2022年二模新定義1．對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形G和點Q，給出如下定義：將圖形G繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)得到圖形N，圖形N稱為圖形G關(guān)于點Q的“垂直圖形”，例如，圖1中線段為線段關(guān)于點O的“垂直圖形”．(1)線段關(guān)于點的“垂直圖形”為線段．①若點N的坐標(biāo)為，則點P的坐標(biāo)為__________；②若點P的坐標(biāo)為，則點N的坐標(biāo)為__________；(2)．線段關(guān)于點H的“垂直圖形”記為，點E的對應(yīng)點為，點的對應(yīng)點為．①求點的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；②若的半徑為2，上任意一點都在內(nèi)部或圓上，直接寫出滿足條件的的長度的最大值．【答案】(1)①（2，1）；②（1，4）(2)①（a+3，a+3）；②【分析】（1）①②根據(jù)“垂直圖形”定義，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形即可求解；（2）①過點E作EG⊥x軸于G，⊥x軸于P，證明△EGH≌△得到HP=EG，=GH，進(jìn)而可求得點的坐標(biāo)；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和“垂直圖形”的定義，滿足條件的點在第一象限的上，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求解即可．（1）解：①∵線段關(guān)于點的“垂直圖形”為線段，M(1，1)，N（1，2），∴點P坐標(biāo)為（2，1），故答案為：（2，1）；②∵線段關(guān)于點的“垂直圖形”為線段，M(1，1)，P（4，1），∴點N的坐標(biāo)為（1，4），故答案為：（1，4）；（2）解：①過點E作EG⊥x軸于G，⊥x軸于P，則∠EGH=∠=90°，∴∠GEH+∠GHE=90°，∵點E關(guān)于點H的“垂直圖形”為，∴∠=90°，EH=，∴∠GHE+∠=90°，∴∠GEH=∠，∴△EGH≌△（AAS），∴HP=EG，=GH，∵E（3，3），H（a，0），∴HP=EG=3，=｜a+3｜，OP=｜a+3｜，∴點坐標(biāo)為（a+3，a+3）；②如圖，滿足條件的線段如圖中陰影部分，線段最大時的點在第一象限的上，∵（a+3，a+3），=2，∴（a+3）2+（a+3）2=4，∴a=3，則（，），∴=，即滿足條件的的長度的最大值為．【點睛】本題是幾何變換綜合題，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形變換旋轉(zhuǎn)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，注意數(shù)形結(jié)合．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，，且A，B兩點中至少有一點在⊙O外．給出如下定義：平移線段AB，得到線段（，分別為點A，B的對應(yīng)點），若線段上所有的點都在⊙O的內(nèi)部或⊙O上，則線段長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．(1)如圖1，點，的坐標(biāo)分別為（－3，0），（－2，0），線段到⊙O的“平移距離”為___，點，的坐標(biāo)分別為（－，），（，），線段到⊙O的“平移距離”為___；(2)若點A，B都在直線上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d，求d的最小值；(3)如圖2，若點A坐標(biāo)為（1，），線段AB到⊙O的“平移距離”為1，畫圖并說明所有滿足條件的點B形成的圖形（不需證明）．【答案】(1)2，(2)(3)見解析，【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)及線段到圓的“平移距離”定義可分別求得；（2）如圖1，可求得直線l與兩坐標(biāo)軸的交點，則可求得l與x軸所夾的銳角，將直線l向右平移得到直線，當(dāng)直線經(jīng)過點時，與圓的另一個交點為，則可得△是等邊三角形，且邊長為1；作⊥直線l于點A，線段AB到⊙O的“平移距離”d總是的長度，從而可求得最小值d．（3）如圖2，連接OA交⊙O于點B，設(shè)⊙O交x軸正半軸于點E，連接BE，作B關(guān)于y軸的對稱點D，連接BD、OD，則易得△OBE、△OBD都是等邊三角形，由點B是OA中點，可求得點B、D的坐標(biāo)，由B到A的平移及已知可求得點D、E平移后的對應(yīng)點M、N的坐標(biāo)，則M、N在以點A為圓心1為半徑的圓上，此時可得點B形成的圖形．（1）當(dāng)線段A1B1向右平移2個單位長度時，線段A1B1上的點除A1點位于⊙O上外，其余點全部位于⊙O內(nèi)部，則線段A1B1到⊙O的“平移距離”為點A1平移的距離2；如圖，當(dāng)線段A2B2向下平移到時，線段上的點除、兩點位于⊙O上外，其余點全部位于⊙O內(nèi)部，設(shè)與y軸交于點C，∵，，∴由勾股定理得：，∵點，的坐標(biāo)分別為（－，），（，），∴A2B2向下平移的距離為：，則線段A2B2到⊙O的“平移距離”為；故答案為：2，（2）如圖1，直線l的表達(dá)式為，點的坐標(biāo)為（－1，0）．在中，令y=0，得x=2；令x=0，得，則直線l與x軸和y軸的交點坐標(biāo)分別為（－2，0），（0，2）．∴直線l與x軸所夾銳角為．將直線l向右平移得到直線，當(dāng)直線經(jīng)過點時，與圓的另一個交點為．∵，，∴△是等邊三角形，∴．∴當(dāng)點A，B在直線l上運(yùn)動時，線段AB到⊙O的“平移距離”d總是的長度．作⊥直線l于點A，此時的長度即為d的最小值（3）如圖2，連接OA交⊙O于點B，設(shè)⊙O交x軸正半軸于點E，連接BE，作B關(guān)于y軸的對稱點D，連接BD、OD，由點A坐標(biāo)知：，∴∠AOE=60°，∵OB=OE=1，∴△OBE是等邊三角形，∴BE=1．由∠AOE=60°，則射線OA與y軸正半軸的夾角為30°，∴由對稱性知，∠BOD=60°，∴△OBD是等邊三角形，∴BD=1，且BD⊥y軸．由題意知：點A平移后的對應(yīng)點為B，點D、E分別是線段AB的端點B平移后的對應(yīng)點，且是兩個邊界點，

∵點B是OA的中點，∴，∴，由于B點向右平移半個單位長度再向上平移單位長度后得到點A，則點D、E按此平移分別得到點M（0，），N（，），∴以點A為圓心，1為半徑畫圓，可知點M，N在⊙A上．所有滿足條件的點B形成的圖形為．【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了平移變換，一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識，學(xué)會尋找特殊位置解決數(shù)學(xué)問題．3．在平面直角坐標(biāo)系中，對于圖形及過定點的直線，有如下定義：過圖形上任意一點作于點，若有最大值，那么稱這個最大值為圖形關(guān)于直線的最佳射影距離，記作，此時點稱為圖形關(guān)于直線的最佳射影點．(1)如圖1，已知，，寫出線段關(guān)于軸的最佳射影距離____________；(2)已知點，⊙C的半徑為，求⊙C關(guān)于軸的最佳射影距離d（⊙C，x軸），并寫出此時⊙C關(guān)于軸的最佳射影點的坐標(biāo)；(3)直接寫出點關(guān)于直線的最佳射影距離的最大值．【答案】(1)3(2)，(3)【分析】（1）求得直線的解析式，發(fā)現(xiàn)線段上任意一點都是線段關(guān)于軸的最佳射影點，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，設(shè)直線與相切，切點即為⊙C關(guān)于軸的最佳射影點；（3）根據(jù)題意過點作，則點在為以為直徑，的中點為圓心的圓上，根據(jù)勾股定理求得的長，進(jìn)而根據(jù)定義結(jié)合（1）的結(jié)論可得當(dāng)為等腰直角三角形時，關(guān)于直線的最佳射影距離取得最大值．（1）解：∵，，則直線的解析式為，設(shè)線段上任一點的坐標(biāo)為則線段關(guān)于軸的最佳射影距離故答案為：3（2）由（1）可知，當(dāng)直線與軸夾角為45度時，即時，直線上的點到軸的最佳射影距離相等，設(shè)直線與相切于點，，，設(shè)過的直線且與平行的直線為，則，即，，根據(jù)題意求最大值，則的切線在上方，過點作軸于點，過點作，如圖，則，為向左平移1個單位，再向上平移一個單位，即的切線為，由向左平移1個單位，再向上平移一個單位，得到，⊙C關(guān)于軸的最佳射影距離d（⊙C，x軸），（3）根據(jù)題意過點作，則點在為以為直徑，的中點為圓心的圓上，根據(jù)勾股定理求得，由（2）可知當(dāng)過點的切線與的夾角為45度時，滿足定義，即當(dāng)為等腰直角三角形時，關(guān)于直線的最佳射影距離取得最大值【點睛】本題考查了新定義，坐標(biāo)與圖形，切線的性質(zhì)，90度角所對的弦是直徑，勾股定理求兩點坐標(biāo)距離，理解新定義并從（1）得到結(jié)論是解題的關(guān)鍵．4．對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形P，Q，給出如下定義：M為圖形P上任意一點，N為圖形Q上任意一點，如果M，N兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形P，Q間的“非常距離”，記作．已知點，，連接AB．(1)d（點O，AB）＝；(2)⊙O半徑為r，若，直接寫出r的取值范圍；(3)⊙O半徑為r，若將點A繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點．①當(dāng)時，求出此時r的值；②對于取定的r值，若存在兩個α使，直接寫出r的范圍．【答案】(1)2(2)(3)①②【分析】(1)理解題意后直接利用垂線段最短即可求解．(2)先理解當(dāng)⊙O與線段有交點時，，利用⊙O與線段相切和⊙O經(jīng)過A點即可求解．(3)①先確定位于x軸上，再求出的長即可求解；②先確定的軌跡，再利用存在兩個α使d(⊙O,A')=0，確定并求出兩個界點值，即可求解．(1)解：∵O點到AB的距離為2，∴d（點O，AB）＝2，故答案為2．(2)當(dāng)⊙O與線段有交點時，，∵，∴．(3)①如圖，作于點N，作∴，由旋轉(zhuǎn)知，∵，∴,∴位于x軸上，，∴，∴，∵，∴⊙O經(jīng)過點，∴.②如圖所示，連接OB，∵對于取定的r值，若存在兩個α使d(⊙O,A')=0，∴⊙O與以AH為直徑的半圓有兩個交點（A點和H點除外），此時有兩個界點值，分別是⊙O與該半圓內(nèi)切時和⊙O經(jīng)過A點時，由，得,當(dāng)⊙O與該半圓內(nèi)切時，，當(dāng)⊙O經(jīng)過A點時，，∴．．【點睛】本題為新定義題型，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，涉及到了用勾股定理求線段長、圓的內(nèi)切等問題，解題關(guān)鍵是能理解題意，正確確定界點值．5．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1．對于線段給出如下定義：若線段與有兩個交點M，N，且，則稱線段是的“倍弦線”．(1)如圖，點A，B，C，D的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段，，，中，的“倍弦線”是_____________；(2)的“倍弦線”與直線交于點E，求點E縱坐標(biāo)的取值范圍；(3)若的“倍弦線”過點，直線與線段有公共點，直接寫出b的取值范圍．【答案】(1)，；(2)；(3)【分析】（1）依次連接線段，，，，通過“倍弦線”的定義判斷即可；（2）通過M、N均在圓上，可以求得MN的取值范圍，進(jìn)而可以求出PQ的取值范圍，結(jié)合圖形，就可以求出點E縱坐標(biāo)的取值范圍；（3）先畫出P、Q兩點的運(yùn)動軌跡，分別求出直線與兩個圓相切時對應(yīng)的P、S坐標(biāo)，進(jìn)而就可以去就出b的取值范圍．（1）解：如圖，連接AB分別交于點E、F，連接AD分別交于點G、H，連接CD分別交于點K、F，連接CB，∵CB與沒有交點，故CB不符合題意；觀察圖像，，故AD不符合題意；，∴線段AB是的“倍弦線”；，∴線段CD是的“倍弦線”，故的“倍弦線”是，；（2）由題意，可得，∵M(jìn)、N在圓上，∴，∴，如圖，當(dāng)且點P在直線上時，∵，，∴，結(jié)合圖形，點E的縱坐標(biāo)取值范圍為；（3）由題意可得，P、Q的運(yùn)動軌跡分別是以M為圓心，1為半徑的圓和以N為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，當(dāng)直線與圓N相切時，如圖中的直線RP，切點為Q，連接NQ，∵直線RP與相切，，因為R、P在直線上，∴，∴△QRN是等腰直角三角形，過點Q作軸垂足為E，則，設(shè)，則，即，解得（負(fù)值舍去），，則，將其代入中，解得，∴直線RP的解析式為，當(dāng)時，解得，故，當(dāng)直線與圓M相切時，如圖中的直線SW，切點為T，連接MT，∵直線SW與相切，，因為S、W在直線上，∴，∴△TWM是等腰直角三角形，過點T作軸垂足為F，則，設(shè)，則，即，解得（負(fù)值舍去），，則，將其代入中，解得，∴直線SW的解析式為，當(dāng)時，解得，故，綜上，b的取值范圍為．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的新定義問題，涉及到的知識點較多，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，圓的切線性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵在于正確作出輔助線，理解“倍弦線”的定義是解題的關(guān)鍵．6．在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：若點在圖形上，點在圖形上，如果兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形的“近距離”，記為．特別地，當(dāng)圖形與圖形有公共點時，．已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），（1）d（點A，點C）＝________，d（點A，線段BD）＝________；（2）⊙O半徑為r，①當(dāng)r＝1時，求⊙O與正方形ABCD的“近距離”d（⊙O，正方形ABCD）；②若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，則r＝___________．（3）M為x軸上一點，⊙M的半徑為1，⊙M與正方形ABCD的“近距離”d（⊙M，正方形ABCD）＜1，請直接寫出圓心M的橫坐標(biāo)m的取值范圍．【答案】（1）8；4；（2）①21；②21或5；（3）或．【分析】（1）圖形M，N的“近距離”的定義可求解；（2）①根據(jù)題意作圖，根據(jù)“近距離”的定義即可求解；②根據(jù)題意分圓在正方形ABCD內(nèi)部和外部分別作圖求解；（3）由題意可求∠OCB＝45°，分點M在x軸正半軸且⊙M在正方形ABCD的外面與內(nèi)部，及點M在x軸負(fù)半軸且⊙M在正方形ABCD的外面與內(nèi)部，由題意列出不等式，即可求解．【詳解】（1）∵A（－4，0），C（4，0），d（點A，點C）＝8；∵B（0，4），D（0，－4），∴線段BD在y軸上∴d（點A，線段BD）為A點到y(tǒng)軸的距離，即4故答案為：8；4；（2）①如圖，當(dāng)r＝1時，過點O作OE⊥AB于E點，OE與⊙O交于H點，則OE=AB=×∴⊙O與正方形ABCD的“近距離”d（⊙O，正方形ABCD）=EH=OEOH=21；②如圖，當(dāng)⊙O在正方形ABCD內(nèi)部時，d（⊙O，正方形ABCD）＝1即EH=OEOH=1則OH=OEEH=21當(dāng)⊙O在正方形ABCD外部時，d（⊙O，正方形ABCD）＝1即BG=1則OG=OB+BG=5故答案為：21或5；（3）如圖，∵OB=OC，∴∠OCB＝45°，當(dāng)點M在x軸正半軸且⊙M在正方形ABCD的外面時，⊙M的半徑為1∵d（⊙M，正方形ABCD）＜1由圖可得OM2OC1＜1即OM241＜1∴OM2＜6即m＜6；當(dāng)點M在x軸正半軸且⊙M在正方形ABCD的內(nèi)部時，⊙M的半徑為1，過點M1作M1G⊥BC，∵d（⊙M，正方形ABCD）＜1∴M1Gr＜1∵M(jìn)1G=CM1·sin45°=∴1＜1解得m＞∴當(dāng)點M在x軸負(fù)半軸且⊙M在正方形ABCD的外面與內(nèi)部時，同理可得綜上，m的取值范圍為或．【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，三角函數(shù)的運(yùn)用等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點，B為⊙O上任意一點，給出如下定義：記A，B兩點間的距離的最小值為p（規(guī)定：點A在⊙O上時，），最大值為q，那么把的值稱為點A與⊙O的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（A，⊙O）(1)如圖，點D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)①d（D，⊙O）＝__________；②若點M在線段EF上，求d（M，⊙O）的取值范圍；(2)若點N在直線上，直接寫出d（N，⊙O）的取值范圍；(3)正方形的邊長為m，若點P在該正方形的邊上運(yùn)動時，滿足d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，直接寫出m的最小值和最大值．【答案】(1)①2，②2≤d（M，⊙O）≤3(2)d（N，⊙O）≥(3)m的最小值為1，最大值為【分析】（1）①因為D到⊙O的最小值p=1，最大值q=3，根據(jù)關(guān)聯(lián)距離的定義可求；②先求d（E，⊙O）和d（F，⊙O），則d（M，⊙O）在其之間即可；（2）當(dāng)過O的直線ON⊥AB時，d（N，⊙O）最小，根據(jù)三角形的面積公式可求ON的值，而ON無最大值，即可求出d（N，⊙O）的取值范圍；（3）當(dāng)正方形是⊙O的外切正方形時，m的最小值是1，當(dāng)如圖3時，m取最大值，即，可求m的值，從而求得m的最小值和最大值．（1）解：①∵D到⊙O的最小值p=1，最大值q=3，∴d（D，⊙O）=，故答案為2；②當(dāng)M在點E處，d（E，⊙O）=2，當(dāng)M在點F處，d（F，⊙O）=，∴2≤d（M，⊙O）≤3．（2）解：設(shè)ON=d，∴p=dr=d1，q=d+r=d+1，∴d（N，⊙O）=，∵N在直線上，設(shè)直線交x軸于B，交y軸于A，如圖，則x=0時，y=，y=0時，x=2，∴A，B，∴OA=，OB=2，∴AB=，當(dāng)ON⊥AB時，d（N，⊙O）最小，∵，∴ON=，∵ON無最大值，∴d（N，⊙O）≥．（3）解：如圖2，當(dāng)正方形是⊙O的外切正方形時，m的最小值是1，如圖3，d（P，⊙O）有最大值，則，∴∴m的最小值為1，最大值為．【點睛】本題是新定義題，考查了對新定義的理解，點到直線的距離，勾股定理，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解關(guān)聯(lián)距離這個新定義．8．對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點與圖形T，給出如下定義：在點P與圖形T上各點連接的所有線段中，線段長度的最大值與最小值的差，稱為圖形T關(guān)于點P的“寬距”．(1)如圖，⊙O的半徑為2，且與x軸分別交于A，B兩點．①線段AB關(guān)于點P的“寬距”為______；⊙O關(guān)于點P的“寬距”為______．②點為x軸正半軸上的一點，當(dāng)線段AM關(guān)于點P的“寬距”為2時，求m的取值范圍．(2)已知一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于D、E兩點，⊙C的圓心在x軸上，且⊙C的半徑為1．若線段DE上的任意一點K都能使得⊙C關(guān)于點K的“寬距”為2，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)①2；4②2≤m≤6(2)xC≤2或xC≥1【分析】（1）①連接PA，PB，求出PA=5，PB=4，證PB⊥x軸，則PA是最大值，PB是最小值，即可由“寬距”定義求解第一空；作直線OP交⊙O于G、H，線段PH長度最大，PG長度最小，即可由“寬距”定義求解第二空；②當(dāng)0<m<2時，PA長度是最大值，PM長度是最小值，“寬距”=PAPM<2，不符合題意，當(dāng)m≥2時，則點P到x軸的最短距離為3,即點P到AM的最短距離為3，所當(dāng)PM長度是最大時，最大值為2+3=5，則求得m=6，即可得出答案；（2）分兩種情況：當(dāng)點C(xC，0）在點D的左側(cè)，且⊙C經(jīng)過點D時，當(dāng)點C(xC，0）在點D的右側(cè)，且⊙C與直線y=x+1相切于點N時，分別求解即可．（1）解：①如圖1，連接PA，PB，由圖可知：A（2，0），B（2，0），∴AB=4，∵P（2，3），∴PB⊥x軸，∴PB=3，PA==5，∴線段AB關(guān)于點P的“寬距”為53=2；作直線OP交⊙O于G、H，則點這與⊙O上各點連接的所有線段中，線段PH長度最大，PG長度最小，∴⊙O關(guān)于點P的“寬距”為PHPG=GH=4；故答案為：2，4；②∵點為x軸正半軸上的一點，∴m>0，當(dāng)0<m<2時，PA長度是最大值，PM長度是最小值，“寬距”=PAPM<2，不符合題意，當(dāng)m≥2時，∵P（2，3），∴點P到x軸的最短距離為3,即點P到AM的最短距離為3，又∵線段AM關(guān)于點P的“寬距”為2，∴當(dāng)PM長度是最大時，最大值為2+3=5，∴PM最大==5，解得m=6或m=2，∴2≤m≤6．（2）解：如圖2，在直線y=x+1中，令x=0，則y=1，令y=0，則x=1，∴D（1，0），E（0，1），∴OD=OE=1，∴∠ODE=45°，當(dāng)點C(xC，0）在點D的左側(cè)，且⊙C經(jīng)過點D時，∵⊙C半徑為1，∴xC=2，由（1）①第二空可知，當(dāng)xC≤2時，線段DE上任意一點K都能使得⊙C關(guān)于K的“寬距”為2；當(dāng)點C(xC，0）在點D的右側(cè)，且⊙C與直線y=x+1相切于點N時，則CN⊥DE，∴CN=1，∵∠ODE=45°，∴∠DCN=90°∠ODE=45°，∴DN=CN=1，∴CD==，∴OC=CDOD=1，由（1）①第二空可知，當(dāng)xC≥1時，線段DE上任意一點K都能使得⊙C關(guān)于K的“寬距”為2；綜上，圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為xC≤2或xC≥1．【點睛】本題考查新定義，點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，屬圓的綜合題目，新定義的理解和正確運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P和直線，給出如下定義：若點P在直線上，且以點P為頂點的角是45°，則稱點P為直線的“關(guān)聯(lián)點”．(1)若在直線上存在直線的“關(guān)聯(lián)點”P．則點P的坐標(biāo)為_____；(2)過點作兩條射線，一條射線垂直于x軸，垂足為A；另一條射線、交x軸于點B，若點P為直線的“關(guān)聯(lián)點”．求點B的坐標(biāo)；(3)以點O為圓心，1為半徑作圓，若在上存在點N，使得的頂點P為直線的“關(guān)聯(lián)點”．則點P的橫坐標(biāo)a的取值范圍是________．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）在直線上存在直線的“關(guān)聯(lián)點”P，可得點P為兩直線的交點，從而可得答案；（2）根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得答案；（3）如圖，過作圓的兩條切線，當(dāng)時，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得：再根據(jù)對稱性，可得答案．（1）解：在直線上存在直線的“關(guān)聯(lián)點”P．則點P為兩直線的交點，（2）如圖，點P為直線的“關(guān)聯(lián)點”．軸，或（3）如圖，過作圓的兩條切線，當(dāng)時，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得：所以此時點P的橫坐標(biāo)a的范圍：同理：當(dāng)P在第一象限時，滿足綜上：點P的橫坐標(biāo)a的范圍：【點睛】本題考查的是新定義情境下的坐標(biāo)與圖形，三角形的外角的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，切線的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．10．在平面直角坐標(biāo)系中，對于線段AB與直線，給出如下定義：若線段AB關(guān)于直線l的對稱線段為（，分別為點A，B的對應(yīng)點），則稱線段為線段AB的“關(guān)聯(lián)線段”．已知點，．(1)線段為線段AB的“關(guān)聯(lián)線段”，點的坐標(biāo)為，則的長為______，b的值為______；(2)線段為線段AB的“關(guān)聯(lián)線段”，直線經(jīng)過點，若點，都在直線上，連接，求的度數(shù)；(3)點，，線段為線段AB的“關(guān)聯(lián)線段”，且當(dāng)b取某個值時，一定存在k使得線段與線段PQ有公共點，直接寫出b的取值范圍．【答案】(1)2；1(2)15°(3)【分析】（1）由對稱性質(zhì)AB、A′B′關(guān)于直線l對稱，所以A′B′=AB=2，由題意，得y=x+b，把AA′的中點(，)代入y=x+b，求出b即可；（2）作C關(guān)于l的對稱點C′，連接OC′，OA，OC′，因為AB的對稱點在l1上，所以點C的對稱點C′在直線AB上，則可求出點C′的坐標(biāo)為（1，），繼而可求得∠C′OK=60°，再求出∠AOK=45°，所以∠C′OA=∠C′OK∠AOK=60°45°=15°，然后利用對稱的性質(zhì)得出∠COA′=∠C′OA，即可求解；（3）當(dāng)B′與點Q重合時，求出b=2，再當(dāng)A′與點P重合時，求出b=，再由線段與線段PQ有公共點，即可得出b的取值范圍．（1）解：∵A（1，1），B（1，1），∴AB=2，∵AB、A′B′關(guān)于直線l對稱，∴A′B′=AB=2,由題意，得k=1，∴y=x+b，∵A、A′關(guān)于直線l對稱，∴直線l經(jīng)過AA′的中點，∵A（1，1），A′（2，0），∴AA′的中點為(,)，即(，)，把(，)代入y=x+b，得=+b，解得：b=1，故答案為：2,1；（2）解：如圖，作C關(guān)于l的對稱點C′，連接OC′，OA，OC′，由題意，得直線l解析式為：y=kx，設(shè)C關(guān)于l的對稱點為C′，∴OC′=OC=2，∵AB關(guān)于l對稱點A′B′在l1上，又l1經(jīng)過點C，∴點C′在直線AB上，∵A（1，1），B（1，1），∴直線AB即是直線x=1，∴C′橫坐標(biāo)為1，∴C′縱坐標(biāo)為,∴C′（1，），∴tan∠C′OK==，∴∠C′OK=60°，∵A（1，1），∴OA=AK，∴△AOK是等腰直角三角形，∴∠AOK=45°，∴∠C′OA=∠C′OK∠AOK=60°45°=15°，∵A、B、C′關(guān)于直線l的對稱點是A′、B′、C，∴∠COA′=∠C′OA=15°；（3）解：當(dāng)B′與點Q重合時，如圖，則B′（3，3），設(shè)BB′中點為K，則直線l經(jīng)過點K，∵B（1，1），B′（3，3），∴K（1，1），直線BB′解析式為：y=x，∵BB′⊥l，∴直線l解析式為y=x+b，把K（1，1）代入，得b=2，當(dāng)A′與點P重合時，如圖，則A′（3，0），設(shè)AA′中點為K，則直線l經(jīng)過點K，∵A（1，1），A′（3，0），∴K（1，），直線AA′解析式為：y=x+，∵AA′⊥l，∴直線l解析式為y=4x+b，把K（1，）代入，得b=，∵線段與線段PQ有公共點，∴，【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，本題屬一次函數(shù)綜合題目，熟練掌握一次函數(shù)的圖象性質(zhì)、軸對稱性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．我們規(guī)定：如圖，點在直線上，點和點均在直線的上方，如果，，點就是點關(guān)于直線的“反射點”，其中點為“點”，射線與射線組成的圖形為“形”．在平面直角坐標(biāo)系中，(1)如果點，，那么點關(guān)于軸的反射點的坐標(biāo)為；(2)已知點，過點作平行于軸的直線．①如果點關(guān)于直線的反射點和“點”都在直線上，求點的坐標(biāo)和的值；②是以為圓心，為半徑的圓，如果某點關(guān)于直線的反射點和“點”都在直線上，且形成的“形”恰好與有且只有兩個交點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①，；②或．【分析】（1）由題知，與關(guān)于直線對稱，由此求出的坐標(biāo)；（2）①由題可知，點與點的縱坐標(biāo)相同，又點在直線上，由此可求出的坐標(biāo)，從而確定直線的位置，計算的值；②分析題意，可知“點”是直線與直線的交點，分析在什么位置時，“形”與恰有個交點，求出此時的取值范圍即可．(1)解：由題可知，點與點關(guān)于直線對稱，且，．故答案是：（3，3）；(2)解：①由軸可知，點與點的縱坐標(biāo)相同，又，將代入，得，解得，．設(shè)點關(guān)于直線的“點”為，則點與點關(guān)于直線對稱，，點在直線上，．②由題可知，“點”是直線與直線的交點，點在直線上，設(shè)，則直線與直線關(guān)于直線對稱，如圖．與關(guān)于直線對稱，設(shè)的表達(dá)式為，當(dāng)直線與相切時，設(shè)切點為，則圓心的切點的距離為，整理得，此時直線與相切，關(guān)于的方程有唯一解，令，解得，當(dāng)直線與相切時，直線的表達(dá)式為或．聯(lián)立，解得，；聯(lián)立，解得，．點到圓心的距離等于半徑，且點在直線上，點是與直線的一個交點，且為兩個交點中靠下方的交點，即．“形”與有且僅有兩個交點，

分析圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)或時符合題意．或．【點睛】本題考查了對稱的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，兩點之間距離公式，一元二次方程的判別式，二元一次方程組與一次函數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點R和線段PQ，給出如下定義：M為線段PQ上任意一點，如果R，M兩點間的距離的最小值恰好等于線段PQ的長，則稱點R為線段PQ的“等距點”．(1)已知點．①在點，，，中，線段OA的“等距點”是______；②若點C在直線上，并且點C是線段OA的“等距點”，求點C的坐標(biāo)；(2)已知點，點，圖形W是以點為圓心，1為半徑的位于x軸及x軸上方的部分．若圖形W上存在線段DE的“等距點”，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)①；②或；(2)【分析】（1）根據(jù)定義求解即可求解；（2）求得，根據(jù)定義作出圖形，圖形W上存在線段DE的“等距點”，則與線段，有交點，進(jìn)而即可求解．(1)①如圖，，，點，，，，，是線段OA的“等距點”；②如圖，根據(jù)定義可知，點C在直線上，并且點C是線段OA的“等距點”，，且在上，，，解得，或；(2)點，點如圖，根據(jù)定義，以為半徑，D,E為圓心，作，分別交軸負(fù)半軸，軸正半軸于點，則，設(shè)與正半軸交于點，，上的點到的距離為圖形W上存在線段DE的“等距點”，則與線段，有交點根據(jù)題意可知，當(dāng)半與只有一個交點時，在負(fù)半軸時，，當(dāng)在正半軸時，，當(dāng)與內(nèi)切時，當(dāng)與外切時，，綜上所述，．【點睛】本題考查了新定義，勾股定理求兩點距離，圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，理解新定義是解題的關(guān)鍵．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于線段MN，直線l和圖形W給出如下定義：線段MN關(guān)于直線l的對稱線段為M'N'（M'，N'分別是M，N的對應(yīng)點）．若MN與M'N'均在圖形W內(nèi)部（包括邊界），則稱圖形W為線段MN關(guān)于直線l的“對稱封閉圖形”．(1)如圖，點P（1，0）．①已知圖形W1：半徑為1的⊙O，W2：以線段PO為邊的等邊三角形，W3：以O(shè)為中心且邊長為2的正方形，在W1，W2，W3中，線段PO關(guān)于y軸的“對稱封閉圖形”是；②以O(shè)為中心的正方形ABCD的邊長為4，各邊與坐標(biāo)軸平行．若正方形ABCD是線段PO關(guān)于直線y=x+b的“對稱封閉圖形”，求b的取值范圍；(2)線段MN在由第四象限、原點、x軸正半軸以及y軸負(fù)半軸組成的區(qū)域內(nèi)，且MN的長度為2．若存在點Q（），使得對于任意過點Q的直線l，有線段MN，滿足半徑為r的⊙O是該線段關(guān)于l的“對稱封閉圖形”，直接寫出r的取值范圍．【答案】(1)①，；②b的取值范圍是(2)【分析】（1）①根據(jù)“對稱封閉圖形”的定義判斷即可；②記點P，O關(guān)于直線的對稱點分別為，，先求出直線、直線的的解析式，再根據(jù)圖象找到當(dāng)直線隨著b的變化上下平移時的臨界情況，解答即可；（2）根據(jù)題意，確定出當(dāng)三角形MON為等腰直角三角形且∠MON=90°時r最小，作MN關(guān)于直線的對稱圖形，用勾股定理求出的長度即可．（1）解：①線段PO關(guān)于y軸對稱圖形為線段，即線段在圖形W內(nèi)（包括邊界），其中，P（1，0），（0，1），故圖形W1及W3，符合題意，故答案為：，．②記點P，O關(guān)于直線的對稱點分別為，，則直線垂直平分線段和，因此直線的解析式為，直線的解析式為，由于線段PO在x軸上，故關(guān)于直線的對稱后，⊥x軸．如圖，當(dāng)直線隨著b的變化上下平移時，臨界