專題07線段中的動態模型線段中的動態模型一直都是一大難點和常考點，它經常以壓軸題的形式出現。考查樣式也是很豐富，和平時所學的內容結合在一起考。本專題就線段中的動態模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。【知識儲備】1、在與線段長度有關的問題中，常會涉及線段較多且關系較復雜的問題，而且題中的數據無法直接利用，常設未知數列方程。2、線段的動態模型解題步驟：1）設入未知量t表示動點運動的距離；2）利用和差（倍分）關系表示所需的線段；3）根據題設條件建立方程求解；4）觀察運動位置可能的情況去計算其他結果。模型1、線段中點、和差倍分關系中的動態模型例1．（2022·貴州銅仁·七年級期末）如圖1，已知點C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點．（1）求線段MN的長度．（2）根據第（1）題的計算過程和結果，設AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長度．（3）動點P、Q分別從A、B同時出發，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，終點為A，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動．設點P的運動時間為t（s）．當C、P、Q三點中，有一點恰好是以另外兩點為端點的線段的中點時，直接寫出時間t．【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求時間t為4或或．【分析】（1）（2）根據線段中點的定義、線段的和差，可得答案；（3）當C、P、Q三點中，有一點恰好是以另外兩點為端點的線段的中點時，可分四種情況進行討論：①當0＜t≤5時，C是線段PQ的中點；②當5＜t≤時，P為線段CQ的中點；③當＜t≤6時，Q為線段PC的中點；④當6＜t≤8時，C為線段PQ的中點．根據線段中點的定義，可得方程，進而求解．【詳解】解：（1）∵線段AC=10厘米，BC=6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點，∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，∴MN=MC+CN=8厘米；（2）∵AC=a，BC=b，點M，N分別是AC，BC的中點，∴MC=AC=a，CN=BC=b，∴MN=MC+CN=a+b；（3）①當點P在線段AC上，即0＜t≤5時，C是線段PQ的中點，得10-2t=6-t，解得t=4；②當點P在線段BC上，即5＜t≤時，P為線段CQ的中點，2t-10=16-3t，解得t=；③當點Q在線段BC上，即＜t≤6時，Q為線段PC的中點，6-t=3t-16，解得t=；④當點Q在線段AC上，即6＜t≤8時，C為線段PQ的中點，2t-10=t-6，解得t=4（舍），綜上所述：所求時間t為4或或．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，兩點間的距離，利用線段中點的定義得出關于t的方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏．例2．（2022·陜西岐山縣·七年級期中）如圖，點，在數軸上所對應的數分別為－5，7（單位長度為），是，間一點，，兩點分別從點，出發，以，的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上），運動的時間為．（1）______．（2）若點，運動到任一時刻時，總有，請求出的長．（3）在（2）的條件下，是數軸上一點，且，求的長．【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或【分析】（1）由兩點間的距離，即可求解；（2）由線段的和差關系可求解；（3）由題設畫出圖示，分兩種情況根據：當點在線段上時，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，從而求得PQ與AB的關系，當點在的延長線上時，可得．【詳解】解：（1）∵A、B兩點對應的數分別為-5，7，∴線段AB的長度為：7-（-5）=12；故答案為：12（2）根據點，的運動速度知．因為，所以，即，所以．（3）分兩種情況：如圖，當點在線段上時，因為，所以．又因為，所以，所以；如圖，當點在的延長線上時，，綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查了數軸的運用和絕對值的運用，解題的關鍵是掌握數軸上兩點之間距離的表示方法，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系是十分關鍵的一點．例3．（2022·重慶七年級期中）如果一點在由兩條公共端點的線段組成的一條折線上且把這條折線分成長度相等的兩部分，這點叫做這條折線的“折中點”．如圖，點D是折線A﹣C﹣B的“折中點”，請解答以下問題：（1）當AC＞BC時，點D在線段上；當AC＝BC時，點D與重合；當AC＜BC時，點D在線段上；（2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一動點P從C點出發，在線段CB上向點B運動，速度為2cm/s,設運動時間是t（s）,求當t為何值，三角形PCD的面積為10？（3）若E為線段AC中點，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的長度．【答案】（1）AC，C，BC；(2)s；（3）CB的長度是4

cm

或28cm.分析：（1）根據圖形及閱讀材料所給的信息直接填空即可；(2)如圖4，先表示PC=2t，由折中點的定義得AD=14，根據三角形的面積公式列式可求t的值；（3）分當點D在線段AC上與BC上兩種情況求解即可.【解析】(1)當AC>BC時，如圖1，點D在線段AC上；當AC=BC時，如圖2，點D與C重合；當AC<BC時，如圖3，點D在線段BC上；因此，本題正確答案是：AC，C，BC.（2）如圖4，根據題意得：PC=2t，∵AC=18，BC=10cm，∴AC+BC=18+10=28cm，∵D點是折中點，∴AD=14cm，∴CD=18-14=4cm，∵∠ACB=90°，∴，即，解得，則當t為秒時，三角形PCD的面積為10cm2；(3)分兩種情況：①點D在線段AC上時，如圖5，∵E為線段AC中點,EC=8cm,∴AC=2CE=16cm，∵CD=6cm，∴AD=AC-CD=16-6=10cm，∵D為折中點，∴AD=CD+BC，∴BC=AD-CD=10-6=4cm；②點D在線段BC上,如圖6,∵E為線段AC中點，EC=8cm，∴AC=2CE=16cm，∴AD=AC+CD=16+6=22cm，∴BD=AC+CD=22cm，∴BC=BD+CD=22+6=28cm.綜上所述，CB的長度是4cm或28cm.模型2、線段上動點問題中的存在性（探究性）模型例1．（2022·湖北武漢·七年級期末）已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運動（A在B的左側，C在D的左側），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）點D與點B重合時，線段CD以2個單位長度/秒的速度向左運動．①如圖1，點C在線段AB上，若M是線段AC的中點，N是線段BD的中點，求線段MN的長；②P是直線AB上A點左側一點，線段CD運動的同時，點F從點P出發以3個單位/秒的向右運動，點E是線段BC的中點，若點F與點C相遇1秒后與點E相遇．試探索整個運動過程中，FC－5DE是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）m=12，n=4；（2）①MN=8，②在整個運動的過程中，FC-5DE的值為定值，且定值為0．【分析】（1）由絕對值和平方的非負性，即可求出m、n的值；（2）①由題意，則MN=CM+CD+DN，根據線段中點的定義，即可得到答案；②設PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情況進行分析，求出每一種的值，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案為：12；4．（2）由題意，①∵AB=12，CD=4，∵M是線段AC的中點，N是線段BD的中點∴AM=CM=AC，DN=BN=BD∴MN=CM+CD+DN=AC+CD+BD=AC+CD+BD+CD=(AC+CD+BD)+CD=(AB+CD)=8；②如圖，設PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，依題意有：解得：a=2在整個運動的過程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是線段BC的中點∴CE=BE=BC=2+t；Ⅰ．如圖1，F，C相遇，即t=2時F，C重合，D，E重合，則FC=0，DE=0∴FC-5DE=0；Ⅱ．如圖2，F，C相遇前，即t<2時FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5DE=10-5t-5（2-t）=0；Ⅲ．如圖3，F，C相遇后，即t＞2時FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2∴FC-5DE=5t-10-5（t-2）=0；綜合上述：在整個運動的過程中，FC5DE的值為定值，且定值為0．【點睛】本題考查了線段中點的定義，線段的和差倍分的關系，一元一次方程的應用，絕對值的非負性等知識，解題的關鍵是熟練掌握線段的中點定義進行解題，注意運用分類討論的思想進行分析．例2．（2022·廣西桂林·七年級期末）如圖，在直線AB上，線段，動點P從A出發，以每秒2個單位長度的速度在直線AB上運動．M為AP的中點，N為BP的中點，設點P的運動時間為t秒．(1)若點P在線段AB上的運動，當時，；(2)若點P在射線AB上的運動，當時，求點P的運動時間t的值；(3)當點P在線段AB的反向延長線上運動時，線段AB、PM、PN有怎樣的數量關系？請寫出你的結論，并說明你的理由．【答案】(1)(2)8或24(3)，見解析【分析】（1）根據題中條件直接計算即可求解；（2）分點在線段上運動和線段的延長線上運動進行討論，從而求解；（3）先將和表示出來，再求出線段、、之間的數量關系．（1）解：∵M為AP的中點，，∴，∵線段，N為BP的中點，∴．故答案是：2；（2）解：①當點P在線段AB上，時，如圖，∵，，∴，解得：．②當點P在線段AB的延長線上，時，如圖，∵，，∴，解得：．綜上所述，當時，點P的運動時間t的值為8或24．（3）解：當點P在線段AB的反向延長線上時，，∵，，∴．【點睛】本題主要考查了點的運動和線段之間的關系，熟練掌握幾何的基礎知識是解答本題的關鍵．模型3、閱讀理解型（新定義）模型例1．（2023·江蘇七年級課時練習）（理解新知）如圖①，點M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點M是線段AB的“奇妙點”，（1）線段的中點這條線段的“奇妙點”（填“是”或“不是”）（2）（初步應用）如圖②，若，點N是線段CD的“奇妙點”，則；（3）（解決問題）如圖③，已知，動點P從點A出發，以速度沿AB向點B勻速移動，點從點B出發，以的速度沿BA向點A勻速移動，點P、同時出發，當其中一點到達終點時，運動停止．設移動的時間為t，請求出為何值時，A、P、三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的“奇妙點”．【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）當點P為AQ的“奇妙點”時，或4或；當點Q為AP的“奇妙點”時，或6或．【分析】（1）根據線段的中點平分線段長的性質，以及題目中所給的“奇妙點”的定義，進行判斷即可．（2）由“奇妙點”定義，此題分為三種情況，情況1：，即N為CD的中點；情況2：，即N為靠近C點的三等分點；情況3：，即N為靠近D點的三等分點，根據以上三種情況，分別求出CN的長度．（3）由題意可知，A不可能是“奇妙點”，故此題分兩大類情況，情況1：當P、Q未相遇之前，P是“奇妙點”時，根據第（2）題的思路，又可以分為3種情況，根據每種情況，利用線段長度關系列方程，分別求出對應時間；情況2：當P、Q相遇之后，Q是“奇妙點”時，同樣根據第（2）題的思路，又分成3種情況討論，利用線段長度關系列方程，求出每種情況對應的時間．【詳解】（1）由線段中點的性質可知：被中點平分的兩條線段長度是線段總長的一半，根據“奇妙點”定義可知：線段的中點是“奇妙點”．故答案是：是；（2）是線段CD的“奇妙點”根據定義，此題共分為三種情況．當，即N為CD的中點時，有CN=12cm．當，即N為靠近C點的三等分點時，有CN=8cm．當，即N為靠近D點的三等分點時，有CN=16cm．故答案為：8或12或16．（3）解：由題意可知，A點不可能是“奇妙點”，故P或Q點是“奇妙點”．t秒后，，．當P點是“奇妙點”時，．由“奇妙點”定義可分三種情況．當時，有解得當時，有解得當時，有解得當Q點是“奇妙點”時，．當時，有解得當時，有解得當時，有解得綜上所述：當點P為AQ的“奇妙點”時，或4或；當點Q為AP的“奇妙點”時，或6或．【點睛】本題屬于新定義題，主要是考察了線段中點、線段長度、列方程等知識點，本題討論情況較多，從側面考察了數學中比較重要的分類討論思想，根據題意，能夠正確地進行分類討論，把每一種情況列舉完全，是解決該題的關鍵．例2．（2023秋·湖南岳陽·七年級統考期末）材料閱讀：當點C在線段上，且時，我們稱n為點C在線段上的點值，記作．如點C是的中點時，則，記作；反過來，當時，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點C在線段上，若，則_______；若，則_______；(2)如圖2，已知線段，點P、Q分別從點A和點B同時出發，相向而行，運動速度均為，當點P到達點B時，點P、Q同時停止運動，設運動時間為．請用含有t的式子表示和，并判斷它們的數量關系．拓展運用：(3)已知線段，點P、Q分別從點A和點B同時出發，相向而行，若點P、Q的運動速度分別為和，點Q到達點A后立即以原速返回，點P到達點B時，點P、Q同時停止運動，設運動時間為ts．則當t為何值時，等式成立．【答案】(1)，(2)；；(3)存在t為4或，使等式成立【分析】（1）根據材料閱讀，即可求解；（2）根據材料閱讀，可表示和，即可求解；（3）分兩種情況：當點Q到達點A之前時，當點Q到達點A返回時，結合，列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：根據題意得：，∵，∴，故答案為：，（2）解：∵，∴，∵∴，∴，∴；（3）解：當點Q到達點A之前時，∵∴，∵∴，∴，∵，∴，

解得：；當點Q到達點A返回時，此時，∴∵，∴，∵∴

∴

∴存在t的值為4或，使等式成立．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，理解新定義是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2022秋·四川巴中·七年級統考期末）如圖：數軸上點、、表示的數分別是，，1，且點為線段的中點，點為原點，點在數軸上，點為線段的中點．、為數軸上兩個動點，點從點向左運動，速度為每秒1個單位長度，點從點向左運動，速度為每秒3個單位長度，、同時運動，運動時間為．有下列結論：①若點表示的數是3，則；②若，則；③當時，；④當時，點是線段的中點；其中正確的有．（填序號）【答案】①③/③①【分析】①根據線段的中點的定義以及點、可確定點、表示的數，進而得到的長度；②由，分兩種情況討論：點在點的右側時以及點在點的左側時，可得到點表示的數，由點為線段的中點可得點表示的數，進而得到的長度；③當時，可得到、的長，從而確定點、，即可得到的長；④當時，可得到、的長，從而確定點、，進而判斷．【詳解】①若點表示的數是3，∵點為線段的中點，表示的數是1，∴，，即表示的數是2，∴，故①正確；②若，當點在點的右側時，則點表示的數是4，∵點為線段的中點，∴，即表示的數是，∴，當點在點的左側時，則點表示的數是，∵點為線段的中點，∴，即表示的數是，∴，綜上，，故②不正確；③當時，，，∵、表示的數分別是，1，∴、表示的數分別是，，∴，故③正確；④當時，，，∴、表示的數分別是，，∵點在、的左側，不可能是線段的中點故④不正確；故答案為：①③【點睛】本題考查了數軸以及兩點間的距離、線段的中點，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．2．（2023秋·福建福州·七年級校考期末）已知有理數a，b滿足：．如圖，在數軸上，點O是原點，點A所對應的數是a，線段在直線上運動（點B在點C的左側），．下列結論：①；②當點B與點O重合時，；③當點C與點A重合時，若點P是線段BC延長線上的點，則；④在線段運動過程中，若M為線段的中點，N為線段的中點，則線段的長度不變．所有結論正確的序號是．【答案】①③④【分析】①根據非負數的性質可得a和b的值，可判斷；②如圖1，根據數軸可直觀得出；③如圖2，分別計算，的值可判斷；④分四種情況，根據圖形分別計算的長即可可判斷．【詳解】解：①∵，∵，∴，∴；故①正確；②如圖1，當點B與點O重合時，；故②不正確；③如圖2，當點C與點A重合時，若點P是線段延長線上的點，∴，∴；故③正確；④∵M為線段的中點，N為線段的中點，∴分四種情況：1）當C在O的左側時，如圖3，；2）當B，C在O的兩側時，如圖4，；3）當B，C在線段上時，如圖5，；4）當B和C都在A的右邊時，如圖6，；∴在線段運動過程中，若M為線段的中點，N為線段的中點，線段的長度不變．故④正確；故答案為：①③④．【點睛】本題考查了絕對值和平方的非負性，數軸和線段的中點，線段的和差，熟練掌握線段中點的定義是解題的關鍵．3．（2022·廣東江門·七年級期末）如圖，已知長方形ABCD的長米，寬米，x，y滿足，一動點P從A出發以每秒1米的速度沿著運動，另一動點Q從B出發以每秒2米的速度沿運動，P，Q同時出發，運動時間為t．(1)______________，______________．(2)當時，求的面積；(3)當P，Q都在DC上，且PQ距離為1時，求t的值【答案】(1)5，4(2)平方米(3)【分析】（1）根據絕對值和乘方的非負性，即可求解；（2）根據題意得：當t=4.5時，點P在CD上，DP=0.5米，點Q剛好到達點D處，可得米，再由，即可求解；（3）當P，Q都在DC上，可得，然后分兩種情況討論：當P左Q右時，當Q左P右時，即可求解．（1）解∶∵，∴，∴x=5，y=4，故答案為：5，4；（2）解：當t=4.5時，P走過的路程為4.5米，此時點P在CD上，DP=0.5米，Q走過的路程為9米，剛好到達點D處，∴米，∴平方米；（3）解：點P在DC上，，點Q在DC上，，∴，當P左Q右時，，，∴，∴，解得：當Q左P右時，，，∴，∴，解得，不符題意，舍去．綜上，滿足題意的．【點睛】本題主要考查了動點問題，涉及絕對值和平方式的非負性，三角形面積的求解，解題的關鍵是關鍵題意用時間t表示出線段長度，列式求出t的值．4．（2023春·河南新鄉·七年級校考階段練習）如圖，在數軸上有A、B兩點，點O是數軸原點，點C是線段的中點，．(1)求點C所表示的數；(2)動點P、Q分別從A、B同時出發，沿著數軸的正方向運動，點P、Q的運動速度分別是每秒3個單位長度和每秒2個單位長度（當P與Q相遇，運動停止），點M是線段的中點，設運動時間為t秒．①請用含t的式子表示的長；②當時，求動點P在數軸上對應的數字．（參考：在數軸上，點A對應的有理數為a，點B對應的有理數為b，則以A、B為端點線段的中點對應的數為）

【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）根據線段中點的定義結合線段之間的關系求出的長即可得到答案；（2）①先求出點A和點B表示的數，進而求出運動t秒后點P和點Q表示的數，進一步求出點M表示的數，最后根據數軸上兩點距離公式求出的長即可；②先表示出，結合（2）①所求以及已知條件建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，點C是線段的中點，∴，∵，∴，又∵點C在原點O的左邊，∴點C表示的數為；（2）解：①由（1）可知，，∴點A和點B表示的數分別為和2，∵動點P、Q分別從A、B同時出發，沿著數軸的正方向運動，點P、Q的運動速度分別是每秒3個單位長度和每秒2個單位長度，∴運動t秒后點P和點Q表示的數分別為和，∵點M是線段的中點，∴運動t秒后點M表示的數為，∴；②由①得，∵，∴，∴或，解得或，∴的值為或∴點P表示的數為或．【點睛】本題主要考查了與線段中點有關的計算，數軸上兩點的距離公式，一元一次方程的應用，正確理解題意并熟練掌握數軸上兩點距離公式是解題的關鍵．5．（2023·湖北武漢·七年級校考階段練習）如圖，數軸上A、B兩點表示的有理數分別為a、b，，與互為相反數，線段在數軸上從A點左側沿數軸正方向勻速運動（點C在點D的左側），點M、N分別為、的中點．

(1)的長為；若，則的長為；(2)在（1）條件下，當時，求N點所表示的有理數；(3)設，線段運動的速度為v，則在運動過程中，線段完全通過線段的時間為．（用含m、v的式子表示）【答案】(1)10，6(2)(3)【分析】（1）由題意可直接得到，兩點表示的有理數分別為和4，設，則，，由點、分別為、的中點，可得出，，所以；（2）根據（1）中的結論，可直接求得；（3）思路和過程同（1）中過程，可直接求出走的路程，根據速度可求出運動時間．【詳解】（1）解：與互為相反數，，又，，，，，兩點表示的有理數分別為和4，；如題圖1，設，則，，點、分別為、的中點，，，；（2）解：如題圖2，

當時，，，，又點表示的有理數為，點表示的有理數為；（3）設，則，，點、分別為、的中點，，，；在運動過程中，線段完全通過線段的時間為：．【點睛】本題主要考查數軸上點的運動，涉及線段的和差運算，線段中點的定義等內容，根據圖形得出線段之間的和差關系是解題關鍵．6．（2023秋·廣東·七年級課堂例題）如圖，數軸的原點為，是數軸上的三點，點B表示的數為1，，動點P、Q分別從點A、C同時出發沿數軸正方向運動，點P的速度是2個單位長度/秒，點Q的速度是1個單位長度/秒．設運動時間為秒．

(1)分別求點表示的數；(2)分別求點表示的數（用含t的式子表示）；(3)當t為何值時，？【答案】(1)點A表示的數是，點C表示的數是3(2)點P表示的數是，點Q表示的數是(3)當t的值為或8時，【分析】（1）根據點B對應的數、線段、的長及點A、C與點B的位置關系，可得出點A、C對應的數；（2）根據點P、Q的出發點、運動方向、運動速度及運動時間，即可用含t的代數式表示出運動時間為t秒時點P、Q對應的數；（3）根據，可得出關于t的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】（1）解：∵點B表示的數為1，，且點A在點B的左側，∴點A對應的數是，∵點B表示的數為1，，且點C在點B的右側，∴點C對應的數是，∴點A對應的數是，點C對應的數是3；（2）解：∵動點P、Q分別從點A、C同時出發沿數軸正方向運動，點P的速度是2個單位長度/秒，點Q的速度是1個單位長度/秒，當運動時間為t秒時，點P對應的數是，點Q對應的數是；（3）解：根據題意得，，即或，解得或，答：當或時，．【點睛】本題考查一元一次方程的應用、數軸及列代數式，解題的關鍵是掌握兩點間的距離公式，理解題意，找準數量關系列方程．7．（2022秋·陜西西安·七年級校考期中）已知數軸上、兩點對應數分別為和4，為數軸上一點，對應的數為．(1)若為線段的三等分點，求點對應的數；(2)數軸上是否存在點，使點到，兩點的距離和為10？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．(3)若點，和點（在原點），同時向左運動，它們的速度分別是1、2、1個長度單位/分，則第幾分鐘時，為的中點？并求出此時點所對應的數．【答案】(1)點P對應的數為0或2(2)存在，或(3)第2分鐘時，為的中點，此時點所對應的數為【分析】（1）根據三等分點的定義可得或，列出方程求解即可；（2）根據題意進行分類討論：①當點P在點A左邊時，②當點P在線段上時，③當點P在點B右邊時；（3）設第t分鐘為的中點，則第t分鐘，點A對應的數為，點B對應的數為：，點P對應的數為，根據為的中點，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵、兩點對應數分別為和4，∴，∵為線段的三等分點，∴或，且點P在線段上，∵點P表示的為數x，∴，，當時，，解得：，當時，，解得：，綜上：點P對應的數為0或2．（2）解：①當點P在點A左邊時：，，∴，解得：；②當點P在線段上時：，，∴，不符合題意；③當點P在點B右邊時：，∴，解得：，綜上：存在，或．（3）解：設第t分鐘為的中點，第t分鐘，點A對應的數為：，第t分鐘，點B對應的數為：，第t分鐘，點P對應的數為：，∵為的中點，∴，解得：，此時點所對應的數．綜上：第2分鐘時，為的中點，此時點所對應的數為．【點睛】本題主要考查了用數軸上的點表示數，數軸上兩點之間的距離，解題的關鍵是掌握數軸上兩點之間距離的求法．8．（2023秋·廣東·七年級課堂例題）如圖，是線段上任意一點，兩點分別從點同時出發，沿線段向點運動，且點的運動速度為，點的運動速度為．設運動的時間為．

(1)若，①運動后，求的長；②當在線段上運動時，試說明．(2)如果，試探索的長．【答案】(1)①；②見解析(2)的長為或．【分析】（1）①先求出與的長度，然后利用即可求出答案；②用t表示出的長度即可證得；（2）當時，求出的長度，由于沒有說明D點在C點的左邊還是右邊，故需要分情況討論．【詳解】（1）解：①由題意可知，，因為，所以，所以；②因為，所以，，所以，所以，所以；（2）解：當時，，，當點在點的右邊時，如圖①所示：

因為，所以，所以，所以；當點在點的左邊時，如圖②所示：

因為，所以，所以，綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查兩點間的距離，涉及列代數式，分類討論的思想，屬于中等題型．9．（2023秋·黑龍江大慶·七年級統考開學考試）如圖，P是線段上一點，，C、D兩點分別從P、B出發以的速度沿直線向左運動（C在線段上，D在線段上），運動的時間為．

(1)當時，，請求出的長；(2)若C、D運動到任一時刻時，總有，請求出的長；(3)在（2）的條件下，Q是直線上一點，且，求的長．【答案】(1)(2)(3)的長為或【分析】（1）根據運動時間可得，因為，可得，即可求解；（2）和第（1）問一樣的思路求解即可；（3）兩種情況分別進行討論，點Q在線段上，可證，即可求解；點Q不在線段上，則點Q在線段的延長線上，和前一種情況一樣的思路．【詳解】（1）解：∵點C從P出發以的速度運動，運動的時間為∴.∵點D從B出發以的速度運動，運動的時間為，∴.故.∵，∴，即.故.∵，∴.（2）解：∵點C從P出發以的速度運動，運動的時間為，∴.∵點D從B出發以）的速度運動，運動的時間為，∴.故.∵，，∴，即.故.∵，∴.（3）解：本題需要對以下兩種情況分別進行討論.

（i）點Q在線段上（如圖①）.∵，∴.∵，∴.∵，∴.故.∵，∴.（ii）點Q不在線段上，則點Q在線段的延長線上（如圖②）.∵，∴.∵，∴.∵，∴.故.∵，∴.綜上所述，的長為或；【點睛】本題考查數軸上的動點問題，理清線段之間的關系是關鍵，第（3）問有兩種情況需要考慮清楚．10．（2022秋·云南昆明·七年級校考期末）如圖，點是數軸的原點，數軸正半軸上有一點，已知，

(1)在原點的左側畫點，使（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)點，點同時從原點出發，點以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左運動，到達點后立即返回向右運動，點以每秒1個單位長度的速度沿數軸向右運動．當點到達點時，兩個點都停止運動．若時，求的值；(3)在以上的條件下，若點到達點后繼續沿數軸向右運動，點的運動速度和方向保持不變．在整個運動過程中，若點，點，點，點到原點的距離之和是15，求的值．【答案】(1)見解析(2)或3(3)或或【分析】（1）根據作線段的尺規作圖方法即可得；（2）先求出點表示的有理數是，再求出點從點運動到點所需時間為2秒，然后分兩種情況：①和②，根據數軸的性質建立方程，解方程即可得；（3）分三種情況：①，②和③，分別求出的長，分別建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求；

（2）解：，，點表示的有理數是，點從點運動到點所需時間為秒，①當時，點表示的有理數為，，，，，解得，符合題設；②當時，，，，，解得，符合題設，綜上，的值為或3；（3）解：①當時，點表示的有理數為，，點，點，點，點到原點的距離之和是15，，解得，符合題設；②當時，，點，點，點，點到原點的距離之和是15，，解得，符合題設；③當時，，點，點，點，點到原點的距離之和是15，，解得，符合題設，綜上，的值為或或．【點睛】本題考查了作線段、數軸上的動點問題、一元一次方程的應用，熟練掌握數軸的性質是解題關鍵．11．（2023秋·吉林·七年級校考期末）如圖，數軸上點表示的數為，點表示的數為16，點從點出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，同時點從點出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為秒．(1)，兩點間的距離等于________，線段的中點表示的數為________；(2)用含的代數式表示：秒后，點表示的數為________，點表示的數為________；(3)求當為何值時，？(4)若點為的中點，當點到原點距離為時，________．【答案】(1)20，6(2)，(3)或6(4)2【分析】（1）由數軸上兩點間的距離公式可求，兩點之間的距離，由中點公式可求線段的中點表示的數；（2）根據點從點出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，點從點出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動，進行計算即可得到答案；（3）由，得到方程，求解即可得到答案；（4）由線段中點的性質得出，求解即可得到答案．【詳解】（1）解：點表示的數為，點表示的數為16，，兩點間的距離等于，線段的中點表示的數為，故答案為：20，6；（2）解：點從點出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，秒后，點表示的數為：，點從點出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動，秒后，點表示的數為：，故答案為：，；（3）解：，，或6，或6時，；（4）解：點為的中點，點到原點距離為8，，解得：或（負值舍去），，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，數軸上兩點之間的距離，用數軸上的點表示有理數，與線段中點有關的計算，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．12．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級統考期末）如圖，在數軸上，點為原點，點在原點左側，點在原點右側，點表示的數為，點表示的數為，．

(1)．(2)動點、分別從點、同時出發，沿數軸向左運動，點、的運動速度分別是2個單位秒和3個單位秒，當點與點重合時，運動停止．設運動時間為，當為何值時，；(3)在（2）的條件下，點為線段的中點，點為的中點．當時，求出相應值，并直接寫出線段的長．【答案】(1)20；(2)秒或秒；(3)10，40【分析】（1）根據數軸上兩點距離公式，即可求出的值；（2）由題意可知，點表示的數為，點表示的數為，進而得到，，再根據列絕對值方程，求解即可得到答案；（3）根據線段中點的定義，得到點表示的數為，點表示的數為，根據數軸上兩點距離公式，得到，再得出，然后根據，求出，從而得出點表示的數為，即可求出的長．【詳解】（1）解：點在原點左側，點在原點右側，點表示的數為，點表示的數為，，，，故答案為：20；（2）解：動點、分別從點、同時出發，沿數軸向左運動，點、的運動速度分別是2個單位秒和3個單位秒，點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，點為原點，，，，，解得：或20，當為秒或秒時，；（3）解：點表示的數為，點表示的數為20，點為線段的中點，點表示的數為：，點表示的數為，點表示的數為，點為的中點．，點表示的數為，，，，解得：，點表示的數為，．【點睛】本題考查了數軸的性質，數軸上兩點的距離，線段中點，動點問題，根據題意正確得出所需線段的長度是解題關鍵．13．（2023秋·河南焦作·七年級統考期末）如圖，點是數軸的原點，點、點在數軸上，點表示的數是6，且，(1)求線段的長；(2)點以每秒1個單位的速度在數軸上勻速運動，點以每秒2個單位的速度在數軸上勻速運動．設點同時出發，運動時間為秒，若點能夠重合，求出這時的運動時間；(3)在（2）的條件下，當點和點都向同一個方向運動時，直接寫出經過多少秒后，點兩點間的距離為20個單位．【答案】(1)18(2)6秒或18秒(3)2秒或38秒【分析】（1）先求出，，再根據即可得；（2）分兩種情況：①當點均向右運動時，②當點相向運動時，分別建立方程，解方程即可得；（3）設經過秒后，點兩點間的距離為20個單位，分兩種情況：①當點均向右運動時，②當點均向左運動時，分別建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：∵點表示的數是6，，，，．（2）解：①當點均向右運動時，則，解得；②當點相向運動時，則，解得，綜上，若點能夠重合，這時的運動時間為6秒或18秒．（3）解：設經過秒后，點兩點間的距離為20個單位，①當點均向右運動時，則，解得；②當點均向左運動時，則，解得，綜上，經過2秒或38秒后，點兩點間的距離為20個單位．【點睛】本題考查了數軸、一元一次方程的應用，熟練掌握數軸的性質，正確建立方程是解題關鍵．14．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校聯考期末）如圖所示，點表示數軸的原點，點在原點的左側，所表示的數是，點在原點的右側，所表示的數是，并且關于的多項式是三次二項式．

(1)求線段的長；(2)動點從點出發，沿線段運動，到達點停止，速度是個單位長度/秒，點A為線段的中點，設運動時間為秒，請用含有的式子表示線段的長；(3)在（2）的條件下，是否存在值，使線段的長度是？并說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，1或3【分析】（1）根據關于的多項式是三次二項式得到，，得到點所表示的數是，點所表示的數是4，即可得到線段的長；（2）當點在線段上時，，由中點的定義即可得到線段的長；當點在線段上時，，由中點的定義即可得到線段的長；（3）分點在線段上和點在線段上兩種情況，列方程求解即可．【詳解】（1）∵關于的多項式是三次二項式，∴，，解得，，∴點所表示的數是，點所表示的數是4，∴；（2）當點在線段上時，，

∵點A為線段的中點，∴；當點在線段上時，，

∵點A為線段的中點，∴；∴線段的長為或；（3）當點在線段上時，，解得，當點在線段上時，，解得，故存在值，當或時，線段的長度是．【點睛】此題考查了一元一次方程的應用、列代數式、數軸上兩點之間的距離、線段的中點等知識，數形結合和分類討論是解題的關鍵．15．（2023·綿陽市·七年級專題練習）如圖，P是線段上一點，，C，D兩動點分別從點P，B同時出發沿射線向左運動，到達點A處即停止運動．

(1)若點C，D的速度分別是，．①當動點C，D運動了2s，且點D仍在線段上時，_________cm；②若點C到達中點時，點D也剛好到達的中點，則_________；(2)若動點C，D的速度分別是，，點C，D在運動時，總有，求的長【答案】(1)①12；②(2)【分析】（1）①先分別求出，再根據即可得；②設運動時間為，則，再根據線段中點的定義可得，由此即可得；（2）設運動時間為，則，從而可得，再根據可得，從而可得，由此即可得．【詳解】（1）解：①依題意得：，，點仍在線段上，∴，故答案為：；②設運動時間為，則，∵當點到達中點時，點也剛好到達的中點，∴，∴，故答案為：．（2）解：設運動時間為，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了與線段有關的動點問題、線段的和與差、線段的中點，熟練掌握線段之間的數量關系是解題的關鍵．16．（2023春·廣東梅州·七年級校考開學考試）如圖，是線段上一點，，，兩點分別從，出發以，的速度同時沿直線向左運動（在線段上，在線段上），運動的時間為.(1)若，運動時，且，請求出的長.(2)若，運動到任一時刻時，總有，的長度是否變化？若不變，請求出的長，若變化，請說明理由.(3)在（）的條件下，是直線上一點，且，求的長.【答案】(1)；(2)的長度不變；(3)或【分析】（1）設為，則為，根據線段的和差得到關于x的方程，解方程即可得到答案；（2）設長為，則，由題意可得，得到關于x的方程，求出x的值，即可做出判斷；（3）分點在點左側和點在點右側兩種情況分別求解即可.【詳解】（1）解：設為，則為，由題意可得，，，，，.（2）設長為，則，由題意可得，，，，，，的長度不變.（3）①當點在點左側時，，，，，；②當點在點右側時，，，，，，即【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，線段的和差計算等知識，讀懂題意，準確計算是解題的關鍵.17．（2023秋·遼寧撫順·七年級統考期末）如圖，是線段上一點，，，兩動點分別從點，同時出發沿射線向左運動，到達點A處即停止運動．(1)若點，的速度分別是，．①若，當動點，運動了時，求的值；②若點到達中點時，點也剛好到達的中點，求；(2)若動點，的速度分別是，，點，在運動時，總有，求的長度．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①先計算，再計算；②利用中點的性質求解；（2）將用其它線段表示即可．【詳解】（1）解：①由題意得：，．．②點C到達中點時，點D也剛好到達的中點，設運動時間為t，則：，，．（2）解：設運動時間為，則，，，．．【點睛】本題考查線段上動點問題、求線段的長度，充分利用中點和線段的倍數關系是求解本題的關鍵．18．（2023春·吉林長春·七年級統考開學考試）如圖，點在線段上，，，動點從點出發，沿線段以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動；同時，動點從點出發，沿線段以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動．當點到達終點時，點也隨之停止運動．設點的運動時間為秒．(1)線段的長為______．(2)當點與點相遇時，求的值．(3)當