2025屆湖南省株洲市茶陵縣茶陵三中高二數學第一學期期末質量跟蹤監視試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數，（其中，）的最小正周期是，且，則（）A. B.C. D.2．已知是橢圓上的一點，則點到兩焦點的距離之和是（）A.6 B.9C.14 D.103．設函數在定義域內可導，的圖象如圖所示，則導函數的圖象可能為（）A. B.C. D.4．設，“命題”是“命題”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知圓：的面積被直線平分，圓：，則圓與圓的位置關系是（）A.相離 B.相交C.內切 D.外切6．命題的否定是（）A. B.C. D.7．若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長等于（）A. B.C. D.8．已知點到直線：的距離為1，則等于（）A. B.C. D.9．設雙曲線的實軸長與焦距分別為2,4，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.10．將一枚骰子連續拋兩次，得到正面朝上的點數分別為、，記事件A為“為偶數”，事件B為“”，則的值為（）A. B.C. D.11．已知函數只有一個零點，則實數的取值范圍是（）A B.C. D.12．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知A(1,3)，B(5，－2)，點P在x軸上，則使|AP|－|BP|取最大值的點P的坐標是________14．某地區有3個疫苗接種定點醫院，現有10名志愿者將被派往這3個醫院協助新冠疫苗接種工作，每個醫院至少需要2名至多需要4名志愿者，則不同的安排方法共有___________種.15．已知等差數列的公差不為零，若，，成等比數列，則______.16．已知函數，則函數在上的最大值為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2017年廈門金磚會晤期間產生碳排放3095噸．2018年起廈門市政府在下潭尾濕地生態公園通過種植紅樹林的方式中和會晤期間產生的碳排放，擬用20年時間將碳排放全部吸收，實現“零碳排放”目標，向世界傳遞低碳，環保辦會的積極信號，踐行金磚國家倡導的可持續發展精神據研究估算，紅樹林的年碳吸收量隨著林齡每年遞增2%，2018年公園已有的紅樹林年碳吸收量為130噸，如果從2019年起每年新種植紅樹林若干畝，新種植的紅樹林當年的年碳吸收量為m（）噸．2018年起，紅樹林的年碳吸收量依次記，，，…（1）①寫出一個遞推公式，表示與之間的關系；②證明：是等比數列，并求的通項公式；（2）為了提前5年實現廈門會晤“零碳排放”的目標，m的最小值為多少？參考數據：，，18．（12分）直線經過點，且與圓相交與兩點，截得的弦長為，求的方程.19．（12分）已知橢圓：的一個焦點與曲線的焦點重合，且離心率為.（1）求橢圓的方程（2）設直線：交橢圓于M，N兩點.①若且的面積為，求的值.②若軸上的任意一點到直線與直線（為橢圓的右焦點）的距離相等，求證：直線恒過定點，并求出該定點坐標20．（12分）共享電動車（sharedev）是一種新的交通工具，通過掃碼開鎖，實現循環共享.某記者來到中國傳媒大學探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動車，這些電動車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動車中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動車中任意抽取3輛.（1）求取出的3輛共享電動車中恰好有一輛是橙色的概率；（2）求取出的3輛共享電動車中橙色的電動車的輛數X的分布列與數學期望.21．（12分）某餐館將推出一種新品特色菜，為更精準確定最終售價，這種菜按以下單價各試吃1天，得到如下數據：（1）求銷量關于的線性回歸方程；（2）預計今后的銷售中，銷量與單價服從（1）中的線性回歸方程，已知每份特色菜的成本是15元，為了獲得最大利潤，該特色菜的單價應定為多少元？（附：，）22．（10分）已知拋物線的焦點為F，點是拋物線上的點，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線交于、兩點，且.求△OPQ面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用余弦型函數的周期公式可求得的值，由結合的取值范圍可求得的值.【詳解】由已知可得，且，因此，.故選：B.2、A【解析】根據橢圓的定義，可求得答案.【詳解】由可知：，由是橢圓上的一點，則點到兩焦點的距離之和為，故選：A3、D【解析】根據的圖象可得的單調性，從而得到在相應范圍上的符號和極值點，據此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數，且在上存在正數，使得在上為增函數，在為減函數，故在有兩個不同的零點，且在這兩個零點的附近，有變化，故排除A，B.由在上為增函數可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點睛】本題考查導函數圖象的識別，此類問題應根據原函數的單調性來考慮導函數的符號與零點情況，本題屬于基礎題.4、A【解析】根據充分、必要條件的概念理解，可得結果.【詳解】由，則或所以“”可推出“或”但“或”不能推出“”故命題是命題充分且不必要條件故選：A【點睛】本題主要考查充分、必要條件的概念理解，屬基礎題.5、D【解析】根據題意，圓：的面積被直線平分，即直線經過圓的圓心，由此求出兩圓的圓心和半徑，然后判斷兩個圓的位置關系即可【詳解】根據題意，圓：，即，其圓心為，半徑，圓：的面積被直線平分，即直線經過圓的圓心，則有1?m＋1＝0，解可得m＝2，即所以圓的圓心（1，?1），半徑為1，圓的標準方程是，圓心（?2，3），半徑為4，其圓心距，所以兩個圓外切，故選：D.6、C【解析】根據含全稱量詞命題的否定可寫出結果.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題的否定是.故選：C7、B【解析】根據雙曲線標準方程直接判斷.【詳解】方程即為，由方程表示雙曲線，可得，所以，，所以虛軸長為，故選：B.8、D【解析】利用點到直線的距離公式，即可求得參數的值.【詳解】因為點到直線：的距離為1，故可得，整理得，解得.故選：.9、C【解析】由已知可求出，即可得出漸近線方程.【詳解】因為，所以，所以的漸近線方程為.故選：C.10、B【解析】利用條件概率的公式求解即可.【詳解】根據題意可知，若事件為“為偶數”發生，則、兩個數均為奇數或均為偶數，其中基本事件數為，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共個基本事件，∴,而A、同時發生，基本事件有當一共有9個基本事件，∴，則在事件A發生的情況下，發生的概率為,故選:11、B【解析】將題目轉化為函數的圖像與的圖像只有一個交點，利用導數研究函數的單調性與極值，作出圖像，利用數形結合求出的取值范圍.【詳解】由函數只有一個零點，等價于函數的圖像與的圖像只有一個交點，，求導，令，得當時，，函數在上單調遞減；當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減；故當時，函數取得極小值；當時，函數取得極大值；作出函數圖像，如圖所示，由圖可知，實數的取值范圍是故選：B【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.12、C【解析】由為的中點，根據向量的運算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點，且，根據向量的運算法則，可得.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先求得點A關于x軸的對稱點，然后數形結合結合直線方程求解點P的坐標即可.【詳解】點A(1,3)關于x軸的對稱點為A′(1，－3)，如圖所示，連接A′B并延長交x軸于點P，即為所求直線A′B的方程是y＋3＝(x－1)，即.令y＝0，得x＝13則點P的坐標是.【點睛】本題主要考查直線方程的應用，最值問題的求解，等價轉化的數學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.14、22050【解析】先分組，再排列，注意部分平均分組問題，需要除以平均組數的全排列.【詳解】根據題意，這10名志愿者的安排方法共有兩類：第一類是2，4，4，第二類是3，3，4.故不同的安排方法共有種.故答案為：2205015、0【解析】設等差數列的公差為，，根據，，成等比數列，得到，再根據等差數列的通項公式可得結果.【詳解】設等差數列的公差為，，因為，，成等比數列，所以，所以，整理得，因為，所以，所以.故答案為：0.【點睛】本題考查了等比中項，考查了等差數列通項公式基本量運算，屬于基礎題.16、【解析】利用導數單調性求出的單調性，比較極小值與兩端點，的大小求出在上的最大值.【詳解】因為，則，令，即時，函數單調遞增.令，即時，函數單調遞減.所以的單調遞減區間為，的單調遞增區間為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數的極小值也是函數的最小值.，兩端點為，，即最大值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①；②證明見解析，（2）最少為6.56噸【解析】（1）①根據題意直接寫出一個遞推公式即可；②要證明是等比數列，只要證明為一個常數即可，求出等比數列的通項公式，即可求出的通項公式；（2）記為數列的前n項和，根據題意求出，利用分組求和法求出數列的前n項和，再令，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：①依題意得,則，②因為，所以，所以，因為所以數列是等比數列，首項是，公比是1.02，所以，所以；【小問2詳解】解：記為數列的前n項和，，依題，所以，所以m最少為6.56噸18、或【解析】直線截圓得的弦長為，結合圓的半徑為5，利用勾股定理可得圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式列方程求出直線斜率，由點斜式可得結果.【詳解】設直線的方程為，即，因為圓的半徑為5，截得的弦長為所以圓心到直線的距離，即或，∴所求直線的方程為或.【點睛】本題主要考查點到直線距離公式以及圓的弦長的求法，求圓的弦長有兩種方法：一是利用弦長公式，結合韋達定理求解；二是利用半弦長，弦心距，圓半徑構成直角三角形，利用勾股定理求解.19、（1）（2）①；②證明見解析，定點的坐標為【解析】（1）由所給條件確定基本量即可.（2）①代入消元，韋達定理整體思想，列出關于的方程從而得解；②由已知可知，得到關于、的一次關系式可得證.【小問1詳解】由已知橢圓的右焦點坐標為，，所以，橢圓的方程：【小問2詳解】①將與橢圓方程聯立得.設，，則，解得，∴，，點到直線的距離為，∴，解得（舍去負值），∴.②設，，將與橢圓方程聯立，得，當時，∴，，，若軸上任意一點到直線與的距離均相等，則軸為直線與的夾角的平分線，∴，即，∴.∴，解得.∴.∴直線恒過一定點，該定點的坐標為.20、（1）；（2）分布列見解析，數學期望為.【解析】（1）先求出兩種顏色的電動車各有多少輛，然后根據超幾何分布求概率的方法即可求得答案；（2）先確定X的所有可能取值，進而求出概率并列出分布列，然后根據期望公式求出答案.【小問1詳解】因為從10輛共享電動車中任取一輛，取到橙色的概率為0.4，所以橙色的電動車有4輛，熒光綠的電動車有6輛.記A為“從中任取3輛共享單車中恰好有一輛是橙色”，則.【小問2詳解】隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以，，，.所以分布列為0123數學期望.21、（1）（2）24【解析】（1）求出，的值，根據公式求出的值，代入公式即可求出回歸直線方程（2）根據（1）的結論，求出利潤，根據二次函數的性質，即可求