江蘇省丹陽中學等三校2025屆高二數學第一學期期末達標檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一動圓與圓外切，而與圓內切，那么動圓的圓心的軌跡是（）A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.雙曲線的一支2．已知是橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，點坐標為，則的最大值為（）A. B.13C.3 D.53．如圖是函數的導函數的圖象，下列結論中正確的是（）A.在上是增函數 B.當時，取得最小值C.當時，取得極大值 D.在上是增函數，在上是減函數4．《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至起，接下來依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種共十二個節氣，其日影長依次成等差數列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個節氣的日影長之和為25.5尺，且前九個節氣日影長之和為85.5尺，則立春的日影長為（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺5．已知直線在兩個坐標軸上的截距之和為7，則實數m的值為（）A.2 B.3C.4 D.56．直線的傾斜角是（）A. B.C. D.7．過點作圓的切線，則切線的方程為（）A. B.C.或 D.或8．已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是，則點到另一個焦點的距離為（）A.2 B.3C.4 D.59．過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是（）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=010．已知點在橢圓上，與關于原點對稱，，交軸于點，為坐標原點，，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.11．曲線：在點處的切線方程為A. B.C. D.12．已知動點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則線段的長度的最小值為（）A. B.4C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的聚焦特點：從拋物線的焦點發出的光經過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的對稱軸.另一方面，根據光路的可逆性，平行于拋物線對稱軸的光線射向拋物線后的反射光線都會匯聚到拋物線的焦點處.已知拋物線，一條平行于拋物線對稱軸的光線從點向左發出，先經拋物線反射，再經直線反射后，恰好經過點，則該拋物線的標準方程為___________.14．不大于100的正整數中，被3除余1的所有數的和是___________15．已知函數，設，且函數有3個不同的零點，則實數k的取值范圍為___________.16．設Sn是等差數列{an}的前n項和，若數列{an}滿足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，則＋B－C的最小值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前項的和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.18．（12分）已知，其中.（1）若,求在處的切線方程；（2）若是函數的極小值點，求函數在區間上的最值；（3）討論函數的單調性.19．（12分）一杯100℃的開水放在室溫25℃的房間里，1分鐘后水溫降到85℃，假設每分鐘水溫變化量和水溫與室溫之差成正比（1）分別求2分鐘，3分鐘后的水溫；（2）記n分鐘后的水溫為，證明：是等比數列，并求出的通項公式；（3）當水溫在40℃到55℃之間時（包括40℃和55℃），為最適合飲用的溫度，則在水燒開后哪個時間段飲用最佳．（參考數據：）20．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，，.（1）求證：平面PAD；（2）求直線AB與平面PCE所成角的正弦值；21．（12分）如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設為上一點，滿足，若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.22．（10分）已知橢圓的上下兩個焦點分別為，，過點與y軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點，△的面積為，橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知O為坐標原點，直線與y軸交于點P，與橢圓C交于A，B兩個不同的點，若存在實數，使得，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】依據定義法去求動圓的圓心的軌跡即可解決.【詳解】設動圓的半徑為r,又圓半徑為1，圓半徑為8，則，，可得，又則動圓的圓心的軌跡是以為焦點長軸長為9的橢圓.故選：A2、B【解析】利用橢圓的定義求解.【詳解】如圖所示：，故選：B3、D【解析】根據導函數的圖象判斷出函數的單調區間、極值、最值，由此確定正確選項.【詳解】根據圖象知：當，時，函數單調遞減；當，時，函數單調遞增.所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，故選項A不正確，選項D正確；故當時，取得極小值，選項C不正確；當時，不是取得最小值，選項B不正確；故選：D.4、B【解析】設影長依次成等差數列，公差為，根據題意結合等差數列的通項公式及前項和公式求出首項和公差，即可得出答案.【詳解】解：設影長依次成等差數列，公差為，則，前9項之和，即，解得，所以立春的日影長為.故選：B.5、C【解析】求出直線方程在兩坐標軸上的截距，列出方程，求出實數m的值.【詳解】當時，，故不合題意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故選：C6、A【解析】將直線方程化為斜截式，由此確定斜率；根據斜率和傾斜角關系可得結果.【詳解】設直線的傾斜角為，則，由得：，則斜率，.故選：A.7、C【解析】設切線的方程為，然后利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解即可.【詳解】圓的圓心為原點，半徑為1，當切線的斜率不存在時，即直線的方程為，不與圓相切，當切線的斜率存在時，設切線的方程為，即所以，解得或所以切線的方程為或故選：C8、C【解析】根據橢圓的定義，結合題意，即可求得結果.【詳解】設橢圓的兩個焦點分別為，故可得，又到橢圓一個焦點的距離是，故點到另一個焦點的距離為.故選：.9、A【解析】設出直線方程，利用待定系數法得到結果.【詳解】設與直線平行的直線方程為，將點代入直線方程可得，解得則所求直線方程為．故A正確【點睛】本題主要考查兩直線的平行問題，屬容易題．兩直線平行傾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以與直線平行的直線方程可設為10、B【解析】由，得到，結合，得到，進而求得，得出，結合離心率的定義，即可求解.【詳解】設，則，由，可得，所以，因為，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因為，所以，即又由，所以，解得.故選：B.11、A【解析】因為，所以曲線在點（1,0）處的切線的斜率為，所以切線方程為，即，選A12、A【解析】求出的最小值，由切線長公式可結論【詳解】解：由，得最小時，最小，而，所以故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據拋物線的聚焦特點，經過拋物線后經過拋物線焦點，再經直線反射后經過點，則根據反射特點，列出相關方程，解出方程即可.【詳解】設光線與拋物線的交點為，拋物線的焦點為，則可得：拋物線的焦點為：則直線的方程為：設直線與直線的交點為，則有：解得：則過點且垂直于的直線的方程為：根據題意可知：點關于直線的對稱點在直線上設點，的中點為，則有：直線垂直于，則有：點在直線上，則有：點在直線上，則有：化簡得：又故故答案為：【點睛】直線關于直線對稱對稱，利用中點坐標公式和直線與直線垂直的特點建立方程，根據題意列出隱含的方程是關鍵14、1717【解析】利用等差數列的前項和公式可求所有數的和.【詳解】100以內的正整數中，被3除余1由小到大構成等差數列，其首項為1，公差為3，共有項，它們的和為，故答案為：.15、【解析】由題意畫出函數圖象，把函數有3個不同的零點的問題轉化為函數與函數有3個交點的問題，分為和時分類討論即可.【詳解】作出函數的圖象如下圖所示，要使函數有3個不同的零點，則函數和函數有三個交點，由已知得函數恒過點,當時，過點時，函數和函數有三個交點，將代入得，即，當時，與相切時，此時函數和函數有兩個交點，如圖所示，，設此時的切點為，則直線的斜率為，直線的方程為，將點代入得，解得，此時的斜率為，將逆時針旋轉至和平行時，即為的位置時，函數和函數有三個交點，此時，故的范圍為，綜上所述實數k的取值范圍為.故答案為：.16、2【解析】因為{an}為等差數列，設公差為d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，即(d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0對任意正整數n都成立所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據，并結合等比數列的定義即可求得答案；（2）結合（1），并通過錯位相減法即可求得答案.【小問1詳解】當時，，當時，，是以2為首項，2為公比的等比數列，.【小問2詳解】，…①…②①-②得，.18、（1）；（2）最大值為5，最小值為；（3）答案見解析.【解析】（1）求出導函數，進而根據導數的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程；（2）根據求出a，進而求出函數的單調區間，然后求出函數的最值；（3）先求出導函數，然后討論a的取值范圍，進而求出函數的單調區間.【小問1詳解】當時，，，切點坐標為，，切線的斜率為，切線方程為，即.【小問2詳解】，是函數的極小值點，，即，，令，得或，令，得，的單調遞增區間為，，的單調遞減區間為，，函數在區間上的最大值為5，最小值為.【小問3詳解】函數的定義域為，，令得，.①當時，，函數在R上單調遞增；②當時，，令，得或，令，得，的單調遞增區間為，，的單調遞減區間為；③當時，，令，得或，令，得，的單調遞增區間為，，的單調遞減區間為.綜上：時，，函數R上單調遞增；時，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；時，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為.19、（1）2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃；（2）證明見解析，，；（3）在水燒開后4到7分鐘飲用最佳.【解析】(1)根據給定條件設第n分鐘后的水溫為，探求出與的關系即可計算作答.(2)利用(1)的信息，列式變形、推導即可得證，進而求出的通項公式.(3)由(2)的結論列不等式，借助對數函數的性質求解即得.【小問1詳解】設第n分鐘后的水溫為，正比例系數為k，記，依題意，，當時，，則有，解得，因此，，即有，，所以2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃.小問2詳解】由(1)知，，時，，，則有，即，而，于是得是以為首項，為公比的等比數列，則有，即，所以是等比數列，的通項公式是，.【小問3詳解】由(2)及已知得：，即，整理得，兩邊取常用對數得：，而，解得，即，所以在水燒開后4到7分鐘飲用最佳.【點睛】思路點睛：涉及實際意義給出的數列問題，正確理解實際意義，列出關系式，再借助數列思想探求相鄰兩項間關系即可推理作答.20、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）將線面平行轉化為面面平行，由已知易證；（2）延長相交與點F，利用等體積法求點A到平面PCE，然后由可得.【小問1詳解】四邊形ABCD為正方形平面PAD，平面PAD平面PAD同理，，平面PAD又平面，平面平面平面PAD平面平面PAD【小問2詳解】延長相交與點F，因為，所以分別為的中點.記點到平面PCF為d，直線AB與平面PCE所成角為，則.易知，，，，因為平面ABCD，所以，所以因為，所以由得：即，得所以22.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由三角形的邊角關系可證，再由底面，可得.即可證明底面，由面面垂直的判定定理得證.（2）以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.【詳解】解析：（1）證明：由，，，，，所以，又，∴，∴，∴，因為底面，底面，∴.因為，底面，底面，底面，底面，所以面面.（2）由（1）可知為與平面所成的角，∴，∴，，由及，可得，，以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間坐標系，則，，，，設平面的法向量為，則，，取，設平面的法向量為，則，，取，所以，所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定，線面垂直的性質，利用空間向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題.22、（1）；（2）或或.【解析】（1）根據已知條件，求得的方程組，解得，即可求得橢圓的方程；（2）對的取值進行分類討論，當時，根據三點共線求得，聯立直線方程和橢圓方程，利用韋達定理，結合直線交橢圓兩點，代值計算即可求得結果.【小問1詳解】對橢圓，令，故可得，則，故，則，又，，故可