易錯點02方程與不等式1．方程的定義、不等式的性質2．方程的解3．不等式（組）的解、整數解情況4．根的判別式、根與系數的關系01方程的定義：需要注意2點，一是方程的最高次數為1，二是一次項系數不為0.務必兩點都要考慮。1.已知關于的方程是一元一次方程，則的值是A．2 B．0 C．1 D．0或2【分析】根據一元一次方程的定義，得到關于的絕對值的方程，利用絕對值的定義，解之，把的值代入，根據是否為0，即可得到答案．【解析】根據題意得：，整理得：或，解得：或0，把代入得：（不合題意，舍去），把代入得：（符合題意），即的值是0，故選：．1．下列方程中，是一元一次方程的是A． B． C． D．【分析】只含有一個未知數（元，并且未知數的指數是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常數且．【解析】、未知項的最高次數為2，不是一元一次方程；、符合一元一次方程的定義；、含有兩個未知數，不是一元一次方程；、分母中含有未知數，不是一元一次方程．故選：．2．下列等式中不是一元一次方程的是A． B． C． D．【分析】利用一元一次方程方程的定義判斷即可．【解析】是一元二次方程，故選：．3．已知方程是關于的一元一次方程，則的值是．【分析】根據一元一次方程的特點求出的值．只含有一個未知數（元，并且未知數的指數是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常數且，高于一次的項系數是0．【解析】由一元一次方程的特點得，解得：．故答案為：．02一元一次方程的解以及解方程：計算思路要清晰、計算要準確，否則很容易失分。1．如果是關于的方程的解，那么的值是A．1 B．2 C． D．【分析】把代入方得出，求出方程的解即可．【解析】把代入方程得：，解得：，故選：．1．若是方程的解，則值為A．0 B．2 C．3 D．4【分析】將代入方程即可求得的值．【解析】把代入方程，得解得．故選：．2．已知關于的方程的解是，則代數式的值為A． B．0 C． D．2【分析】先把代入方程得，再把通分得到，然后利用整體代入的方法計算．【解析】把代入方程得，，，．故選：．3．如果關于的方程有負根，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】當時，原方程無意義，當時，解一元一次方程，根據“關于的方程有負根”，得到關于的不等式，解之即可．【解析】根據題意得：若，則，則，（不合題意，舍去），若，則，則原方程的解為：，則，則，解得：，故選：．03一元一次方程相同解問題：先求出其中一個方程的解，再代入同解方程中，即可求相關未知數的值。1．關于的方程與方程的解相同，則常數是A． B．3 C．2 D．【分析】求出第二個方程的解，代入第一個方程計算即可求出的值．【解析】方程，移項得：，合并同類項得：，解得：，把代入得：，解得：．故選：．1．若關于的方程與方程的解相同，則的值為A． B．3 C． D．4【分析】先求方程的解，再將所求的解代入方程，求出的值即可．【解析】，，方程與方程的解相同，方程的解，，，故選：．2．關于的兩個方程與的解相同，則．【分析】先求方程的解，再代入，求得的值．【解析】解方程，得，把代入，得，解得．故填：4．04二元一次方程的定義、二元一次方程的解1.下列方程中，為二元一次方程的是A． B． C． D．【分析】根據二元一次方程的定義逐個判斷即可．【解析】．是一元一次方程，不是二元一次方程，故本選項不符合題意；．是三元一次方程，不是二元一次方程，故本選項不符合題意；．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本選項不符合題意；．是二元一次方程，故本選項符合題意；故選：．1．若關于，的方程是二元一次方程，則2或4．【分析】根據二元一次方程的定義得到，，然后解不等式和方程得到滿足條件的、的值，然后把、的值代入中計算即可．【解析】根據題意得：，，解得：，，，，的值是2或4，故答案為：2或4．2.已知是方程的解，則的值為A． B．3 C．5 D．【分析】把與的值代入方程計算即可求出的值．【解析】把代入方程得：，解得：3.若方程，，有公共解，則的值為3．【分析】直接利用二元一次方程組的解法得出答案．【解析】方程，，有公共解，，①②得：，故，故方程組的解為：，故，解得：．故答案為：3．04解二元一次方程：注意題目給出的條件，充分利用條件進行解答。1.已知二元一次方程，且，則此二元一次方程的正整數解為A． B． C． D．【分析】將看作已知數表示出，代入已知不等式求出的范圍，即可做出判斷．【解析】方程，解得：，當時，，則為方程的正整數解．故選：．1.二元一次方程的一個整數解可以是．【分析】本題是開放型題目，答案不唯一，只要符合要求，即是整數解即可．【解析】二元一次方程，當時，，；所以，是二元一次方程的一個整數解．故答案為．；2.已知是關于、的二元一次方程組的解，則的值為A． B．1 C．7 D．11【分析】根據方程組的解的意義將、的值代入方程組即可求解．【解析】把，代入方程組，得解得，，．故選：．3．如果實數，滿足方程組，則0．【分析】利用加減消元法解出、的數值，再進行計算即可．【解析】，①②得，，解得，將代入②得，，解得，，故答案為：0．05一元二次方程的解：靈活運用求解的幾種方法，另外，結合整體代入法進行考查時也是是一個特別容易出錯的點，需特別留意。1．（深圳模擬）已知、是方程的兩個實數根，則的值為A． B．2 C．22 D．30【分析】根據根與系數的關系得到，由一元二次方程解的定義得到，則，然后將其代入所求的代數式，并求值．【解析】、是方程的兩個實數根，，， ，故選：．1．（2022?越秀區一模）若關于的一元二次方程的一個根為0，則．【分析】根據題意把代入方程中，可得，然后根據一元二次方程的定義可得，即可解答．【解析】把代入中，，，由題意得：，，，故答案為：．2．（2020?宿遷二模）若關于的一元二次方程的一個根為0，則值是．【分析】根據一元二次方程解的定義，將代入關于的一元二次方程，然后解關于的一元二次方程即可．【解析】根據題意，得滿足關于的一元二次方程，，解得，；又二次項系數，即，；故答案為：．3．（滕州市一模）已知關于的一元二次方程的一個根是0，那么的值為．【分析】由題意知關于的一元二次方程的一個根是0，所以直接把一個根是0代入一元二次方程中即可求出．【解析】是方程的一個根，，，但時一元二次方程的二次項系數為0，舍去，．故答案為：．06根的判別式、根與系數的關系1.已知：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，請化簡：．【分析】先根據根的判別式求出的取值范圍，再根據絕對值的性質和二次根式的性質去掉絕對值和根號，然后再合并同類項．【解析】關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，△，，，，，，原式．1.（2022?海曙區自主招生）如果方程的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數的取值范圍是．【分析】根據原方程可得出：①，②；根據根與系數的關系，可求出②方程的和的表達式，然后根據三角形三邊關系定理求出的取值范圍．【解析】由題意，得：，；設的兩根分別是、；則，；；根據三角形三邊關系定理，得：，即；，解得．2.1．（2010?古冶區一模）關于的方程有實數根，則整數的最大值是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由于關于的方程有實數根，分情況討論：①當即時，此時方程為一元一次方程，方程一定有實數根；②當即時，此時方程為一元二次方程，如果方程有實數根，那么其判別式是一個非負數，由此可以確定整數的最大值．【解析】關于的方程有實數根，①當即時，此時方程為一元一次方程，方程一定有實數根；②當即時，此時方程為一元二次方程，如果方程有實數根，那么其判別式是一個非負數，△，解之得，整數的最大值是4．故選：．3．若關于的方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是A． B．且 C． D．且【分析】根據已知得出方程為一元二次方程，即且，求出即可．【解析】①當，即時，方程為，此時方程有一個解，不符合題意；②當時，關于的方程有兩個不相等的實數根，，解得：且．故選：．07分式方程的解：需要特別注意求解分式方程時需要驗根，注意求出的解是否為增根的情況。1.關于的方程的解是正數，則的取值范圍是A． B．且 C． D．且【分析】先解關于的分式方程，求得的值，然后再依據“解是正數”建立不等式求的取值范圍．【解析】去分母得，方程的解是正數即又因為則的取值范圍是且故選：．1.（2021?香洲區模擬）已知關于的方程．（1）若方程的解大于2，求的取值范圍；（2）當為何值時，存在以，，為三邊長的直角三角形？【分析】（1）解分式方程，用表示，根據分式的最簡公分母，字母系數，方程的解大于2，列不等式，求出公共的解集；（2）分兩種情況：①為斜邊的直角三角形，②為斜邊的直角三角形，根據勾股定理求出的值．【解析】（1）去分母得，，去括號得，，，，且，，，，，方程的解大于2，，，綜上所述：的取值范圍；（2），①為斜邊的直角三角形，得，解得或（舍去），②為斜邊的直角三角形，得，解得，綜上所述：當或時，存在以，，為三邊長的直角三角形．2.（2022?普寧市一模）分式方程的解是．【分析】按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答．【解析】，，解得：，檢驗：當時，，是原方程的根，故答案為：．3.（2022?天河區二模）方程的解是．【分析】按照解分式方程的步驟進行計算即可解答．【解析】，，解得：，檢驗：當時，，是原方程的根，故答案為：．08不等式：不等式的性質、1．（2022?禪城區校級三模）下列結論中，正確的是A．若，，則 B．若，則， C．若，，則 D．若，則【分析】根據不等式的基本性質判斷，選項；根據有理數的乘法法則判斷，選項．【解析】選項，當時不成立，故該選項不符合題意；選項，也可能是，，故該選項不符合題意；選項，若，，則，故該選項符合題意；選項，當時不成立，故該選項不符合題意；故選：．1．（2022?南海區校級模擬）已知實數、，若，則下列結論錯誤的是A． B． C． D．【分析】根據不等式的性質，逐項判斷即可．【解析】、，，原變形正確，故此選項不符合題意；、，，原變形正確，故此選項不符合題意；、，，原變形錯誤，故此選項符合題意；、，，原變形正確，故此選項不符合題意．故選：．2．（2021?高新區模擬）下列不等式變形正確的是A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得【分析】根據不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，可得答案．【解析】、等式的兩邊都減2，不等號的方向不變，故錯誤；、如，，，得，故錯誤；、不等式的兩邊都乘以，不等號的方向改變，故正確；、如，，，得，故錯誤．故選：．3．（2022?大慶模擬）已知實數，滿足，且，，則的取值范圍．【分析】根據，可以得到與的關系，根據，，可以得到的取值范圍，從而可以得到的取值范圍．【解析】，且，，，解得，，，，故答案為：．09不等式的解集及在數軸上表示不等式1.若關于的不等式組的解集是，則的取值范圍是．【分析】根據不等式組的解集，可判斷與2的大小．【解析】因為不等式組的解集是，根據同大取較大原則可知：，當時，不等式組的解集也是，所以．故答案為：．1.若不等式的解集是，則不等式的解集是．【分析】根據不等式的解集是可求得的值；再將的值代入不等式即可求得不等式的解集．【解析】不等式的解集是，不等式的解集是，，即；將代入不等式得，，移項得，，解得：．2.（2022?梅州模擬）不等式組的解集在數軸上表示正確的是A． B． C． D．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解析】由，得：，由，得：，則不等式組的解集為，故選：．3．（2022?長春模擬）把不等式組的解集表示在數軸上，下列選項正確的是A． B． C． D．【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數軸上即可．【解析】由解得，由解得，不等式的解集是，在數軸上表示如圖，故選：．10一元一次不等式的整數解1.（2022?惠來縣二模）不等式的非負整數解有0，1，2，3個．【分析】首先利用不等式的基本性質解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的非負整數即可．【解析】，，所以不等式的非負整數解是0，1，2，3．故答案為0，1，2，3．1．（2021?集賢縣模擬）若關于的不等式的正整數解是1，2，3，則整數的最大值是13．【分析】先解不等式得到，再根據正整數解是1，2，3得到時，然后從不等式的解集中找出適合條件的最大整數即可．【解析】解不等式，得．關于的不等式的正整數解是1，2，3，，，整數的最大值是13．故答案為13．2．（2022?鹽田區一模）先化簡，再代入求值：（其中的值是不等式的正整數解）．【分析】先將分式進行化簡，然后對不等式進行求解，并在不等式的正整數解中選出使原式有意義的數代入求解．【解析】，，，，把代入上式得：原式．3．（2022?廣東模擬）求不等式的正整數解．【分析】求出不等式的解集后，然后在解集范圍內找出符合條件的正整數解即可．【解析】，，，，，它的正整數解是1，2，3，4，5．一．選擇題（共10小題）1．（2021?饒平縣校級模擬）關于的方程與方程的解相同，則常數是A． B．3 C．2 D．【分析】求出第二個方程的解，代入第一個方程計算即可求出的值．【解析】方程，移項得：，合并同類項得：，解得：，把代入得：，解得：．故選：．2．（2021?封開縣一模）方程組的解為，則點在第象限．A．一 B．二 C．三 D．四【分析】把，的值代入所給方程組可得，的值，可得，的符號，進而可得所在象限．【解析】把方程的解代入所給方程組得，解得，點在第一象限，故選：．3．（2022?臨海市一模）已知，則下列結論中一定正確的是A． B． C． D．【分析】根據不等式的性質，可得答案．【解析】、不等式的兩邊都乘，再加4，即，原變形錯誤，故此選項不符合題意；、不等式的兩邊都乘，再加3，即，原變形錯誤，故此選項不符合題意；、不等式的兩邊都乘，再加4，即，也即，原變形正確，故此選項符合題意；、不等式的兩邊都乘，再加4，即，原變形錯誤，故此選項不符合題意；故選：．4．（2022?龍崗區二模）不等式組的解集在數軸上表示正確的是A． B． C． D．【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數軸上即可．【解析】不等式組的解集為，在數軸上表示為．故選：．5．（2022?紫金縣二模）如圖，和5分別是天平上兩邊的砝碼的質量，則的取值范圍在數軸上可表示為A． B． C． D．【分析】根據圖示，可得不等式的解集，可得答案．【解析】由題意得：．故選：．6．（2022?中山市三模）已知、是不為0的實數，則下列選項中，解集可以為的不等式組是A． B． C． D．【分析】根據不等式組的解集可得且，從而可得且，進而可得或且，即可解答．【解析】不等式組的解集為：，且，且，、是不為0的實數，或且，故選：．7．（2022?南海區校級模擬）關于的不等式組有解，則的值可以是A． B． C． D．【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．【解析】，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組有解，，的值可以是，故選：．8．（2022?東陽市模擬）方程的解是A． B． C．， D．，【分析】利用解一元二次方程因式分解法，進行計算即可解答．【解析】，，，，，，故選：．9．（2022春?新興縣期中）若二元一次方程，和有公共解，則的取值為A． B． C．3 D．4【分析】將，組成方程組，求出、的值，再代入，求出的值．【解析】將，組成方程組得，，解得，將代入得，，解得，．故選：．10．（2020秋?北碚區校級期末）已知是關于的一元一次不等式，則的值為A．4 B．2 C．4或2 D．不確定【分析】根據一元一次不等式的定義，，，分別進行求解即可．【解析】根據題意，，所以，，解得．故選：．二．填空題（共5小題）11．（2022?越秀區一模）若關于的一元二次方程的一個根為0，則．【分析】根據題意把代入方程中，可得，然后根據一元二次方程的定義可得，即可解答．【解析】把代入中，，，由題意得：，，，故答案為：．12．（2022?海曙區自主招生）如果方程的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數的取值范圍是．【分析】根據原方程可得出：①，②；根據根與系數的關系，可求出②方程的和的表達式，然后根據三角形三邊關系定理求出的取值范圍．【解析】由題意，得：，；設的兩根分別是、；則，；；根據三角形三邊關系定理，得：，即；，解得．13．（2022?河源