⊙O外的點是（）A．M B．N C．P D．Q【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可求解．【解答】解：∵OQ=12+22=5，OP∴在⊙O外的點是P，故選：C．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．【變式4-3】AB＝12cm，過A、B兩點畫半徑為6cm的圓，能畫的圓的個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個【分析】先作AB的垂直平分線l，交AB于O點，然后以O為圓心，以6cm為半徑作圓即可；【解答】解：這樣的圓能畫1個．如圖：作AB的垂直平分線l，交AB于O點，然后以O為圓心，以6cm為半徑作圓，則⊙O為所求；故選：B．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．【變式4-4】（2023?徐匯區(qū)模擬）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，點P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）A．點B，C均在圓P外 B．點B在圓P外，點C在圓P內(nèi) C．點B在圓P內(nèi)，點C在圓P外 D．點B，C均在圓P內(nèi)【分析】由AB＝8，BP＝3AP得到AP＝2，BP＝6，再根據(jù)勾股定理，在Rt△ADP中計算出PD＝7，在Rt△PBC中計算出PC＝9，則PC＞PD＞PB，然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進行判斷．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝35，∵AB＝8，BP＝3AP，∴AP＝2，BP＝6，在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝35，∴PD=A在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝35，∴PC=P∴PC＞PD＞PB，∴點B在圓P內(nèi)，點C在圓P外．故選：C．【點評】本題考查了點與圓的位置：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．【變式4-5】設AB＝3cm，作圖說明滿足下列要求的圖形．（1）到點A和點B的距離都等于2cm的所有點組成的圖形．（2）到點A和點B的距離都小于2cm的所有點組成的圖形．【分析】（1）根據(jù)“到定點的距離等于定長的所有點的集合是圓”可知，到點A和點B的距離都等于2cm的所有點組成的圖形為⊙A和⊙B的交點，據(jù)此可畫出圖形；（2）根據(jù)“到點A和點B的距離小于2cm的所有點組成的圖形，是半徑為2cm的⊙A和⊙B的公共部分”，可畫出圖形．【解答】解：（1）作圖如下：∵到點B的距離等于2cm的點組成的圖形是以B為圓心、以2cm長為半徑的圓，到點A的距離等于2cm的點組成的圖形是以A為圓心、以2cm長為半徑的圓，∴到點B和點A的距離都等于2cm的所有點組成的圖形為⊙B和⊙A的交點，即點D和點C．（2）作圖如下：到點B和點A的距離都小于2cm的所有點組成的圖形為⊙B和⊙A的公共部分（不包括公共部分的兩條弧），即圖中的陰影部分．【點評】本題考查的是圓的認識，掌握點與圓的位置關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．【變式4-6】（2022秋?海州區(qū)校級月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A為圓心，6cm長為半徑作⊙A（畫圖），則B、C、D與圓的位置關(guān)系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三點至少有一個點在⊙A內(nèi)，至少有一點在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AC的長，進而得出點B，C，D與⊙A的位置關(guān)系；（2）利用（1）中所求，即可得出半徑r的取值范圍．【解答】解：（1）如圖，連接AC，∵AB＝6cm，AD＝8cm，∴AC＝10cm，∵⊙A的半徑為6cm長，∴點B在⊙A上，點C在⊙A外，點D在⊙A外；（2）∵以點A為圓心作⊙A，使B，C，D三點中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，∴⊙A的半徑r的取值范圍是6cm＜r＜10cm．故答案為：6cm＜r＜10cm．【點評】此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，解決本題要注意點與圓的位置關(guān)系，要熟悉勾股定理，及點與圓的位置關(guān)系．題型五圓中角度的計算題型五圓中角度的計算【例題5】（2022?興化市模擬）如圖所示，MN為⊙O的弦，∠N＝52°，則∠MON的度數(shù)為（）A．38° B．52° C．76° D．104°【分析】根據(jù)半徑相等得到OM＝ON，則∠M＝∠N＝52°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算∠MON的度數(shù)．【解答】解：∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝52°，∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．故選：C．【點評】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．解題技巧提煉圓中角度長度的計算，主要利用了平行線的性質(zhì)，三角形的外角，等腰三角形等有關(guān)知識；正確作出輔助線、利用圓的半徑相等是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】如圖，在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，連接OC，若∠ACO＝25°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．55° D．60°【分析】先利用半徑相等得到OA＝OC，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)求解．【解答】解：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝25°，∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝25°+25°＝50°．故選：B．【點評】本題考查了圓的認識和三角形外角的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．【變式5-2】（2022?西藏）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC=12OD，則∠A．90° B．95° C．100° D．105°【分析】連接OB，則OC=12OB，由OC⊥AB，則∠OBC＝30°，再由OD∥【解答】解：如圖：連接OB，則OB＝OD，∵OC=12∴OC=12∵OC⊥AB，∴∠OBC＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∠ABD＝30°+75°＝105°．故選：D．【點評】本題考查了圓，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的有關(guān)知識；正確作出輔助線、利用圓的半徑相等是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022?廣陵區(qū)二模）如圖，在扇形AOB中，D為AB上的點，連接AD并延長與OB的延長線交于點C，若CD＝OA，∠O＝75°，則∠A的度數(shù)為（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【分析】連接OD，如圖，設∠C的度數(shù)為n，由于CD＝OA＝OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C＝∠DOC＝n，則利用三角形外角性質(zhì)得到∠ADO＝2n，所以∠A＝2n，然后利用三角形內(nèi)角和定理得到75°+n+2n＝180°，然后解方程求出n，從而得到∠A的度數(shù)．【解答】解：連接OD，如圖，設∠C的度數(shù)為n，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC＝n，∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，∴OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2n，∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，∴75°+n+2n＝180°，解得n＝35°，∴∠A＝2n＝70°．故選：C．【點評】本題考查了圓的認識：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．【變式5-4】如圖，半圓O是一個量角器，△AOB為一紙片，AB交半圓于點D，OB交半圓于點C，若點C、D、A在量角器上對應讀數(shù)分別為40°、70°、150°，則∠B的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】連接OD，如圖，利用題意得到∠EOC＝40°，∠EOD＝70°，∠EOA＝150°，則可計算出∠COD＝30°，∠DOA＝80°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出∠ODA＝50°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計算∠B的度數(shù)．【解答】解：連接OD，如圖，∵∠EOC＝40°，∠EOD＝70°，∠EOA＝150°，∴∠COD＝70°﹣40°＝30°，∠DOA＝150°﹣70°＝80°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A=1∵∠ODA＝∠B+∠DOB，∴∠B＝50°﹣30°＝20°．故選：A．【點評】本題考查了圓的認識：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．【變式5-5】如圖，AB是半圓O的直徑，D是半圓上的一點，∠DOB＝75°，DC交BA的延長線于E，交半圓于C，且CE＝AO，求∠E的度數(shù)．【分析】連接OC，如圖，由CE＝AO，OA＝OC得到OC＝EC，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠E＝∠1，再利用三角形外角性質(zhì)得∠2＝∠E+∠1＝2∠E，加上∠D＝∠2＝2∠E，所以∠BOD＝∠E+∠D，即∠E+2∠E＝75°，然后解方程即可．【解答】解：連接OC，如圖，∵CE＝AO，而OA＝OC，∴OC＝EC，∴∠E＝∠1，∴∠2＝∠E+∠1＝2∠E，∵OC＝OD，∴∠D＝∠2＝2∠E，∵∠BOD＝∠E+∠D，∴∠E+2∠E＝75°，∴∠E＝25°．【點評】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．題型六圓中線段長度的計算題型六圓中線段長度的計算【例題6】（2022秋?延吉市校級期末）如圖，OA是⊙O的半徑，B為OA上一點（且不與點O、A重合），過點B作OA的垂線交⊙O于點C．以OB、BC為邊作矩形OBCD，連接BD．若BD＝10，BC＝8，則AB的長為（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】如圖，連接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解決問題．【解答】解：如圖，連接OC．∵四邊形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，∴OB=O∴AB＝OA﹣OB＝4，故選：C．【點評】本題考查圓，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．解題技巧提煉圓中線段長度的計算，主要利用了同圓的半徑相等、勾股定理，在圓中常利用勾股定理計算邊的長，熟練掌握勾股定理是關(guān)鍵．【變式6-1】（2022?潮安區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以點C為圓心，CA長為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點D，則⊙C的半徑為（）A．53 B．8 C．6 【分析】連結(jié)CD，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理求解即可．【解答】解：如圖，連結(jié)CD，∵CD是直角三角形斜邊上的中線，∴CD=12AB故選：D．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】如圖，四邊形PAOB是扇形OMN的內(nèi)接矩形，頂點P在弧MN上，且不與M，N重合，當P點在弧MN上移動時，矩形PAOB的形狀、大小隨之變化，則PA2+PB2的值（）A．變大 B．變小 C．不變 D．不能確定【分析】連接OP，根據(jù)勾股定理以及矩形的性質(zhì)定理即可求解．【解答】解：∵直角△PAB中，AB2＝PA2+PB2，又∵矩形PAOB中，OP＝AB，∴PA2+PB2＝AB2＝OP2．故選：C．【點評】本題考查的是圓的認識，涉及到矩形的性質(zhì)定理以及勾股定理，正確作出輔助線是關(guān)鍵．【變式6-3】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，AB為直徑，CD⊥AB于C，四邊形CDEF是正方形，連接BD，若CO＝3，OF＝1，則BD＝（）A．35 B．45 C．13 【分析】連接OD，利用勾股定理求出OD，再利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：連接DO.∵CO＝3，OF＝1，∴CF＝4，∵四邊形CDEF是正方形，∴∠DCO＝90°，CD＝CF＝4，∴OD=C∴OB＝OD＝5，∴CB＝CO+OB＝8，∴BD=CD2故選：B．【點評】本題考查圓的認識，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角