第02講利用導數研究函數的單調性目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點考查利用導數求函數的單調性（不含參） 1題型二：重點考查已知函數在上單調求參數 4題型三：重點考查已知函數在上存在單調區間求參數 6題型四：重點考查已知函數在上不單調求參數 9題型五：重點考查導數圖象與原函數圖象之間的關系 13題型六：重點考查討論函數的單調性 16題型七：重點考查構造函數解不等式 23題型一：重點考查利用導數求函數的單調性（不含參）典型例題例題1．（2023上·北京西城·高三北師大實驗中學?？茧A段練習）函數在上的單調遞減區間為.例題2．（2024上·陜西榆林·高二統考期末）已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數的單調區間；例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知函數，求的單調區間.精練核心考點1．（2023上·北京朝陽·高二統考期末）已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調區間.2．（2023上·河南南陽·高三統考期中）已知函數.(1)求的單調區間；3．（2023·河南·模擬預測）設函數.(1)討論的單調區間；題型二：重點考查已知函數在上單調求參數典型例題例題1．（2023·貴州遵義·統考模擬預測）若函數在區間上單調遞增，則的可能取值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例題2．（2023上·上海靜安·高三上海市市西中學?？计谥校┖瘮翟趨^間上是單調函數，則實數a的取值范圍是.例題3．（2023下·廣東廣州·高二廣東實驗中學校考期中）已知函數在上單調遞減，則的取值范圍是．精練核心考點1．（2023上·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？计谀┰O函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023上·河南·高三校聯考階段練習）若函數的圖象在區間上單調遞增，則實數的最小值為．3．（2023上·安徽亳州·高三蒙城縣第六中學?？茧A段練習）已知函數在區間上單調遞增，則a的取值范圍是：.題型三：重點考查已知函數在上存在單調區間求參數典型例題例題1．（2023下·湖南湘潭·高二湘潭縣一中校聯考期末）已知函數在上不單調，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023下·四川眉山·高二統考期末）若在上存在單調遞增區間，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題3．（2023下·福建福州·高二校聯考期中）若函數在上存在單調遞減區間，則的取值范圍是．精練核心考點1．（2023下·江西萍鄉·高二統考期末）已知函數在區間上存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023上·重慶·高三重慶八中校考階段練習）知函數在上存在遞增區間，則實數的取值范圍為．3．（2023上·江蘇徐州·高二?？茧A段練習）已知函數在上不是單調函數，則實數的取值范圍為．題型四：重點考查已知函數在上不單調求參數典型例題例題1．（2023上·山西忻州·高三校聯考階段練習）已知函數在上不單調，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（2023·全國·高三專題練習）若對于任意，函數在區間(t,3)上總不為單調函數，則實數m的取值范圍是．例題3．（2022·全國·高二專題練習）已知函數．若在內不單調，則實數a的取值范圍是．精練核心考點1．（2021上·河南·高三校聯考階段練習）已知函數在區間上不是單調函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2020下·湖北武漢·高二湖北省武昌實驗中學校考期中）已知函數.若函數在區間上不是單調函數，則實數t的取值范圍為．3．（2020·全國·高三專題練習）若函數在區間上不是單調函數，則函數在R上的極小值為．題型五：重點考查導數圖象與原函數圖象之間的關系典型例題例題1．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學?？家荒＃┤?，則函數的圖象可能是（

）A． B．

C．

D．

例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知在上是可導函數，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）

A． B．C． D．例題3．（2023下·高二課時練習）函數的圖象如圖所示，為函數的導函數，則不等式的解集為．

精練核心考點1．（2023·安徽·池州市第一中學校聯考模擬預測）已知函數為的導函數，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023下·山東菏澤·高二統考期中）已知在R上是可導函數，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．（2023上·陜西西安·高二?？计谀┖瘮档膱D象如圖，則導函數的圖象可能是下圖中的（

）A． B．C． D．題型六：重點考查討論函數的單調性典型例題例題1．（2023上·湖北·高二期末）已知函數(1)討論的單調性；例題2．（2023上·江蘇徐州·高二?？茧A段練習）已知函數.(1)在上是增函數，求a的取值范圍；(2)討論函數的單調性．例題3．（2024·全國·模擬預測）已知函數．(1)討論的單調性；例題4．（2024·全國·高三專題練習）已知函數，討論函數的單調性.精練核心考點1．（2023上·廣東深圳·高三?？计谀┮阎瘮?1)若函數在處的切線與直線垂直，求實數a的值；(2)討論函數的單調性．2．（2024上·重慶·高二校聯考期末）已知函數.(1)若曲線在點處的切線與直線平行,求出這條切線的方程；(2)討論函數的單調性.3．（2024·河南·模擬預測）已知函數.(1)討論的單調性；(2)證明：當時，.4．（2016·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學?？计谥校┮阎瘮?1)若，求函數在處的切線方程；(2)討論函數的單調性．題型七：重點考查構造函數解不等式典型例題例題1．（2022上·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學?？计谀┒x在上的函數，是它的導函數，且恒有成立．則（

）A． B．C． D．例題2．（2022上·云南德宏·高三校考階段練習）定義域R的奇函數，當時恒成立，若，，，則（

）A． B．C． D．例題3．（2023上·江西·高三校聯考階段練習）若為R上的奇函數，為其導函數，當時，恒成立，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．例題4．（2022下·廣東河源·高二河源市河源中學?？奸_學考試）已知為定義在上的可導函數，為其導函數，且恒成立，其中是自然對數的底，則一定成立的是（

）A． B．C． D．精練核心考點1．（2023上·江蘇南京·高二期末）已知函數的導函數為，若，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C．D．2．（2022上·四川綿陽·高三綿陽中學校考階段練習）已知函數滿足，且當時，成立，若，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．3．（2022下·福建漳州·高二?？计谥校┒x在R上的函數的導函數為，若，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．4．（2023上·河北張家口·高三校聯考階段練習）已知函數，滿足，在下列不等關系中，一定成立的是（

）A． B．C． D．

第02講利用導數研究函數的單調性目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點考查利用導數求函數的單調性（不含參） 1題型二：重點考查已知函數在上單調求參數 4題型三：重點考查已知函數在上存在單調區間求參數 6題型四：重點考查已知函數在上不單調求參數 9題型五：重點考查導數圖象與原函數圖象之間的關系 13題型六：重點考查討論函數的單調性 16題型七：重點考查構造函數解不等式 23題型一：重點考查利用導數求函數的單調性（不含參）典型例題例題1．（2023上·北京西城·高三北師大實驗中學?？茧A段練習）函數在上的單調遞減區間為.【答案】【詳解】由題意知，.即，，因為，所以，所以在中，，所以在上的單調遞減區間為.故答案為：例題2．（2024上·陜西榆林·高二統考期末）已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數的單調區間；【答案】(1)(2)單調增區間為，單調減區間為和(3)【詳解】（1）因為，所以，，，故曲線在點處的切線方程；（2），且.當時，，當時，，故的單調增區間為，單調減區間為和；例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知函數，求的單調區間.【答案】的單調遞增區間為，無遞減區間.【詳解】由已知可得，定義域為，.令，則.當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以在上恒成立，所以，在上單調遞增.所以，的單調遞增區間為，無遞減區間.精練核心考點1．（2023上·北京朝陽·高二統考期末）已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調區間.【答案】(1)(2)單調遞增區間為；單調遞減區間為【詳解】（1）由，的定義域為.則，所以，又，所以在點處的切線方程為.（2），由，得，或，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以函數的單調遞增區間為；單調遞減區間為.2．（2023上·河南南陽·高三統考期中）已知函數.(1)求的單調區間；【答案】(1)的單調遞減區間為，單調遞增區間為.(2)三條【詳解】（1）因為，所以.令，得；令，得.所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為.3．（2023·河南·模擬預測）設函數.(1)討論的單調區間；【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）依題意，的定義域是，，令解得在定義域內，，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；因此的單調遞增區間為，，單調遞減區間為.題型二：重點考查已知函數在上單調求參數典型例題例題1．（2023·貴州遵義·統考模擬預測）若函數在區間上單調遞增，則的可能取值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】由題設在區間上單調遞增，所以恒成立，所以上恒成立，即恒成立，而在上遞增，故.所以A符合要求.故選：A例題2．（2023上·上海靜安·高三上海市市西中學校考期中）函數在區間上是單調函數，則實數a的取值范圍是.【答案】【詳解】因為函數在區間上是單調函數，則在上有或恒成立，當時，即，則，當時，即，則，綜上：實數a的取值范圍是.故答案為：例題3．（2023下·廣東廣州·高二廣東實驗中學?？计谥校┮阎瘮翟谏蠁握{遞減，則的取值范圍是．【答案】【詳解】函數，求導得，依題意，，，即恒成立，顯然函數是開口向上的二次函數，因此，解得，所以的取值范圍是.故答案為：精練核心考點1．（2023上·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學校考期末）設函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：函數在上單調遞減，則在上恒成立，所以，在上恒成立，設函數，則，所以在上恒成立，所以在上單調遞增，所以，所以，則實數的取值范圍是.故選：D.2．（2023上·河南·高三校聯考階段練習）若函數的圖象在區間上單調遞增，則實數的最小值為．【答案】【詳解】因為，所以．由的圖象在區間上單調遞增，可知不等式即在區間上恒成立．令，則，當時，，所以在上單調遞減，故要使在上恒成立，只需．由，解得，故實數a的取值范圍為，則a的最小值為．故答案為：3．（2023上·安徽亳州·高三蒙城縣第六中學?？茧A段練習）已知函數在區間上單調遞增，則a的取值范圍是：.【答案】【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設，所以，所以在上單調遞增，，故，即，即a的最小值為.故a的取值范圍是.故答案為：題型三：重點考查已知函數在上存在單調區間求參數典型例題例題1．（2023下·湖南湘潭·高二湘潭縣一中校聯考期末）已知函數在上不單調，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，當時，在區間上單調遞減，不符合題意.當，時，，在區間上單調遞減，不符合題意.當時，令，解得，要使在區間上不單調，則，即，解得,此時在區間上遞減；在區間上遞增.故選：B例題2．（2023下·四川眉山·高二統考期末）若在上存在單調遞增區間，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數，求導得，因為函數在上存在單調遞增區間，則不等式在上有解，而，當時，，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：B例題3．（2023下·福建福州·高二校聯考期中）若函數在上存在單調遞減區間，則的取值范圍是．【答案】【詳解】，則，函數在區間上存在減區間，只需在區間上有解，即在區間上有解，又，則，所以在區間上有解，所以，，令，，則，令，則在區間恒成立，所以在上單調遞減，所以，即，所以，所以實數的取值范圍是．故答案為：．精練核心考點1．（2023下·江西萍鄉·高二統考期末）已知函數在區間上存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為，則，因為函數在區間上存在單調遞增區間，則存在，使得，即，可得，設，因為函數、在上均為增函數，則函數在上為增函數，當時，，故.故選：B.2．（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習）知函數在上存在遞增區間，則實數的取值范圍為．【答案】【詳解】由題意得的定義域為，所以，因為函數在區間上存在遞增區間，即在區間上能成立，即，設，開口向上，對稱軸為，所以當時，單調遞增，所以，所以，則，即.故答案為：.3．（2023上·江蘇徐州·高二校考階段練習）已知函數在上不是單調函數，則實數的取值范圍為．【答案】【詳解】因為，則，因為函數在上不是單調函數，則函數在內存在極值點，又因為函數在上是增函數，所以，，解得，因此，實數的取值范圍是.故答案為：.題型四：重點考查已知函數在上不單調求參數典型例題例題1．（2023上·山西忻州·高三校聯考階段練習）已知函數在上不單調，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，，若函數在上單調，則或，當時，恒成立，當，轉化為，或，設，則或恒成立，即或，，所以，所以函數在上不單調，則.故選：B例題2．（2023·全國·高三專題練習）若對于任意，函數在區間(t,3)上總不為單調函數，則實數m的取值范圍是．【答案】【詳解】，若存在，在區間上為單調函數，則①在上恒成立，或②在上恒成立．由①得在上恒成立，由于，所以，即在上恒成立，由于函數均為上的單調遞減函數，所以單調遞減，當時，取最大值，則，又存在，所以，當時，取到最小值-5，所以，即；由②得在上恒成立，則，即，所以存在，函數g(x)在區間(t,3)上為單調函數的m的取值范圍為或，因此使函數g(x)在區間(t,3)上總不為單調函數的m的取值范圍為.故答案為：例題3．（2022·全國·高二專題練習）已知函數．若在內不單調，則實數a的取值范圍是．【答案】【詳解】由，得，當在內為減函數時，則在內恒成立，所以在內恒成立，當在內為增函數時，則在內恒成立，所以在內恒成立，令，因為在內單調遞增，在內單調遞減，所以在內的值域為，所以或，所以函數在內單調時，a的取值范圍是，故在上不單調時，實數a的取值范圍是．故答案為：．精練核心考點1．（2021上·河南·高三校聯考階段練習）已知函數在區間上不是單調函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為在區間上不是單調函數，所以在區間上有解，即在區間上有解．令，則．當時，；當時，．故在上單調遞減，在上單調遞增．又因為，且當時，所以在區間上單調遞增，所以，解得.故選：A2．（2020下·湖北武漢·高二湖北省武昌實驗中學校考期中）已知函數.若函數在區間上不是單調函數，則實數t的取值范圍為．【答案】【詳解】求導得，易知，，單增；，，單減；若使在區間上不單調，只需，則.故答案為：3．（2020·全國·高三專題練習）若函數在區間上不是單調函數，則函數在R上的極小值為．【答案】【詳解】解：，∵函數在區間上不是單調函數，，由，解得：或，由，解得：，的極小值為，故答案為：題型五：重點考查導數圖象與原函數圖象之間的關系典型例題例題1．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學?？家荒＃┤?，則函數的圖象可能是（

）A． B．

C．

D．

【答案】B【詳解】對比各個選項可知，由三次函數圖象與性質可得，（）是函數的零點，令，可知（）且，都是函數的極值點，由此可以排除A，C；若，則函數的圖象形狀為增減增，具體為在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，可知B符合；若，則函數的圖象形狀為減增減，具體為在單調遞減，在單調遞增，在單調遞減，可知D不符合．故選：B.例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知在上是可導函數，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）

A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題圖可知，且當和時，，當時，，則原不等式等價于，等價于或，等價于或，解得:或或．故選：D．例題3．（2023下·高二課時練習）函數的圖象如圖所示，為函數的導函數，則不等式的解集為．

【答案】【詳解】由圖可知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.所以，當時，；當時，；當時，；當時，.當時，由可得，此時；當時，由可得，此時.綜上所述，解集為.故答案為：.精練核心考點1．（2023·安徽·池州市第一中學校聯考模擬預測）已知函數為的導函數，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】令函數，定義域為，函數為偶函數，又，且，當時，在單調遞增，則，函數在單調遞增.故選：C.2．（2023下·山東菏澤·高二統考期中）已知在R上是可導函數，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】觀察函數的圖象知，的單調遞增區間為，遞減區間為，因此不等式的解集為，的解集為，不等式化為：或，解得：，無解；解得：，解得或，所以所求解集為.故選：C.3．（2023上·陜西西安·高二?？计谀┖瘮档膱D象如圖，則導函數的圖象可能是下圖中的（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由函數圖象知為偶函數，則，因為的導數存在，兩邊取導數可得，由復合函數的求導公式可得，故，即為奇函數，排除CD，由原函數圖象可知當時，先遞增再遞減，故在時，函數值先正后負，故排除B，故選：A題型六：重點考查討論函數的單調性典型例題例題1．（2023上·湖北·高二期末）已知函數(1)討論的單調性；【答案】(1)答案見解析【詳解】（1），當時，，，單調遞增；，，單調遞減．當時，當或，，單調遞增；當，，單調遞減，當時，，所以在R上單調遞增．當時，當或，，單調遞增；，，單調遞減．例題2．（2023上·江蘇徐州·高二校考階段練習）已知函數.(1)在上是增函數，求a的取值范圍；(2)討論函數的單調性．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）因為，所以的定義域為，則，因為在上是增函數，即在上恒成立，則在上恒成立，因為在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，即，因為，所以，則，所以，則.（2）由（1）得，當時，，則在上是增函數；當時，，所以；或；，所以在上是減函數，在和上是增函數.例題3．（2024·全國·模擬預測）已知函數．(1)討論的單調性；【答案】(1)答案見解析【詳解】（1）因為的定義域為，且，所以當時，，，單調遞增，，，單調遞減，，，單調遞增；當時，在上恒成立，所以在上單調遞增；當時，，，單調遞增，，，單調遞減，，，單調遞增．綜上所述，當時，的減區間為，的增區間為；當時，的增區間為，無減區間；當時，的減區間為的增區間為．例題4．（2024·全國·高三專題練習）已知函數，討論函數的單調性.【答案】答案見解析.【詳解】，()令，，①當，即時，即，恒成立，所以，此時，在區間上是增函數；②當，得到或，又，其對稱軸為，且，所以，當時，，所以在區間上恒成立，即在區間上恒成立，此時在區間上是增函數；當時，，且，由，得到或，時，，時，，即時，，時，此時，在上是減函數，在上是增函數.綜上所述，當時，在上是增函數；當時，在上是減函數，在上是增函數.精練核心考點1．（2023上·廣東深圳·高三?？计谀┮阎瘮?1)若函數在處的切線與直線垂直，求實數a的值；(2)討論函數的單調性．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）由題意，若函數在處的切線與直線垂直，則，解得.（2）由題意，所以若，則，所以此時在定義域內單調遞增；若，令，解得，若，則當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增；若，則當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增；綜上所述，若，在定義域內單調遞增；若，則當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增；若，則當時，單調遞減，當時，單調遞增.2．（2024上·重慶·高二校聯考期末）已知函數.(1)若曲線在點處的切線與直線平行,求出這條切線的方程；(2)討論函數的單調性.【答案】(1)(2)見詳解【詳解】（1）由題得,則在點處的切線與直線平行,即又曲線在點處的切線為即.（2）令得或（i）當即時,單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增（ii）當即時,恒成立,在上單調遞增,無單調遞減區間.（iii）當即時,單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增綜上所述,當時,的單調遞增區間為,,單調遞減區間為；當時,在上單調遞增,無單調遞減區間；當時,的單調遞增區間為,,單調遞減區間為.3．（2024·河南·模擬預測）已知函數.(1)討論的單調性；(2)證明：當時，.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）函數的定義域為，求導得，當時，，函數在上單調遞增，當時，由，得，函數在上單調遞減，由，得，函數在上單調遞增，所以當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.（2）證明：由（1）知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，令函數，求導得，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，則，于是，有，當時，則，因此，所以.4．（2016·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學?？计谥校┮阎瘮?1)若，求函數在處的切線方程；(2)討論函數的單調性．【答案】(1)(2)在上單調遞增【詳解】（1）（1）時，所以所以函數在處的切線方程為，整理得所以函數在處的切線方程是：.（2）因為所以令，即當時，即時，恒成立，此時在R上單調遞增.當時，即或時，解得所以當時或當時，此時在單調遞減，單調遞增區間為，.題型七：重點考查構造函數解不等式典型例題例題1．（2022上·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學?？计谀┒x