湖南省瀏陽市三校2025屆數學高二上期末經典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖是函數的導函數的圖象，下列說法正確的是（）A.函數在上是增函數B.函數在上是減函數C.是函數的極小值點D.是函數的極大值點2．已知數列滿足，，.設，若對于，都有恒成立，則最大值為A.3 B.4C.7 D.93．某公司要建造一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價為15元，箱壁每1m2造價為12元，則箱子的最低總造價為（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元4．直線的傾斜角是A. B.C. D.5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐內切球的表面積為A.B.C.D.6．如圖，在空間四邊形OABC中，，，，點N為BC的中點，點M在線段OA上，且OM=2MA，則（）A. B.C. D.7．點到直線的距離為2，則的值為（）A.0 B.C.0或 D.0或8．過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A. B.C. D.9．經過點A(0，－3)且斜率為2的直線方程為（）A. B.C. D.10．設是數列的前項和，已知，則數列（）A.是等比數列，但不是等差數列 B.是等差數列，但不是等比數列C.是等比數列，也是等差數列 D.既不是等差數列，也不是等比數列11．已知橢圓C1：+y2=1（m＞1）與雙曲線C2：–y2=1（n＞0）的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜112．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線焦點坐標是，則______14．若a，b，c都為正數，，且，，成等比數列，則的最大值為____________.15．甲、乙兩名學生通過某次聽力測試的概率分別為和，且是否通過聽力測試相互獨立，兩人同時參加測試，其中有且只有一人能通過的概率是__________16．某學校為了獲得該校全體高中學生的體有鍛煉情況，按照男、女生的比例分別抽樣調查了55名男生和45名女生的每周鍛煉時間，通過計算得到男生每周鍛煉時間的平均數為8小時，方差為6；女生每周鍛煉時間的平均數為6小時，方差為8．根據所有樣本的方差來估計該校學生每周鍛煉時間的方差為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且點在C上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設，為橢圓C的左，右焦點，過右焦點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若內切圓的半徑為，求直線l的方程.18．（12分）在平面直角坐標系中，過點的直線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設曲線與直線交于，兩點，求線段的中點的直角坐標及的值19．（12分）如圖，四邊形ABCD是正方形，四邊形BEDF是菱形，平面平面.（1）證明：；（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE與平面CDF所成的二面角的正弦值.20．（12分）已知圓的圓心在直線上，且過點（1）求圓的方程；（2）已知直線經過原點，并且被圓截得的弦長為2，求直線l的方程.21．（12分）一款小游戲的規則如下：每盤游戲都需拋擲骰子三次，出現一次或兩次“6點”獲得15分，出現三次“6點”獲得120分，沒有出現“6點”則扣除12分(即獲得－12分)（Ⅰ）設每盤游戲中出現“6點”的次數為X，求X的分布列；（Ⅱ）玩兩盤游戲，求兩盤中至少有一盤獲得15分概率；（Ⅲ）玩過這款游戲的許多人發現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了．請運用概率統計的相關知識分析解釋上述現象22．（10分）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，，設，，（1）用，，表示，并求；（2）求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據圖象，結合導函數的正負性、極值的定義逐一判斷即可.【詳解】由圖象可知，當時，；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，可知B錯誤，A正確；是極大值點，沒有極小值，和不是函數的極值點，可知C，D錯誤故選：A2、A【解析】整理數列的通項公式有：，結合可得數列是首項為，公比為的等比數列，則，，原問題即：恒成立，當時，，即>3，綜上可得：的最大值為3.本題選擇A選項點睛：數列的遞推關系是給出數列的一種方法，根據給出的初始值和遞推關系可以依次寫出這個數列的各項，由遞推關系求數列的通項公式，常用的方法有：①求出數列的前幾項，再歸納猜想出數列的一個通項公式；②將已知遞推關系式整理、變形，變成等差、等比數列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項3、D【解析】設這個箱子的箱底的長為xm，則寬為m，設箱子總造價為f（x）元，則f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低總造價【詳解】設這個箱子的箱底的長為xm，則寬為m，設箱子總造價為f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，當且僅當x，即x＝4時，f（x）取最小值816元故選：D4、D【解析】由方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【詳解】因為直線的斜率為所以其傾斜角為故選：D5、A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，根據等積法求出幾何體內切球的半徑，再計算內切球的表面積【詳解】解：由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，放入棱長為2的正方體中，如圖所示：設三棱錐內切球的半徑為，則由等體積法得，解得，所以該三棱錐內切球的表面積為故選：A【點睛】本題考查了由三視圖求三棱錐內切球表面積的應用問題，屬于中檔題6、D【解析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】解：∵N為BC的中點，點M在線段OA上，且OM=2MA，且，，，故選：D.7、C【解析】根據點到直線的距離公式即可得出答案.【詳解】解：點到直線的距離為，解得或.故選：C.8、A【解析】直線AC、BD與坐標軸重合時求出四邊形面積，與坐標軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質知，四邊形ABCD的四個頂點為橢圓頂點時，而，四邊形ABCD的面積，當直線AC斜率存在且不0時，設其方程為，由消去y得：，設，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當且僅當，即或時取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A9、A【解析】直接代入點斜式方程求解即可詳解】因為直線經過點且斜率為2，所以直線的方程為，即，故選：10、B【解析】根據與的關系求出通項，然后可知答案.【詳解】當時，，當時，，綜上，的通項公式為，數列為等差數列同理，由等比數列定義可判斷數列不是等比數列.故選：B11、A【解析】詳解】試題分析：由題意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，又=，故．故選A【考點】橢圓的簡單幾何性質，雙曲線的簡單幾何性質【易錯點睛】計算橢圓的焦點時，要注意；計算雙曲線的焦點時，要注意．否則很容易出現錯誤12、B【解析】根據圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關系求解.【詳解】因為圓，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數為2，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據拋物線的幾何性質直接求解可得.【詳解】的焦點坐標為，即.故答案為：214、【解析】由等比數列性質知，即可得，再利用基本不等式求解即可.【詳解】由，，成等比數列，得，即又，則，所以，即，即所以，當且僅當時，等號成立，故的最大值為故答案為：15、##0.5【解析】分兩種情況，結合相互獨立事件公式即可求解.【詳解】記甲，乙通過聽力測試的分別為事件，則可得，兩人有且僅有一人通過為事件，故所求事件概率為.故答案為：16、【解析】先求出100名學生每周鍛煉的平均時間，然后再求這100名學生每周鍛煉時間的方差，從而可估計該校學生每周鍛煉時間的方差【詳解】由題意可得55名男生和45名女生的每周鍛煉時間的平均數為小時，因為55名男生每周鍛煉時間的方差為6；45名女生每周鍛煉時間的方差為8，所以這100名學生每周鍛煉時間的方差為，所以該校學生每周鍛煉時間的方差約為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解析】（1）根據離心率可得的關系，再將的坐標代入方程后可求，從而可得橢圓的方程.（2）設直線的方程為，，結合內切圓的半徑為可得，聯立直線方程和橢圓方程，消元后結合韋達定理可得關于的方程，求出其解后可得直線方程.【小問1詳解】因為橢圓的離心率為，故可設，故橢圓方程為，代入得，故，故橢圓方程為：.【小問2詳解】的周長為，故.設，由題設可得直線與軸不重合，故可設直線，則，由可得，整理得到，此時，故，解得，故直線的方程為：或.18、（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標方程.（2）【解析】（1）直接利用轉換關系，在參數方程、極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換；（2）利用中點坐標公式和一元二次方程根和系數關系式的應用求出結果【小問1詳解】解：過點的直線的參數方程為為參數），轉換為普通方程為，即直線的普通方程為；曲線的極坐標方程為，即，即，根據，轉換為直角坐標方程為，即曲線的直角坐標方程【小問2詳解】解：把代入，整理得，所以，設，，；故，代入，解得，故中點坐標為；把直線的參數方程為為參數）代入，設和對應的參數為和，得到，整理得，所以19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接交于點，連接，要證明，只需證明平面即可；（2）以D為原點建系，分別求出平面與平面的法向量，再利用向量的夾角公式計算即可得到答案.【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點，連接四邊形為正方形，，且為的中點又四邊形為菱形，平面平面又平面OAE.（2）解：如圖，建立空間直角坐標系，不妨設，則，，則由（1）得又平面平面，平面平面，平面ABCD，故，同理，設為平面的法向量，為平面的法向量，則故可取，同理故可取，所以設平面與平面所成的二面角為，則，所以平面與平面所成的二面角的正弦值為20、（1）；（2）或.【解析】（1）根據題意設圓心坐標為，進而得，解得，故圓的方程為（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）圓的圓心在直線上，設所求圓心坐標為∵過點，解得∴所求圓的方程為（2）直線經過原點，并且被圓截得的弦長為2①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線被圓截得的弦長為2，滿足條件；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由于直線被圓截得的弦長為，故圓心到直線的距離為故由點到直線的距離公式得：解得，所以直線l的方程為綜上所述，則直線l的方程為或【點睛】易錯點點睛：本題第二問在解題的過程中要注意直線斜率不存在情況的討論，即分直線的斜率存在和不存在兩種，避免在解題的過程中忽視斜率不存在的情況致錯，考查運算求解能力與分類討論思想，是中檔題.21、（Ⅰ）分布列見解析（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】（Ⅰ）先得到可能的取值為，，，，根據每次拋擲骰子，出現“6點”的概率為，得到每種取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）計算出每盤游戲沒有獲得15分的概率，從而得到兩盤中至少有一盤獲得15分的概率；（Ⅲ）設每盤游戲得分為，得到的分布列和數學期望，從而得到結論.【詳解】解：（Ⅰ）可能的取值為，，，.每次拋擲骰子，出現“6點”的概率為.，，，，所以X的分布列為：0123（Ⅱ）設每盤游戲沒有得到15分為事件，則.設“兩盤游戲中至少有一次獲得15分”為事件，則因此，玩兩