PAGE21-山東省滕州市第一中學2024-2025學年高二數學10月月考試題（含解析）（時間120分鐘總分150分）一、單選題（共8小題，每題5分）1.空間直角坐標系中，點關于點的對稱點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對稱的性質和中點坐標公式干脆求解．【詳解】解：設空間直角坐標系中，點關于點的對稱點的坐標為，則，解得，，，∴點坐標為．故選：B．【點睛】本題考查了空間中點坐標公式，考查了數學運算實力，屬于基礎題.2.已知定點和直線，則點到直線的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將，轉化為求得定點，然后將點到直線的距離轉化為兩點間的距離求解.【詳解】，化為，令，解得，所以直線過定點Q，所以點到直線的距離的最大值為，故選：B【點睛】本題主要考查直線系，兩點間的距離公式，還考查了轉化求解問題的實力，屬于中檔題.3.順次連接點，，，所構成的圖形是（）A.平行四邊形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不對【答案】A【解析】【分析】由四個點的坐標可求出，，，依據斜率關系以及線段的長度，即可得結果.【詳解】因為，，，，所以，，，所以，，所以四邊形平行四邊形.故選：A【點睛】本題主要考查了兩直線平行的條件，考查了直線的斜率公式，屬于基礎題.4.，，直線過點，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出直線、的斜率，然后結合圖象即可寫出答案．【詳解】解：直線的斜率，直線的斜率，結合圖象可得直線的斜率的取值范圍是或．故選：．【點睛】本題考查直線斜率公式及斜率改變狀況，屬于基礎題．5.正方體中，、分別為、上的點，且滿意，，則異面直線與所成角的余弦值為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取上一點，使，結合正方體的結構特征可得，進而可得，所以為異面直線與所成角，在中，，即可求解.【詳解】取線段上一點，使，連接，，如圖所示，因為，，所以，所以，，又因為，所以為異面直線與所成角，設該正方體的棱長為，則，，所以在中，，所以，故選：C【點睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，詳細步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．6.若方程所表示的圓取得最大面積，則直線的傾斜角等于（）A.135° B.45° C.60° D.120°【答案】A【解析】【分析】將圓的方程轉化為標準方程得到半徑，再依據圓取得最大面積時求得k即可.【詳解】方程的標準方程為：，則，當所表示的圓取得最大面積時，，此時，則直線為，所以，因為，所以故選：A【點睛】本題主要考查圓的一般方程與標準方程的轉化以及圓的最大面積問題，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.7.已知空間直角坐標系中有一點，點?是平面內的直線上的動點，則，兩點間的最短距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據空間中兩點間的距離公式，將兩點間距離的最小值，轉化為二次函數的最小值問題；【詳解】點是平面內的直線上的動點，可設點，由空間兩點之間的距離公式，得，令，當時，的最小值為，所以當時，的最小值為，即兩點的最短距離是，故選：B.【點睛】本題考查空間中兩點間的距離公式、一元二次函數的最值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解實力.8.在四棱柱中，底面是正方形，側棱底面.已知，E為線段上一個動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件建立如圖所示的空間直角坐標系，，則的最小值問題轉化為求平面直角坐標系中的一個動點到兩定點的距離之和的最小值的問題，即轉化為求平面直角坐標系中的一個動點到兩定點的距離之和的最小值的問題，由圖可知當M，P，N三點共線時，到兩定點的距離之和最小，從而可得答案【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則.∵E線段上一個動點，∴設，則，，故問題轉化為求的最小值問題，即轉化為求平面直角坐標系中的一個動點到兩定點的距離之和的最小值的問題，如圖所示.由此可知，當M，P，N三點共線時，，故選：B.【點睛】此題考查空間中兩線段和最小問題，轉化為平面問題解決，考查空間向量的應用，屬于中檔題二.多選題（共4小題，每題5分，選全得滿分，不全得3分，錯選0分）9.關于空間向量，以下說法正確的是（）A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量肯定共面B.若對空間中隨意一點，有，則，，，四點共面C.已知向量組是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底D.若，則是鈍角【答案】ABC【解析】【分析】依據共線向量的概念，可判定A是正確的;依據空間向量的基本定理，可判定B是正確的;依據空間基底的概念，可判定C正確;依據向量的夾角和數量積的意義，可判定D不正確.【詳解】對于A中，依據共線向量的概念，可知空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量肯定共面，所以是正確的;對于B中，若對空間中隨意一點，有，因為，依據空間向量的基本定理,可得P,A,B,C四點肯定共面，所以是正確的;對于C中，由是空間中的一組基底，則向量不共面，可得向量不共面，所以也是空間的一組基底，所以是正確的;對于D中，若，又由，所以，所以不正確.故選：ABC【點睛】本題主要考查了空間的向量的共線定理、共面定理的應用，基底的概念與判定，以及向量的夾角的應用，著重考查了分析問題和解答問題的實力.10.已知平面上一點M(5，0)，若直線上存在點P使|PM|=4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（）A.y=x+1 B.y=2 C. D.y=2x+1【答案】BC【解析】【分析】依據切割型直線的定義，由點M(5，0)到直線距離不大于4求解.【詳解】A.點M(5，0)到直線y=x+1的距離為：，故錯誤；B.點M(5，0)到直線y=2的距離為：，故正確；C.點M(5，0)到直線的距離為：，故正確；D.點M(5，0)到直線y=2x+1的距離為：，故錯誤；故選：BC【點睛】本題主要考查點到直線的距離以及存在問題，還考查了運算求解的實力，屬于基礎題.11.已知二次函數交軸于，兩點（，不重合），交軸于點.圓過，，三點.下列說法正確的是（）①圓心直線上；②的取值范圍是；③圓半徑的最小值為1；④存在定點，使得圓恒過點.A.① B.② C.③ D.④【答案】AD【解析】【分析】①依據二次函數的對稱軸是和圓的對稱性推斷；②依據二次函數交軸于，兩點，由推斷；③分別令，，得到A，B，C的坐標代入，得到推斷；④由③得到圓M的方程為推斷；【詳解】①因為二次函數的對稱軸是，且，兩點關于對稱，所以圓心在直線上，故正確；②因為二次函數交軸于，兩點，所以解得且，故錯誤；③令，解得，所以，令，得，則，設圓M的方程為：，將A，B，C的坐標代入得：，消去得，所以，即，所以，因為且，所以，故錯誤；④圓M的方程為，即，則圓恒過定點，故正確；故選：AD【點睛】本題主要考查二次函數函數的性質以及圓的方程的應用，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.12.定義空間兩個向量的一種運算，則關于空間向量上述運算的以下結論中恒成立的有（）A.B.C.D.若，，則【答案】BD【解析】【分析】對于A,B,只需依據定義列出左邊和右邊的式子即可,對于C,當時,,,明顯不會恒成立.對于D,依據數量積求出,再由平方關系求出的值,代入定義進行化簡驗證即可.【詳解】解：對于A：，，故不會恒成立；對于B，，，故恒成立；對于C，若，且，，，明顯不會恒成立；對于D，，，即有.則恒成立.故選：BD.【點睛】本題考查向量的新定義，理解運算法則正確計算是解題的關鍵，屬于較難題.三.填空題（共4小題，每題5分）13.若，，則與共線的單位向量是____________.【答案】【解析】【分析】求出，再求出，利用單位向量的定義可得答案．【詳解】，，，所以依據單位向量的關系式，可得單位向量．故答案為：．【點睛】本題考查空間向量的坐標運算以及空間向量的模和單位向量，屬于基礎題．14.將直線l：向左平移3個單位，再向上平移2個單位得到直線，則直線l與之間的距離為__________．【答案】【解析】【分析】依據條件得到直線為，再由兩平行線間的距離公式得到，化簡求值即可.【詳解】由題意可得，直線的方程為，即，則直線與之間的距離.故答案為.【點睛】本題考查了兩平行線間的距離公式的應用以及直線的平移的應用.15.若直線被直線與截得的線段長為，則直線的傾斜角的值為________.【答案】或【解析】【分析】易知直線與平行，且它們之間的距離為：，然后依據直線被直線與截得的線段長為，求得直線與與的夾角即可【詳解】因為直線與平行，則與之間的距離為：設直線與與的夾角為，因為直線被直線與截得的線段長為，則，解得，因為兩直線的斜率為1，故傾斜角為，所以直線的傾斜角的值為或故答案為：或【點睛】本題主要考查兩平行間的距離兩直線的夾角，直線的傾斜角的定義，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.16.如圖所示的正方體是一個三階魔方(由27個全等的棱長為1的小正方體構成），正方形是上底面正中間一個正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知點是線段上的動點，點是線段上的動點，則線段長度的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出目標的表達式，從而可得最小值.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系，則,設,,.,.,當且時，取到最小值，所以線段長度的最小值為.【點睛】本題主要考查空間向量的應用，利用空間向量求解距離的最值問題時，一般是把目標式表示出來，結合目標式的特征，選擇合適的方法求解最值.四.解答題17.在空間直角坐標系中，，，，，點滿意．（1）求點的坐標（用表示）；（2）若，求值．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）利用向量的坐標運算求出的坐標，結合等式可得出的坐標，再利用可求出點的坐標；（2）計算出的坐標，由，得出，利用空間向量數量積的坐標運算可得出關于實數的等式，解出即可得出實數的值.【詳解】（1）因為，，所以，因為，所以，所以點的坐標為；（2）因為，，所以，即，解得．【點睛】本題考查空間向量的坐標運算，同時也考查了利用空間向量處理直線與直線的垂直關系，考查計算實力，屬于基礎題.18.已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在其次象限，半徑長為，求圓的一般方程．【答案】x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.【解析】試題分析：建立方程組,解方程組，并刪除增根.試題解析：圓心C，∵圓心直線x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.①又∵半徑長r＝＝，∴D2＋E2＝20.②由①②可得或又∵圓心在其次象限，∴－＜0即D＞0.則故圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.19.已知為圓上的動點，，為定點，（1）求線段中點M的軌跡方程；（2）若，求線段中點N的軌跡方程.【答案】（1）(x－1)2＋y2＝1；（2）【解析】【詳解】（1）設中點為，由中點坐標公式可知，點坐標為.∵點在圓上，∴.故線段中點的軌跡方程為（2）設的中點為，在中，，設為坐標原點，連結，則，所以，所以.故中點的軌跡方程為20.已知中，點，邊和邊上的中線方程分別是和，求所在直線方程.【答案】.【解析】【分析】可設點坐標為，將代入邊的中線方程，再求出中點坐標，代入邊上的中線方程，聯立方程即可求解點，同理求得點，則可求解所在直線方程【詳解】設點坐標為，因為點在邊的中線上，所以有.①的中點坐標為，因為的中點在邊的中線上，所以有.②聯立①②解得，，即.同理，可得.則，的方程為，化簡得.【點睛】本題考查中點坐標公式的應用，三角形中線的性質，直線方程的求解，屬于中檔題21.如圖，正三棱柱底面邊長為.(1)若側棱長為，求證：;(2)若與成角，求側棱長.【答案】（1）證明見解析；（2）2.【解析】【分析】設，(1)由，從而可得結果；(2)由與成角，利用夾角公式可得，從而可求側棱長.【詳解】（1）設，知，.而故.（2）由（1）知，，∴即即解得故側棱AA1的長為2.【點睛】本題主要考查空間向量的幾何運算以及空間向量夾角余弦公式的應用，意在考查空間想象實力以及綜合應用所學學問解答問題的實力，屬于中檔題.22.如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面．（1）若點是的中點，求證：平面；（2）棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）存在，且長度為【解析】【分析】(1)連接,可得四邊形是平行四邊形，可得，可證得//平面；（2）取中點，連接，可得是正三角形，分別以,,為軸,軸,軸，建立空間直角坐標系，假設點存在，設點的坐標為，，可得平面的一個法向