PAGE課時素養評價四十七獨立事務的概率(20分鐘35分)1.已知甲、乙兩人獨立出行,各租用共享單車一次(假定費用只可能為1,2,3元).甲、乙租車費用為1元的概率分別是0.5,0.2,甲、乙租車費用為2元的概率分別是0.2,0.4,則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為 ()A.0.18 B.0.3 C.0.24 D.0.36【解析】選B.由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是0.3,0.4,所以甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為P=0.5×0.2+0.2×0.4+0.3×0.4=0.3.2.某大街在甲、乙、丙三處設有紅綠燈,汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,則汽車在這三處因遇紅燈而停車一次的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.設汽車分別在甲、乙、丙三處通行為事務A,B,C,則P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,停車一次即為事務QUOTEBC+AQUOTEC+ABQUOTE的發生,故概率P=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.2019年10月20日,第六屆世界互聯網大會發布了15項“世界互聯網領先科技成果”,其中有5項成果均屬于芯片領域,分別為華為高性能服務器芯片“鯤鵬920”、清華高校“面對通用人工智能的異構融合天機芯片”“特斯拉全自動駕駛芯片”寒武紀云端AI芯片“思元270”賽靈思“Versal自適應計算加速平臺”.現有3名學生從這15項“世界互聯網領先科技成果”中分別任選1項進行了解,且學生之間的選擇互不影響,則至少有1名學生選擇“芯片領域”的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.依據題意可知,1名學生從15項中任選1項,其選擇“芯片領域”的概率為QUOTE=QUOTE,故其沒有選擇“芯片領域”的概率為QUOTE,則3名學生均沒有選擇“芯片領域”的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,因此至少有1名學生選擇“芯片領域”的概率為1-QUOTE=QUOTE.4.設兩個獨立事務A和B都不發生的概率為QUOTE,A發生B不發生的概率和B發生A不發生的概率相同,則事務A發生的概率P(A)=______.

【解析】因為P(QUOTE)P(QUOTE)=QUOTE,P(QUOTE)P(B)=P(QUOTE)P(A),設P(A)=x,P(B)=y,所以QUOTE,所以x=QUOTE.答案:QUOTE5.甲、乙、丙三人獨立破譯同一份密碼.已知甲、乙、丙各自獨立破譯出密碼的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,且他們是否破譯出密碼互不影響,則至少有1人破譯出密碼的概率是________.

【解析】依題意,設事務A表示至少有1人破譯出密碼,則事務A的對立事務QUOTE表示三人都沒有破譯出密碼,則P(A)=1-P(QUOTE)=1-QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.袋中有大小相同的紅、黃兩種顏色的球各1個,從中任取1只,有放回地抽取3次.求:(1)3只全是紅球的概率;(2)3只顏色全相同的概率;(3)3只顏色不全相同的概率.【解析】由于是有放回地取球,因此袋中每只球每次被取到的概率均為QUOTE.(1)3只全是紅球的概率為P1=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)3只顏色全相同的概率為P2=2·P1=2×QUOTE=QUOTE.(3)3只顏色不全相同的概率為P3=1-P2=1-QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.下列各對事務中,是相互獨立事務的是 ()A.運動員甲射擊一次,“射中9環”與“射中8環”B.甲、乙兩運動員各射擊一次,“甲射中10環”與“乙射中9環”C.甲、乙兩運動員各射擊一次,“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒有射中目標”D.甲、乙兩運動員各射擊一次,“至少有1人射中目標”與“甲射中目標但乙未射中目標”【解析】選B.在A中,甲射擊一次,“射中9環”與“射中8環”兩個事務不行能同時發生,二者是互斥事務,不獨立;在B中,甲、乙各射擊一次,“甲射中10環”發生與否對“乙射中9環”的概率沒有影響,二者是相互獨立事務;在C中,甲,乙各射擊一次,“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒有射中目標”不行能同時發生,二者是互斥事務,不獨立;在D中,設“至少有1人射中目標”為事務A,“甲射中目標但乙未射中目標”為事務B,則AB=B,因此當P(A)≠1時,P(AB)≠P(A)·P(B),故A、B不獨立.2.下列對各事務發生的概率推斷正確的是 ()A.某學生在上學的路上要經過4個路口,假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,遇到紅燈的概率都是QUOTE,那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為QUOTEB.三人獨立地破譯一份密碼,他們能單獨譯出的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,假設他們破譯密碼是彼此獨立的,則此密碼被破譯的概率為QUOTEC.甲袋中有8個白球,4個紅球,乙袋中有6個白球,6個紅球,從每袋中各任取一個球,則取到同色球的概率為QUOTED.設兩個獨立事務A和B都不發生的概率為QUOTE,A發生B不發生的概率與B發生A不發生的概率相同,則事務A發生的概率是QUOTE【解析】選C.對于A,該生在第3個路口首次遇到紅燈的狀況為前2個路口不是紅燈,第3個路口是紅燈,所以概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE,故A錯誤;對于B,用A,B,C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼,則P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,“三個人都不能破譯出密碼”發生的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以此密碼被破譯的概率為1-QUOTE=QUOTE,故B不正確;對于C,設“從甲袋中取到白球”為事務A,則P(A)=QUOTE=QUOTE,設“從乙袋中取到白球”為事務B,則P(B)=QUOTE=QUOTE,故取到同色球的概率為QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,故C正確;對于D,易得P(AQUOTE)=P(BQUOTE),即P(A)P(QUOTE)=P(B)P(QUOTE),即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],所以P(A)=P(B),又P(QUOTEQUOTE)=QUOTE,所以P(QUOTE)=P(QUOTE)=QUOTE,所以P(A)=QUOTE,故D錯誤.3.某電視臺的夏日水上闖關節目一共有三關,第一關與其次關的過關率分別為QUOTE,QUOTE.只有通過前一關才能進入下一關,每一關都有兩次闖關機會,且通過每關相互獨立.一選手參與該節目,則該選手能進入第三關的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.設Ai=“第i次通過第一關”,Bi=“第i次通過其次關”,其中i=1,2;由題意選手能進入第三關的事務為:A1B1+QUOTEA2B1+A1QUOTEB2+QUOTEA2QUOTEB2,所以概率為PQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.4.設M,N為兩個隨機事務,給出以下命題:(1)若M,N為互斥事務,且P(M)=QUOTE,P(N)=QUOTE,則P(M+N)=QUOTE;(2)若P(M)=QUOTE,P(N)=QUOTE,P(MN)=QUOTE,則M,N為相互獨立事務;(3)若P(QUOTE)=QUOTE,P(N)=QUOTE,P(MN)=QUOTE,則M,N為相互獨立事務;(4)若P(M)=QUOTE,P(QUOTE)=QUOTE,P(MN)=QUOTE,則M,N為相互獨立事務;(5)若P(M)=QUOTE,P(N)=QUOTE,P(QUOTEQUOTE)=QUOTE,則M,N為相互獨立事務;其中正確命題的個數為 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選D.若M,N為互斥事務,且P(M)=QUOTE,P(N)=QUOTE,則P(M+N)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,故(1)正確;若P(M)=QUOTE,P(N)=QUOTE,P(MN)=QUOTE,則由相互獨立事務乘法公式知M,N為相互獨立事務,故(2)正確;若P(QUOTE)=QUOTE,P(N)=QUOTE,P(MN)=QUOTE,則P(M)=1-P(QUOTE)=QUOTE,P(MN)=P(M)P(N),由對立事務概率計算公式和相互獨立事務乘法公式知M,N為相互獨立事務,故(3)正確;若P(M)=QUOTE,P(QUOTE)=QUOTE,P(MN)=QUOTE,當M,N為相互獨立事務時,P(N)=1-P(QUOTE)=QUOTE,P(MN)=QUOTE×QUOTE=QUOTE≠QUOTE,故(4)錯誤;若P(M)=QUOTE,P(N)=QUOTE,P(QUOTEQUOTE)=QUOTE,則P(MN)=P(M)·P(N)=QUOTE,P(QUOTEQUOTE)=1-P(MN),由對立事務概率計算公式和相互獨立事務乘法公式知M,N為相互獨立事務,故(5)正確.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.從甲袋中摸出一個紅球的概率是QUOTE,從乙袋中摸出一個紅球的概率是QUOTE,從兩袋各摸出一個球,下列結論正確的是 ()A.2個球都是紅球的概率為QUOTEB.2個球不都是紅球的概率為QUOTEC.至少有1個紅球的概率為QUOTED.2個球中恰有1個紅球的概率為QUOTE【解析】選ACD.設“從甲袋中摸出一個紅球”為事務A1,“從乙袋中摸出一個紅球”為事務A2,則P(A1)=QUOTE,P(A2)=QUOTE,且A1,A2獨立;在A中,2個球都是紅球為A1A2,其概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE,A正確;在B中,“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事務,其概率為QUOTE,B錯誤;在C中,2個球中至少有1個紅球的概率為1-P(QUOTE)P(QUOTE)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE,C正確;2個球中恰有1個紅球的概率為QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,D正確.6.如圖所示的電路中,5只箱子表示保險匣分別為A,B,C,D,E.箱中所示數值表示通電時保險絲被切斷的概率,下列結論正確的是 ()A.AB所在線路暢通的概率為QUOTEB.ABC所在線路暢通的概率為QUOTEC.DE所在線路暢通的概率為QUOTED.當開關合上時,整個電路暢通的概率為QUOTE【解析】選BD.由題意知,A,B,C,D,E保險閘被切斷的概率分別為P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,P(D)=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,所以A、B兩個箱子暢通的概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE,因此A錯誤;D、E兩個箱子并聯后暢通的概率為1-QUOTE×QUOTE=1-QUOTE=QUOTE,因此C錯誤;A、B、C三個箱子混聯后暢通的概率為1-QUOTE×QUOTE=1-QUOTE=QUOTE,B正確;依據上述分析可知,當開關合上時電路暢通的概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE,D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.投到某出版社的稿件,先由兩位初審專家進行評審,若能通過兩位初審專家的評審,則干脆予以錄用,若兩位初審專家都未予通過,則不予錄用,若恰能通過一位初審專家的評審,則再由第三位專家進行復審,若能通過復審專家的評審,則予以錄用,否則不予錄用.設稿件能通過各初審專家評審的概率均為QUOTE,復審的稿件能通過評審的概率為QUOTE,各專家獨立評審,則投到該出版社的1篇稿件被錄用的概率為________.

【解析】記A表示事務:稿件能通過兩位初審專家的評審;B表示事務:稿件恰能通過一位初審專家的評審;C表示事務:稿件能通過復審專家的評審;D表示事務:稿件被錄用,則D=A+B·C,P(A)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(B)=2×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(C)=QUOTE,所以P(D)=P(A+B·C)=P(A)+P(B·C)=P(A)+P(B)P(C)=QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.甲、乙兩人同時參與公務員考試,甲筆試、面試通過的概率分別為QUOTE和QUOTE;乙筆試、面試通過的概率分別為QUOTE和QUOTE.若筆試、面試都通過則被錄用,且甲、乙錄用與否相互獨立,則該次考試甲、乙同時被錄用的概率是________,只有一人被錄用的概率是________.

【解析】甲被錄用的概率為P1=QUOTE×QUOTE=QUOTE,乙被錄用的概率為P2=QUOTE×QUOTE=QUOTE,則該次考試甲、乙同時被錄用的概率是P=P1P2=QUOTE×QUOTE=QUOTE,只有一人被錄用的概率是P=P1QUOTE+P2(1-P1)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.在校體育運動會中,甲、乙、丙三支足球隊進行單循環賽(即每兩隊競賽一場),共賽三場,每場競賽勝者得3分,負者得0分,沒有平局.在每場競賽中,甲勝乙的概率為QUOTE,甲勝丙的概率為QUOTE,乙勝丙的概率為QUOTE.(1)求甲隊獲第一名且丙隊獲其次名的概率;(2)求在該次競賽中甲隊至少得3分的概率.【解析】(1)若甲隊獲第一名且丙隊獲其次名,即甲勝乙,甲勝丙,且丙勝乙,即P=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,即甲隊獲第一名且丙隊獲其次名的概率是QUOTE;(2)當甲隊恰得3分,即甲隊勝了一場時,甲勝乙且丙勝甲,或甲勝丙且乙勝甲,P=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,當甲恰得6分,即甲隊勝了2場,即P=QUOTE×QUOTE=QUOTE,那么該次競賽中甲隊至少得3分的概率P=QUOTE+QUOTE=QUOTE.10.某項選拔共有四輪考核,每輪設有一個問題,能正確回答者進入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為0.6,0.4,0.5,0.2.已知各輪問題能否正確回答互不影響.(1)求該選手被淘汰的概率;(2)求該選手在選拔中至少回答了2個問題被淘汰的概率.【解析】(1)記“該選手能正確回答第i輪的問題”為事務Ai(i=1,2,3,4),則P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(A3)=0.5,P(A4)=0.2.該選手被淘汰的概率:P=P(QUOTE+A1QUOTE+A1A2QUOTE+A1A2A3QUOTE)=P(QUOTE)+P(A1)P(QUOTE)+P(A1)P(A2)P(QUOTE)+P(A1)P(A2)P(A3)P(QUOTE)=0.4+0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.976.(2)P=P(A1QUOTE+A1A2QUOTE+A1A2A3QUOTE)=P(A1)P(QUOTE)+P(A1)P(A2)P(QUOTE)+P(A1)·P(A2)P(A3)P(QUOTE)=0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.576.1.在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳動時,均從一葉跳到另一葉),而且逆時針方