專題06相似三角形中的基本模型之半角模型相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.半角模型（相似模型）【常見模型及結論】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠EAF＝45°結論：如圖1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；圖1圖2結論：如圖2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；結論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4結論：如圖4，△BME∽△AMN∽△DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型圖1圖2條件：如圖1，已知∠BAC＝90°，；結論：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③（）（2）含60°半角模型條件：如圖1，已知∠BAC＝120°，；結論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）例1．（2023·福建泉州·九年級校考期中）如圖，在正方形中，點分別是邊上的兩點，且分別交于.下列結論：①；②平分；③；④．其中正確的結論是（

）A．②③④ B．①④ C．①②③ D．①②③④例2．（2023·湖南永州·九年級校考階段練習）如圖，在矩形中，，，點E在上，點F在上，若，且，則的長為（

）．A． B． C． D．5例3．（2023·上海浦東新·九年級統考期中）已知：如圖，在Rt中，．求證：．例4．（2023·廣東·九年級專題練習）如圖，中，，，點為邊上的點，點為線段上一點，且，，，則的長為．例5．（2023·遼寧沈陽·統考二模）在菱形中，．點，分別在邊，上，且．連接，．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）平分交于點．①如圖2，交于點，點是的中點，當時，求的長．②如圖3，是的中點，點是線段上一動點（點與點，點不重合）．當，時，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．例6．（2023·江西吉安·統考一模）綜合與實踐數學實踐活動，是一種非常有效的學習方式．通過活動可以激發我們的學習興趣，提高動手動腦能力，拓展思推空間，豐富數學體驗．讓我們一起動手來折一折、轉一轉、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．（1）_________，寫出圖中兩個等腰三角形：_________（不需要添加字母）；轉一轉：將圖1中的繞點A旋轉，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點P、Q，連接PQ，如圖2．（2）線段BP、PQ、DQ之間的數量關系為_________；（3）連接正方形對角線BD，若圖2中的的邊AP、AQ分別交對角線BD于點M、點N．如圖3，則________；剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4．（4）求證：．例7．（2022·廣東深圳·統考二模）【教材呈現】（1）如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形和擺放在一起，點為公共頂點，，若固定不動，將繞點旋轉，邊，與邊分別交于點，（點不與點重合，點不與點重合），則結論是否成立______（填“成立”或“不成立”）；【類比引申】（2）如圖2，在正方形中，為內的一個動角，兩邊分別與，交于點，，且滿足，求證：；【拓展延伸】（3）如圖3，菱形的邊長為，，的兩邊分別與，相交于點，，且滿足，若，則線段的長為______．課后專項訓練1．（2023.廣東九年級期中）如圖，在中，，點D、E在邊上，，若，則的面積為（）A．20 B．24 C．32 D．362．（2023·廣東廣州·統考一模）如圖，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，點D、E為BC邊上的兩點，且∠DAE=45°，連接EF、BF，則下列結論不正確的是（

）．A．△AED≌△AEFB．△ABE∽△ACDC．BE+DC＞DED．BE2+DC2=DE23．（2022·湖北·九年級校聯考期末）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論中正確的個數有（）①∠EAF＝45°；②△ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE2+DC2＝DE2．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023·湖北黃岡·九年級專題練習）如圖，已知正方形的邊長為，為邊上一點（不與端點重合），將沿翻折至，延長交邊于點，連接，．則下列給出的判斷：①；②若，則；③若為的中點，則的面積為；④若，則，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④5．（2023秋·山東·九年級專題練習）如圖，在正方形中，的頂點，分別在，邊上，高與正方形的邊長相等，連接分別交，于點，，下列說法：①；②連接，，則為直角三角形；③；④若，，則的長為．其中正確結論的個數是(

)A．4 B．3 C．2 D．16．（2021秋·福建泉州·九年級校聯考期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=45°，AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF，有以下結論：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當AE=AF時，；④BE+DF=EF；⑤若點F是DC的中點，則CECB．其中正確的個數是()A．2 B．3 C．4 D．57．（2023·山東青島·統考二模）如圖，等腰直角三角形，，D，E是上的兩點，且，過D，E作分別垂直，垂足為M，N，交于點F，連接．其中①四邊形是正方形；②；③；④當時，．其中，正確結論有．（填序號）

8．（2022·江蘇南京·九年級專題練習）如圖，已知正方形邊長為，為邊上一點，將以點為中心按順時針方向旋轉得到，連接，分別交，于點，若，則．9．（2023·安徽宿州·?？寄M預測）如圖，在正方形中，點、分別在邊、上，且，交于點，交于點．（1）若正方形的邊長為2，則的周長是．（2）若，則．10．（2023.上海市黃浦區九年級一模）如圖，四邊形中，，，，點M、N是邊、上的動點，且，、與對角線分別交于點P、Q．（1）求的值：（2）當時，求的度數；（3）試問：在點M、N的運動過程中，線段比的值是否發生變化？如不變，請求出這個值；如變化，請至少給出兩個可能的值，并說明點N相度的位置．11．（2023山東九年級期末）已知正方形ABCD的邊長為8，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF．設CE=a，CF=b．（1）如圖①，當a=8時，b的值為；（2）如圖②，當∠EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；（3）請寫出∠EAF繞點A旋轉的過程中a，b滿足的關系式，并說明理由．

12．（2023·寧夏·九年級統考期末）如圖，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形和擺放在一起，為公共頂點，，它們的斜邊長為2，若固定不動，繞點旋轉，、與邊的交點分別為、（點不與點重合，點不與點重合），設，．（1）請在圖（1）中找出兩對相似但不全等的三角形，并選取其中一對進行證明．（2）求與a的函數關系式，直接寫出自變量a的取值范圍．（3）以的斜邊所在的直線為軸，邊上的高所在的直線為軸，建立平面直角坐標系如圖（2），若，求出點的坐標，猜想線段、和之間的關系，并通過計算加以驗證．13．（2023·內蒙古赤峰·統考中考真題）數學興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點始終與正方形的頂點重合，繞點旋轉三角尺時，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點C逆時針旋轉得到，同時得到點在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點，．求證：；【探究三】把三角尺旋轉到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點，．連接交于點，求的值．14．（2023春·遼寧沈陽·九年級統考開學考試）在矩形中，．(1)如圖1，若，點，分別在，上，連接．①線段，，三者之間的數量關系是：________；②當點是中點時，求證：；(2)如圖2，若，，點，分別在，上．若，請直接寫出線段的長；(3)如圖3，若，，連接，將繞點旋轉，當的一邊與射線重合時，另一邊與的垂直平分線交于點，請直接寫出線段的長．15．（2023·河南洛陽·統考二模）綜合與實踐

(1)【操作發現】如圖，諸葛小組將正