線段最值問題題型解讀：線段最值問題在中考中常常以選擇題和填空題的形式出現，分值較小但難度較高.此類題型多綜合考查垂線段最短、"將軍飲馬"及旋轉最值問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理和二次函數等相關知識，以及數形結合、分類討論、轉化與化歸等數學思想.此類題型常涉及以下問題：①線段和差最值問題；②尺規作圖問題；③旋轉“費馬點”問題；④點到直線的距離最值問題等.右圖為線段最值問題中各題型的考查熱度.題型1：垂線段最短問題解題模板：垂線段最短模型：1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為（）A． B． C．3 D．4【變式1-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，點E是AB上任意一點．若CD＝5，則DE的最小值等于（）A．2.5 B．4 C．5 D．10【變式1-2】（2021?臨淄區一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，AC與BD交于點O，N是AO的中點，點M在BC邊上，且BM＝6．P為對角線BD上一點，則PM﹣PN的最大值為（）A．2 B．3 C． D．題型2：將軍飲馬問題解題模板：技巧精講：1、“將軍飲馬”模型2、線段差最大值問題模型：2.（2021?婁底模擬）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，P為對角線BD上的一個動點，則AP+EP的最小值是（）A．2 B．4 C． D．2【變式2-1】（2022?德州）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在BC上，CE＝2．點M是對角線BD上的一個動點，則EM+CM的最小值是（）A． B． C． D．【變式2-2】（2022?菏澤）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是對角線BD上的一個動點，CF＝BF，則MA+MF的最小值為（）A．1 B． C． D．2【變式2-3】（2022?廣安）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．【變式2-4】（2022?泰山區校級二模）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于點D，點E為半徑OB的中點．若OB＝4，則陰影部分的面積為．題型3：旋轉最值問題解題模板：技巧精講：旋轉求最值模型：3.問題背景：如圖1，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，DE與BC交于點P，可推出結論：PA+PC＝PE．問題解決：如圖2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．點O是△MNG內一點，則點O到△MNG三個頂點的距離和的最小值是．【變式3-1】（2022?連云港）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求證：四邊形DBCE為菱形；（2）若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運動，求PM+PN的最小值．【變式3-2】（2022春?周村區期末）如圖①，P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．（1）如果點P為銳角三角形ABC的費馬點，且∠ABC＝60°．①求證：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，求PB的長．（2）已知銳角三角形ABC，分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P點，連結AP，如圖②．①求∠CPD的度數；②求證：P點為△ABC的費馬點．一、填空題1．（羅平期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的點，BE=1，F為AB的中點，P為AC上一個動點，則PF+PE的最小值為.2．（2022·安順）已知正方形ABCD的邊長為4，E為CD上一點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，過點D作DG⊥AF，交AF于點H，交BF于點G，N為EF的中點，M為BD上一動點，分別連接MC，MN．若S△DCGS△FCE=13．（2022·南充）如圖，正方形ABCD邊長為1，點E在邊AB上（不與A，B重給），將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A1處，連接A1B，將A1B繞點B順時針旋轉90°得到A2B，連接A1A，A1C，A2C給出下列四個結論；①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB=45°；③點P是直線DE上動點，則CP+A1P的最小值為2；④當∠ADE=30°時，△A1BE的面積為起3?36，其中正確的結論是二、綜合題4．（大埔期末）已知四邊形ABCD是菱形（四條邊都相等的平行四邊形）．AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的兩邊分別與邊BC，DC相交于點E，F，且∠EAF＝60°．（1）如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數量關系為：．（2）如圖2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B，C重合），求證：BE＝CF；（3）求△AEF周長的最小值．5．如圖，在直角坐標系中，拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x軸相交于點M．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．6．（金華月考）如圖1，在直線l上找一點C，使AC+BC最短，并在圖中標出點C【簡單應用】（1）如圖2，在等邊△ABC中，AB＝10，AD⊥BC，E是AC的中點，M是AD上的一點，求EM+MC的最小值，借助上面的模型，由等邊三角形的軸對稱性可知，B與C關于直線AD對稱，連接BM，EM+MC的最小值就是線段的長度，則EM+MC的最小值是；（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAD＝140°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點M、N，當△AMN周長最小時，∠AMN+∠ANM＝°．（3）如圖4，是一個港灣，港灣兩岸有A、B兩個碼頭，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，現有一艘貨船從碼頭A出發，根據計劃，貨船應先停靠OB岸C處裝貨，再停靠OA岸D處裝貨，最后到達碼頭B．怎樣安排兩岸的裝貨地點，使貨船行駛的水路最短？請畫出最短路線并求出最短路程．線段最值問題題型解讀：線段最值問題在中考中常常以選擇題和填空題的形式出現，分值較小但難度較高.此類題型多綜合考查垂線段最短、"將軍飲馬"及旋轉最值問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理和二次函數等相關知識，以及數形結合、分類討論、轉化與化歸等數學思想.此類題型常涉及以下問題：①線段和差最值問題；②尺規作圖問題；③旋轉“費馬點”問題；④點到直線的距離最值問題等.右圖為線段最值問題中各題型的考查熱度.題型1：垂線段最短問題解題模板：垂線段最短模型：1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為（）A． B． C．3 D．4【分析】由勾股定理求出BC的長，再證明四邊形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根據垂線段最短和三角形面積即可解決問題．【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴當AD⊥BC時，AD的值最小，此時，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝，∴MN的最小值為；故選：A．【點評】本題考查了矩形的判定和性質、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式1-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，點E是AB上任意一點．若CD＝5，則DE的最小值等于（）A．2.5 B．4 C．5 D．10【分析】根據角平分線的性質即可得到即可，【解答】解：當DE⊥AB時，DE的值最小，∵AD是∠BAC的平分線，∠C＝90°，CD＝5，∴DE的最小值＝CD＝5，故選：C．【點評】本題考查的是角平分線性質，關鍵是知道垂線段最短，本題比較典型，難度適中．【變式1-2】（2021?臨淄區一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，AC與BD交于點O，N是AO的中點，點M在BC邊上，且BM＝6．P為對角線BD上一點，則PM﹣PN的最大值為（）A．2 B．3 C． D．【分析】以BD為對稱軸作N的對稱點N'，連接MN′并延長交BD于P，連NP，依據PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得當P，M，N'三點共線時，取“＝”，再求得＝＝，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，再根據△N'CM為等腰直角三角形，即可得到CM＝MN'＝2．【解答】解：如圖所示，以BD為對稱軸作N的對稱點N'，連接MN′并延長交BD于P，連NP，根據軸對稱性質可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，當P，M，N'三點共線時，取“＝”，∵正方形邊長為8，∴AC＝AB＝8，∵O為AC中點，∴AO＝OC＝4，∵N為OA中點，∴ON＝2，∴ON'＝CN'＝2，∴AN'＝6，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM為等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值為2，故選：A．【點評】本題主要考查了正方形的性質以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．題型2：將軍飲馬問題解題模板：技巧精講：1、“將軍飲馬”模型2、線段差最大值問題模型：2.（2021?婁底模擬）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，P為對角線BD上的一個動點，則AP+EP的最小值是（）A．2 B．4 C． D．2【分析】連接CP，當點E，P，C在同一條直線上時，AP+PE的最小值為CE的長，根據勾股定理計算即可．【解答】解：如圖，連接CP，在△ADP與△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝CP，∴AP+PE＝CP+PE，當點E，P，C在同一條直線上時，AP+PE的最小值為CE的長，∴連接CE交BD于P'，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝4，∠ADC＝90°，∵E是AD的中點，∴ED＝2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝＝＝2，故選：D．【點評】本題考查了軸對稱，中點路線問題，根據題意作出A關于BD的對稱點C是解此題的關鍵．【變式2-1】（2022?德州）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在BC上，CE＝2．點M是對角線BD上的一個動點，則EM+CM的最小值是（）A． B． C． D．【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化ME，MC的值，從而找出其最小值求解．【解答】解：如圖，連接AE交BD于M點，∵A、C關于BD對稱，∴AE就是ME+MC的最小值，∵正方形ABCD中，點E是BC上的一定點，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，∵AB＝，∴AE＝＝2，∴ME+MC的最小值是2．故選：C．【點評】本題主要考查的是軸對稱﹣﹣路徑最短問題、勾股定理的應用、正方形的性質，明確當點A、M、E在一條直線上時，ME+MA有最小值是解題的關鍵．【變式2-2】（2022?菏澤）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是對角線BD上的一個動點，CF＝BF，則MA+MF的最小值為（）A．1 B． C． D．2【分析】當MA+MF的值最小時，A、M、F三點共線，即求AF的長度，根據題意判斷△ABC為等邊三角形，且F點為BC的中點，根據直角三角形的性質，求出AF的長度即可．【解答】解：當A、M、F三點共線時，即當M點位于M′時，MA+MF的值最小，由菱形的性質可知，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∵F點為BC的中點，AB＝2，∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，∴在Rt△ABF中，AF＝＝．故選：C．【點評】本題考查最短路線問題、等邊三角形的性質和菱形的性質，確定MA+MF的最小值為AF的長度是關鍵．【變式2-3】（2022?廣安）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．【分析】如圖，取AB的中點T，連接PT，FT．首先證明四邊形ADFT是平行四邊形，推出AD＝FT＝2，再證明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得結論．【解答】解：如圖，取AB的中點T，連接PT，FT．∵四邊形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵DF＝CF，AT＝TB，∴DF＝AT，DF∥AT，∴四邊形ADFT是平行四邊形，∴AD＝FT＝2，∵四邊形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，∴E，T關于AC對稱，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PT+PF，∵PF+PT≥FT＝2，∴PE+PF≥2，∴PE+PF的最小值為2．故選：A．【點評】本題考查軸對稱最短問題，菱形的性質，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題．【變式2-4】（2022?泰山區校級二模）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于點D，點E為半徑OB的中點．若OB＝4，則陰影部分的面積為．【分析】連接BC，過D作DF⊥OB于F，先證明△BOC是等邊三角形即可求出OE，CE⊥BO，然后根據勾股定理求出CE，根據含30度的直角三角形的性質求出DF，最后根據S陰影＝S扇形BOC﹣S△COE﹣（S扇形BOD﹣S△ODE）求解即可．【解答】解：連接BC，過D作DF⊥OB于F，∵∠BOC＝60°，OC＝OB，∴△BOC是等邊三角形，∵點E為半徑OB的中點，∴CE⊥BO，，∴，∵∠BOC＝60°，OD平分∠BOC，∴，∴，∴S陰影＝S扇形BOC﹣S△COE﹣（S扇形BOD﹣S△ODE）＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了求不規則圖形的面積，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，根據S陰影＝S扇形BOC﹣S△COE﹣（S扇形BOD﹣S△ODE）求解是解題的關鍵．題型3：旋轉最值問題解題模板：技巧精講：旋轉求最值模型：3.問題背景：如圖1，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，DE與BC交于點P，可推出結論：PA+PC＝PE．問題解決：如圖2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．點O是△MNG內一點，則點O到△MNG三個頂點的距離和的最小值是．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通過三角形全等證得AG＝AP，BG＝DP，得出△AGP是等邊三角形，得出AP＝GP，則PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE，即可證得結論；（2）以MG為邊作等邊三角形△MGD，以OM為邊作等邊△OME．連接ND，可證△GMO≌△DME，可得GO＝DE，則MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即當D、E、O、N四點共線時，MO+NO+GO值最小，最小值為ND的長度，根據勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的長度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）證明：如圖1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等邊三角形，∴AP＝GP，∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴PA+PC＝PE；（2）解：如圖2：以MG為邊作等邊三角形△MGD，以OM為邊作等邊△OME．連接ND，作DF⊥NM，交NM的延長線于F．∵△MGD和△OME是等邊三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴當D、E、O、N四點共線時，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值為2，故答案為2，【點評】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，勾股定理，最短路徑問題，構造等邊三角形是解答本題的關鍵．【變式3-1】（2022?連云港）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求證：四邊形DBCE為菱形；（2）若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運動，求PM+PN的最小值．【分析】（1）先證明四邊形DBCE是平行四邊形，再由BE⊥DC，得四邊形DBCE是菱形；（2）作N關于BE的對稱點N'，過D作DH⊥BC于H，由菱形的對稱性知，點N關于BE的對稱點N'在DE上，可得PM+PN＝PM+PN'，即知MN'的最小值為平行線間的距離DH的長，即PM+PN的最小值為DH的長，在Rt△DBH中，可得DH＝DB?sin∠DBC＝，即可得答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延長線上，∴DE∥BC，∴四邊形DBCE是平行四邊形，∵BE⊥DC，∴四邊形DBCE是菱形；（2）解：作N關于BE的對稱點N'，過D作DH⊥BC于H，如圖：由菱形的對稱性知，點N關于BE的對稱點N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴當P、M、N'共線時，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值為平行線間的距離DH的長，即PM+PN的最小值為DH的長，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，∴DH＝DB?sin∠DBC＝2×＝，∴PM+PN的最小值為．【點評】本題考查平行四邊形性質及應用，涉及菱形的判定，等邊三角形性質及應用，對稱變換等，解題的關鍵是掌握解決“將軍飲馬”模型的方法．【變式3-2】（2022春?周村區期末）如圖①，P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．（1）如果點P為銳角三角形ABC的費馬點，且∠ABC＝60°．①求證：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，求PB的長．（2）已知銳角三角形ABC，分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P點，連結AP，如圖②．①求∠CPD的度數；②求證：P點為△ABC的費馬點．【分析】（1）①由三角形內角和定理可求∠PBA+∠PAB＝60°，可證∠PBC＝∠BAP，可得結論；②由相似三角形的性質可得，即可求解；（2）①由“SAS”可證△ACE≌△ADB，可得∠1＝∠2，即可求解；②通過證明△ADF∽△CFP，可得，可證△AFP∽△CDF，可得∠APF＝∠ACD＝60°，可得結論．【解答】（1）①證明：∵點P為銳角三角形ABC的費馬點，∴∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，∴∠PBA+∠PAB＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠PBC＝∠BAP，又∵∠APB＝∠BPC，∴△ABP∽△BCP，②解：∵△ABP∽△BCP，∴，又∵PA＝3，PC＝4，∴，∴PB＝2；（2）①解：設AC與BD的交點于F，如圖，∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ADB中，，∴△ACE≌△ADB（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②證明：∵∠1＝∠2，∠5＝∠6，∴△ADF∽△CFP，∴，∴AF?PF＝DF?CP，∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△CDF，∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P點為△ABC的費馬點．【點評】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，費馬點的定義，以及等邊三角形的性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．一、填空題1．（羅平期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的點，BE=1，F為AB的中點，P為AC上一個動點，則PF+PE的最小值為.【答案】17【解析】【解答】解：∵正方形ABCD是軸對稱圖形，AC是一條對稱軸，∴點F關于AC的對稱點在線段AD上，設為點G，連結EG與AC交于點P，則PF+PE的最小值為EG的長，∵AB=4，AF=2，∴AG=AF=2，∴EG=12故答案為：17。【分析】根據正方形的性質可知：點F關于AC的對稱點在線段AD上，設為點G，連結EG與AC交于點P，則PF+PE的最小值為EG的長，過點E作EH垂直于AD于點H，根據矩形的性質及勾股定理即可算出EG的長，從而得出答案。2．（2022·安順）已知正方形ABCD的邊長為4，E為CD上一點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，過點D作DG⊥AF，交AF于點H，交BF于點G，N為EF的中點，M為BD上一動點，分別連接MC，MN．若S△DCGS△FCE=1【答案】5【解析】【解答】解：如圖，連接AM，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴A點與C點關于BD對稱，

∴CM=AM，

∴MN+CM=MN+AM≥AN，

.當A、M、N三點共線時，MN+CM的值最小，

∵AD∥CF，

∴∠DAE=∠F，

∵∠DAE+∠DEH=90°，

∵DG⊥AF，

∴∠CDG+∠DEH=90°，

∴∠DAE=∠CDG，

∴∠CDG=∠F，

∴△DCG∽△FCE，

∵S△DCGS△FCE=19，

∴CDCF=13，

∵CD=4，

∴CF=12，

∵AD∥CF，

∴AEEF=ADCF=DECE=13，

∴DE=1，CE=3，

在Rt△CEF中，EF=CE2+CF2=32+122=3173．（2022·南充）如圖，正方形ABCD邊長為1，點E在邊AB上（不與A，B重給），將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A1處，連接A1B，將A1B繞點B順時針旋轉90°得到A2B，連接A1A，A1C，A2C給出下列四個結論；①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB=45°；③點P是直線DE上動點，則CP+A1P的最小值為2；④當∠ADE=30°時，△A1BE的面積為起3?36，其中正確的結論是【答案】①②③【解析】【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

由旋轉的性質得：A1B=A2B，∠A1BA2=90°，

∴∠ABA1+∠A1BC=∠A2BC+∠A1BC=90°，

∴∠ABA1=∠A2BC，

∴△ABA1≌△CBA2（SAS），

∴①說法正確；

②如圖，過點D作DF⊥A1C于點F，

∵DC=DA1，

∴∠CDF=∠A1DF，

∵∠ADE=∠A1DE，∠ADC=90°，

∴∠ADE+∠CDF=45°，

又∵∠DCF+∠CDF=90°，∠DCF+∠A1CB=90°，

∴∠CDF=∠A1CB，

∴∠ADE+∠A1CB=45°，

∴②說法正確；

③如圖，連接PA、PC，

∵A1和A關于DE對稱，

∴PA1=PA，

∴PA1+PC=PA+PC，

當A、P、C三點共線時，PA+PC=AC=2，即PA1+PC最短，

∴PA1+PC最短為2，

∴③說法正確；

④如圖，過點A1作A1G⊥AB于點G，

∵∠ADE=30°，

∴AD=3AE，

∴AE=33，

∴EB=1-33=3?33，

又∵A1A⊥DE，

∴∠DAA1=60°，

∴∠A1AG=30°，AA1=AD=1，

∴A1G=12AA1=12，

∴△A1BE面積=12EB·A1G=12×3?33×12=3?312，

∴④說法錯誤.

故正確答案為：①②③.

【分析】由正方形性質得AB=BC，∠ABC=90°，由旋轉的性質得A1B=A2B，∠A1BA2=90°，從而推出∠ABA1=∠A2BC，即可證出△ABA1≌△CBA2；如圖，過點D作DF⊥A1C于點F，由旋轉性質及正方形性質推出∠ADE+∠CDF=45°，再由∠DCF+∠CDF=90°，∠DCF+∠A1CB=90°，推出∠CDF=∠A1CB，從而得到∠ADE+∠A1CB=45°；③如圖，連接PA、PC，由折疊性質可知A1和A關于DE對稱，從而得到PA1=PA，即得PA1+PC=PA+PC，當A、P、C三點共線時，PA+PC=AC=2，即PA1+PC最短，即可求出PA1+PC最短為2；④如圖，過點A1作A1G⊥AB于點G，利用正方形性質及含30°角直角三角形的性質可求得AE=33，即得EB=1-33=3?33，再由A1A⊥DE，從而得∠DAA1=60°，進而得到∠A1AG=30°，AA1=AD=1，再含30°角直角三角形的性質可求得A二、綜合題4．（大埔期末）已知四邊形ABCD是菱形（四條邊都相等的平行四邊形）．AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的兩邊分別與邊BC，DC相交于點E，F，且∠EAF＝60°．（1）如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數量關系為：．（2）如圖2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B，C重合），求證：BE＝CF；（3）求△AEF周長的最小值．【答案】（1）AE＝EF＝AF（2）證明：如圖2，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，∠BAE=∠CAF∴△BAE≌△CAF（ASA）∴BE＝CF．（3）解：由（1）可知△AEF是等邊三角形，∴當AE⊥BC時，AE的長最小，即△AEF的周長最小，∵AE＝EF＝AF＝23，∴△AEF的周長為63．【解析】【解答】解：（1）AE＝EF＝AF．理由：如圖1中，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC，△ADC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠DAC＝60°∵BE＝EC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，AE⊥BC，∵∠EAF＝60°，∴∠CAF＝∠DAF＝30°，∴AF⊥CD，∴AE＝AF（菱形的高相等）∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝EF＝AF．故答案為AE＝EF＝AF；【分析】（1）結論AE＝EF＝AF．只要證明AE＝AF即可證明△AEF是等邊三角形；（2）欲證明BE＝CF，只要證明△BAE≌△CAF即可；（3）根據垂線段最短可知；當AE⊥BC時，△AEF的周長最小；5．如圖，在直角坐標系中，拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x軸相交于點M．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）解：根據已知條件可設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），把點A（0，4）代入上式得：a=45∴y=45（x﹣1）（x﹣5）=45x2﹣245x+4=45（x﹣3）∴拋物線的對稱軸是：直線x=3；（2）解：P點坐標為（3，85理由如下：∵點A（0，4），拋物線的對稱軸是直線x=3，∴點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（6，4）如圖1，連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最小．設直線BA′的解析式為y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得4=6k+b0=k+b解得k=4∴y=45x﹣4∵點P的橫坐標為3，∴y=45×3﹣45=∴P（3，85（3）解：在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設N點的橫坐標為t，此時點N（t，45t2﹣24如圖2，過點N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D，由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=﹣45把x=t代入得：y=﹣45t+4，則G（t，﹣4此時：NG=﹣45t+4﹣（45t2﹣245t+4）=﹣4∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=12AD×NG+12NG×CF=12NG?OC=12×（﹣45t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣5∴當t=52時，△CAN面積的最大值為25由t=52，得：y=45t2﹣∴N（52【解析】【分析】（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），然后將代入A（0，4）代入拋物線的解析式可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式，然后利用拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸；

（2）作點A關于對稱軸的對稱點A′，連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最小，然后再求出直線BA′的解析式，從而可求得點P的坐標．

（