專(zhuān)題01相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。本專(zhuān)題重點(diǎn)講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應(yīng)用難點(diǎn)在于過(guò)分割點(diǎn)(將線段分割的點(diǎn))作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長(zhǎng)中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點(diǎn)在模考中無(wú)論小題還是大題都是屢見(jiàn)不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角），再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若S△ADE＝2，則S△ABC＝_____．

例2．（2023春·陜西西安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在三角形紙片中，，，，若沿的垂直平分線線前下，則的長(zhǎng)為．例3．（2021·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，垂足為，，，四邊形和四邊形均為正方形，且點(diǎn)、、、、、都在的邊上，那么與四邊形的面積比為_(kāi)_____．例4.（2023.綿陽(yáng)市九年級(jí)期中）如圖，在中，點(diǎn)分別在上，且．（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，求證：．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·廣東·九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14例2．（2023·黑龍江·哈爾濱九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．例3．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，記的面積為，的面積為．（1）問(wèn)題解決：如圖①，若AB//CD，求證：（2）探索推廣：如圖②，若與不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在上取一點(diǎn)E，使，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)G，且，若，求值．例4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期末）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長(zhǎng)線交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過(guò)程：證明：如圖（2），過(guò)點(diǎn)A作，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則有，，∴．請(qǐng)用上述定理的證明方法解決以下問(wèn)題：(1)如圖（3），△ABC三邊CB，AB，AC的延長(zhǎng)線分別交直線l于X，Y，Z三點(diǎn)，證明：．(2)如圖（4），等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且，CF與AD交于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．(3)如圖（5），△ABC的面積為2，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為_(kāi)_______．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結(jié)論：AF=AG例1．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接相交于點(diǎn)F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．例2．（2020·浙江·杭州啟正中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，中，中線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求的值．（2）如果，，請(qǐng)找出與相似的三角形，并挑出一個(gè)進(jìn)行證明．例3.（2023·安徽·九年級(jí)期中）圖，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長(zhǎng)．例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過(guò)點(diǎn)O作EF∥AB分別交BC、AD于點(diǎn)E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點(diǎn)，DE交OC于點(diǎn)M，作MN∥OB交OA于一點(diǎn)N，若OD＝8，OE＝6，直接寫(xiě)出線段MN長(zhǎng)度．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等）可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．2．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，．若，，，則______．3．（2022·遼寧阜新·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，若的面積是，則的面積是______．4．（2022·湖北荊門(mén)·中考真題）如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點(diǎn)，具有性質(zhì)：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為_(kāi)____．5．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，且，與四邊形的面積的比為_(kāi)_________．6．（2021·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，，連接，點(diǎn)F是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且，則_________．7．（2021·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作，垂足為N．若，則MN的長(zhǎng)為_(kāi)_________．8．（2021·湖南郴州·中考真題）下圖是一架梯子的示意圖，其中，且．為使其更穩(wěn)固，在，間加綁一條安全繩（線段），量得，則________．9．（2022·陜西渭南·八年級(jí)期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若，則___．10．（2021·廣西玉林·中考真題）如圖，在中，在上，，．（1）求證：∽；（2）若，求的值．11．（2022·湖北隨州·九年級(jí)期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書(shū)籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長(zhǎng)線）被一條不過(guò)任何一個(gè)頂點(diǎn)也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會(huì)與一條邊的延長(zhǎng)線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長(zhǎng)線都相交）．他進(jìn)行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡(jiǎn)稱(chēng)梅氏定理）：設(shè)D，E，F(xiàn)依次是△ABC的三邊AB，BC，CA或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線，則滿(mǎn)足．這個(gè)定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線DE交△ABC的邊AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)F，交邊BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)E．過(guò)點(diǎn)C作CM∥DE交AB于點(diǎn)M，則，（依據(jù)），∴＝，∴BE?AD?FC＝BD?AF?EC，即．情況②：如圖2，直線DE分別交△ABC的邊BA，BC，CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．…（1）情況①中的依據(jù)指：；（2）請(qǐng)你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明；（3）如圖3，D，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且AD:DB＝CF:FA＝2:3，連接DF并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，那么BE:CE＝．12．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，直線，與的面積相等嗎？為什么？解：相等．理由如下：設(shè)與之間的距離為，則，．∴．【探究】(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)在，之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)，到直線的距離分別為，，則．證明：∵(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)在，之間時(shí)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則．證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，∴．∴．∴．由【探究】（1）可知，∴．(3)如圖④，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，連接交于點(diǎn)．若點(diǎn)，，所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，的值為．13．（2023·江蘇連云港·校考三模）【閱讀材料】教材習(xí)題：如圖，、相交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，，求證：是中點(diǎn)．

問(wèn)題分析：由條件易證，從而得到，即點(diǎn)是的中點(diǎn)方法提取：構(gòu)造“平行字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種常用方法

請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中獲取的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問(wèn)題．【基礎(chǔ)應(yīng)用】已知中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連接交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；(2)如圖2，若，，探究與之間的數(shù)量關(guān)系；【靈活應(yīng)用】如圖3，是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，，，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____，掃過(guò)的面積為_(kāi)_____．14．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料，回答問(wèn)題任務(wù)：測(cè)量一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度略小于）和一臺(tái)測(cè)角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測(cè)量長(zhǎng)度）；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大小，即在任一點(diǎn)處，對(duì)其視線可及的，兩點(diǎn)，可測(cè)得的大小，如圖3．

小明利用皮尺測(cè)量，求出了小水池的最大寬度，其測(cè)量及求解過(guò)程如下：測(cè)量過(guò)程：（ⅰ）在小水池外選點(diǎn)，如圖4，測(cè)得，；（ⅱ）分別在，，上測(cè)得，；測(cè)得．求解過(guò)程：由測(cè)量知，，，，，∴，又∵①___________，∴，∴．又∵，∴②___________．故小水池的最大寬度為_(kāi)__________．(1)補(bǔ)全小明求解過(guò)程中①②所缺的內(nèi)容；(2)小明求得用到的幾何知識(shí)是___________；(3)小明僅利用皮尺，通過(guò)5次測(cè)量，求得．請(qǐng)你同時(shí)利用皮尺和測(cè)角儀，通過(guò)測(cè)量長(zhǎng)度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識(shí)求小水池的最大寬度，寫(xiě)出你的測(cè)量及求解過(guò)程．要求：測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母，，表示，角度用，，表示；測(cè)量次數(shù)不超過(guò)4次（測(cè)量的幾何量能求出，且測(cè)量的次數(shù)最少，才能得滿(mǎn)分）．15.（2022長(zhǎng)寧一模）已知,在△ABC中,,點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且,射線交射線于點(diǎn)．（1）如圖1,如果,求S△ADES（2）聯(lián)結(jié),如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí),聯(lián)結(jié),求線段的長(zhǎng)．16．（2023·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，且滿(mǎn)足AE＝2EC，點(diǎn)F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N．（1）當(dāng)CF＝2時(shí)，求線段BN的長(zhǎng)；（2）若設(shè)CF＝x，△BNE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的值．17．（202