專題03平行線的四大基本模型重難點題型專訓【題型目錄】題型一平行線基本模型之M模型題型二平行線四大模型之鉛筆模型題型三平行線四大模型之“雞翅”模型題型四平行線四大模型之“骨折”模型【經典例題一平行基本模型之M模型】【結論1】若AB∥CD，則∠B0C=∠B+∠C【結論2】若∠BOC=∠B+∠C，則AB∥CD.【結論3】如圖所示，AB∥EF，則∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和結論3的模型也稱為鋸齒模型；鋸齒模型的變換解題思路拆分成豬蹄模型和內錯角拆分成2個豬蹄模型【例1】（2022春·山東濟寧·七年級統考階段練習）如圖所示，如果AB∥CD，則∠α、∠β、∠γ之間的關系為（

）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【答案】C【分析】過E作EF∥AB，由平行線的質可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之間的關系．【詳解】解：過點E作EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°（兩直線平行，同旁內角互補），∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC（兩直線平行，內錯角相等），∵∠β=∠AEF+∠FED，又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β∠γ=180°，故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，正確作出輔助線是解答此題的關鍵．【變式訓練】【變式1】（2021春·全國·七年級專題練習）如圖，直線a//b，一塊含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如圖所示放置．若∠1=43°，則∠2的度數為（

）A．101° B．103° C．105° D．107°【答案】B【分析】如圖，首先證明∠AMO=∠2；然后運用對頂角的性質求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性質求出∠AMO即可解決問題．【詳解】解：如圖，∵直線a∥b，∴∠AMO=∠2；∵∠ANM=∠1，∠1=43°，∴∠ANM=43°，∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，∴∠2=∠AMO=103°．故選：B．【點睛】該題主要考查了平行線的性質、對頂角的性質、三角形的外角性質等幾何知識點及其應用問題；牢固掌握平行線的性質、對頂角的性質等幾何知識點是靈活運用、解題的基礎．【變式2】（2022秋·遼寧鞍山·八年級統考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數為___________．（用含n的式子表示）【答案】【分析】首先過點E作，由平行線的傳遞性得，再根據兩直線平行，內錯角相等，得出，，由角平分線的定義得出，，再由兩直線平行，內錯角相等得出，由即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點E作，則，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義，解題關鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質和角平分線的定義．【變式3】（2022春·山東聊城·七年級統考階段練習）已知直線AB//CD，EF是截線，點M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數量關系，并說明理由．【答案】(1)證明見詳解(2)；理由見詳解【分析】（1）過點作，由，可知．由此可知：，，故；（2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知：，利用三角形內角和是180°，可得．（1）解：如圖：過點作，∴，∴，，∵，∴．（2）解：，理由如下：如圖：過點作，由（1）知，∵平分，∴，∵∠AGM＝∠HGQ，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了利用平行線的性質求角之間的數量關系，正確的作出輔助線是解決本題的關鍵，同時這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應用．【經典例題二平行基本模型之鉛筆模型】【結論1】如圖所示，AB∥CD，則∠B+∠BOC+∠C=360°【結論2】如圖所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，則AB∥CD.變異的鉛筆頭：拐點數n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐點數：1拐點數：2拐點數：n【例2】（2021·全國·九年級專題練習）如圖，兩直線、平行，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】分別過E點,F點,G點,H點作L1,L2,L3,L4平行于AB觀察圖形可知，圖中有5組同旁內角，則故選D【點睛】本題考查了平行線的性質，添加輔助線是解題的關鍵【變式訓練】【變式1】（2022·全國·七年級假期作業）如圖，直線，在中，，點落在直線上，與直線交于點，若，則的度數為（

）.A．30° B．40° C．50° D．65°【答案】B【分析】由題意過點B作直線，利用平行線的判定定理和性質定理進行分析即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點B作直線，∵直線m//n，，∴，∴∠2+∠3=180°，∵∠2=130°，∴∠3=50°，∵∠B=90°，∴∠4=90°50°=40°，∵，∴∠1=∠4=40°．故選：B．【點睛】本題主要考查平行線的性質定理和判定定理，熟練掌握兩直線平行，平面內其外一條直線平行于其中一條直線則平行于另一條直線是解答此題的關鍵．【變式2】（2020春·山西臨汾·七年級統考期末）如圖，一環湖公路的段為東西方向，經過四次拐彎后，又變成了東西方向的段，則的度數是______．【答案】540°【分析】分別過點C，D作AB的平行線CG，DH，進而利用同旁內角互補可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小．【詳解】解：如圖，根據題意可知：AB∥EF，分別過點C，D作AB的平行線CG，DH，所以AB∥CG∥DH∥EF，則∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°，∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°，∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°．故答案為：540°．【點睛】考查了平行線的性質，解題的關鍵是作輔助線，利用平行線的性質計算角的大小．【變式3】（2022春·江蘇揚州·七年級校考階段練習）已知直線AB∥CD，P為平面內一點，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數量關系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內角互補以及內錯角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據平行線的性質，即可證得∠PAB+∠CDP∠APD=180°；（3）先證明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的結論即可求解．【詳解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，過點P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP∠APD=180°，如圖，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°∠CDP，∵∠APD=∠APQ∠DPQ，∴∠APD=∠PAB(180°∠CDP)=∠PAB+∠CDP180°；∴∠PAB+∠CDP∠APD=180°；(3)設PD交AN于O，如圖，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由題知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°∠NOD∠ODN=180°(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°(∠PAB+∠PDC)=180°(180°+∠APD)=180°(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．【點睛】本題考查了平行線的性質以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．【經典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】【例3】（2022秋·全國·八年級專題練習）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點在直線上，則．以上結論正確的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①過點E作直線EFAB，由平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補，即可得出結論；②如圖2，先根據三角形外角的性質得出∠1＝∠C+∠P，再根據兩直線平行，內錯角相等即可作出判斷；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，由平行線的性質可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據平行線的性質得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①錯誤；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結論正確的個數為2，故選：B．【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．【變式訓練】【變式1】（2021秋·八年級課時練習）（1）已知：如圖（a），直線．求證：；（2）如圖（b），如果點C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結果？你還能就本題作出什么新的猜想？【答案】（1）見解析；（2）當點C在AB與ED之外時，，見解析【分析】（1）由題意首先過點C作CF∥AB，由直線AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由兩直線平行，內錯角相等，即可證得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根據題意首先由兩直線平行，內錯角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根據三角形外角的性質即可證得∠ABC∠CDE=∠BCD．【詳解】解：（1）證明：過點C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）結論：∠ABC∠CDE=∠BCD，證明：如圖：∵AB∥ED，∴∠ABC=∠BFD，在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC∠CDE=∠BCD．若點C在直線AB與DE之間，猜想,∵AB∥ED∥CF，∴∴.【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質是解答本題的關鍵，注意掌握輔助線的作法．【變式2】（2021春·廣東東莞·七年級東莞市光明中學校考期中）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，不需要說明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見解析；（3）∠BPD=∠D∠B或∠BPD=∠B∠D，理由見解析【分析】（1）過點P作EF∥AB，根據兩直線平行，同旁內角互補即可求解；（2）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根據兩直線平行，內錯角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，則可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根據兩直線平行，內錯角相等與三角形外角的性質，即可求得∠BPD與∠B、∠D的關系．【詳解】解：（1）如圖（1）過點P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖2，過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如圖（3），∠BPD=∠D∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D∠B；如圖（4），∠BPD=∠B∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B∠D．【點睛】此題考查了平行線的性質與三角形外角的性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意掌握平行線的性質，注意輔助線的作法．【變式3】（2022·全國·七年級假期作業）已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點，點為上一點，連接，若的平分線交線段于點，連接，若，過點作交的延長線于點，且，求的度數．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據平行線的性質得出，再根據等量代換可得，最后根據平行線的判定即可得證；（2）過點E作，延長DC至Q，過點M作，根據平行線的性質及等量代換可得出，再根據平角的含義得出，然后根據平行線的性質及角平分線的定義可推出；設，根據角的和差可得出，結合已知條件可求得，最后根據垂線的含義及平行線的性質，即可得出答案．【詳解】（1）證明：；（2）過點E作，延長DC至Q，過點M作，，，AF平分FH平分設，．【點睛】本題考查了平行線的判定及性質，角平分線的定義，能靈活根據平行線的性質和判定進行推理是解此題的關鍵．【經典例題四平行基本模型之“骨折”模型】【例4】（2021·全國·九年級專題練習）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數為__________．【答案】57°【分析】根據三角形內角和180°以及平行線的性質：1、如果兩直線平行，那么它們的同位角相等；2、如果兩直線平行，那么它們的同旁內角互補；3、如果兩直線平行，那么它們的內錯角相等，據此計算即可．【詳解】解：設AE、CD交于點F，∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠CFE=180°37°20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°123°=57°，故答案為：57°．【點睛】本題主要考查三角形內角和定理以及平行線的性質，熟知平行的性質是解題的關鍵．【變式訓練】【變式1】（2022春·湖北黃岡·七年級校考期中）如圖，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=_____．【答案】【分析】延長交BC于M，根據兩直線平行，內錯角相等證明∠BMD=∠ABC，再求解，再利用三角形的外角的性質可得答案．【詳解】解：延長交BC于M，∵∴∠BMD=∠ABC=80°，∴；又∵∠CDE=∠CMD+∠C，∴．故答案是：40°【點睛】本題考查了平行線的性質．三角形的外角的性質，鄰補角的定義，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式2】（2022春·江蘇鹽城·七年級景山中學校考階段練習）如圖，若，則∠1+∠3∠2的度數為______【答案】180°【分析】延長EA交CD于點F，則有∠2+∠EFC=∠3，然后根據可得∠1=∠EFD，最后根據領補角及等量代換可求解．【詳解】解：延長EA交CD于點F，如圖所示：，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，，；故答案為180°．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質及平行線的性質，熟練掌握三角形外角的性質及平行線的性質是解題的關鍵．【變式3】（2021春·全國·七年級專題練習）（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）過E作EMAB，根據平行線的判定與性質和角平分線的定義解答即可；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，根據平行線的判定與性質，角平分線的定義以及解一元一次方程解答即可；（3）過P作PLAB，根據平行線的判定與性質，三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義解答即可．【詳解】解：（1）過E作EMAB，∵ABCD，∴CDEMAB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴設∠ABF＝x，∠EBF＝2x，則∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴設∠DCF＝∠ECF＝y，則∠DCE＝2y，∵ABCD，∴EMABCD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）過P作PLAB，∵GM平分∠DGP，∴設∠DGM＝∠PGM＝y，則∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴設∠BPQ＝∠GPQ＝x，則∠BPG＝2x，∵PQGN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵ABCD，∴PLABCD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，∴∠MGN＝15°．【點睛】此題考查平行線的判定與性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理，解題關鍵在于作輔助線和掌握判定定理．【培優檢測】1．（2022·全國·七年級假期作業）如圖，AB//ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，則β與α的數量關系是（

）A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α【答案】B【分析】作CF//ED，利用平行線的性質求得β與α，再判斷β與α的數量關系即可．【詳解】解：如圖，作CF//ED，

∵AB//ED，∴∠A+∠E=180°=α，∵ED//CF，∴∠D+∠DCF=180°，∵AB//ED，ED//CF，∴AB//CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°即∠B+∠C+∠D=360°=β，∴β＝2α．故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟悉運用平行線的性質是解題的關鍵．2．（2020·湖南·中考真題）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數為（）A．70° B．65° C．35° D．5°【答案】B【分析】作CF∥AB，根據平行線的性質可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，從而可得∠BCE的度數，本題得以解決．【詳解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故選：B．【點睛】本題考查平行線的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用平行線的性質解答．3．（2021·全國·九年級專題練習）把一副三角板放在水平桌面上，擺放成如圖所示的形狀，使兩個直角頂點重合，兩條斜邊平行，則∠1的度數是（）A．90° B．105° C．120° D．135°【答案】B【分析】先作直線OE平行于直角三角板的斜邊，根據平行線的性質即可得到答案.【詳解】作直線OE平行于直角三角板的斜邊．可得：∠A＝∠AOE＝60°，∠C＝∠EOC＝45°，故∠1的度數是：60°+45°＝105°．故選B．【點睛】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是掌握平行線的性質.4．（2021春·新疆烏魯木齊·七年級新疆師范大學附屬中學校考階段練習）如圖所示，AB∥CD，則∠A+∠E+∠F+∠C等于（

）A．180° B．360° C．540° D．720°【答案】C【詳解】解：作EM∥AB，FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故選：C．5．（2022·全國·七年級假期作業）如圖，已知，，，則的度數是（

）A．80° B．120°C．100° D．140°【答案】C【分析】過E作直線MN//AB，根據兩直線平行，同旁內角互補即可求出∠1，進而可求出∠2，然后根據平行于同一條直線的兩直線平行可得MN//CD，根據平行線性質從而求出∠C．【詳解】解：過E作直線MN//AB，如下圖所示，∵MN//AB，∴∠A+∠1＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵，∴∵MN//AB，AB//CD，∴MN//CD，∴∠C+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故選：C．【點睛】此題考查的是平行線的判定及性質，掌握構造平行線的方法是解決此題的關鍵．6．（2022春·甘肅金昌·七年級校考期中）如圖，已知，則的度數是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意過點C作CF//AB，可得CF//ED，進而利用平行線的性質進行分析計算即可．【詳解】解：過點C作CF//AB，∵CF//AB，，∴CF//ED，∴∠1+∠ACF=180°，∠FCD+∠3=180°,∵∠2=∠FCD+∠ACF,∴=∠1+∠ACF+∠FCD+∠3=180°+180°=360°．故選：C．【點睛】本題考查平行線的性質，注意掌握兩直線平行時，巧妙構造輔助線，熟練運用平行線的性質，由兩直線平行的關系得到角之間的數量關系，從而達到解決問題的目的．7．（2022·全國·七年級假期作業）如圖，已知，將直角三角形如圖放置，若∠2=40°，則∠1為（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】B【分析】過A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依據平行線的性質，即可得到∠5的度數，進而得出的度數．【詳解】解：標注字母，如圖所示，過A作AB∥a，∵a∥b，∴a∥b∥AB，∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，又∵∠CAD=90°，∴∠4=50°，∴∠5=50°，∴∠1=180°50°=130°，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，平行公理，熟記性質并作出輔助線是解題的關鍵．8．（2021春·全國·七年級專題練習）如圖，已知AB//CD，則，，之間的等量關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】過點E作EF∥AB，則EF∥CD，然后通過平行線的性質求解即可．【詳解】解：過點E作EF∥AB，則EF∥CD，如圖，

∵AB∥EF∥CD，∴∠γ+∠FED=180°，∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，∴∠α+∠β+∠γ=360°，故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，正確作出輔助線是解答此題的關鍵．9．（2022秋·山東臨沂·八年級校考階段練習）如圖，已知點是矩形內一點（不含邊界），設，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依據矩形的性質以及三角形內角和定理，可得，，兩式相減即可得到．【詳解】解：矩形，，，，中，，即，①中，，即，②由②①，可得，即，故選：A．【點睛】本題主要考查了矩形的性質以及三角形內角和定理的運用，解決問題的關鍵是掌握：矩形的四個角都是直角．10．（2021春·全國·七年級河南省淮濱縣第一中學校考期末）如圖，，點在上，，，則下列結論正確的個數是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用平行線的性質和三角形的性質依次判斷即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正確，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正確，∵點E在AC上的任意一點，∴AE無法判斷等于CE，∠BED無法判斷等于45°，故（1）、（4）錯誤，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形的外角的性質，掌握平行線的性質是本題的關鍵．11．（2021春·全國·七年級專題練習）如圖，∠BCD＝70°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°【答案】B【分析】過點C作CF∥AB，根據平行線的性質得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．【詳解】如圖，過點C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質進行推理證明是解決本題的關鍵.12．（2021春·全國·七年級專題練習）如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過作輔助線,過點C和點D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根據ABEF,可得ABEFCGDH,再根據平行線的性質即可得γ+βα=90°,進而可得結論．【詳解】解：如圖,過點C和點D作CGAB,DHAB,∵CGAB,DHAB,∴CGDHAB,∵ABEF,∴ABEFCGDH,∵CGAB,∴∠BCG=α,∴∠GCD=∠BCD∠BCG=βα,∵CGDH,∴∠CDH=∠GCD=βα,∵HDEF,∴∠HDE=γ,∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,∴γ+βα=90°,∴β=α+90°γ．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質,解決本題的關鍵是掌握平行線的性質．13．（2022·全國·七年級假期作業）如圖所示，直角三角板的60°角壓在一組平行線上，，，則______度．【答案】20【分析】如圖（見詳解），過點E作，先證明，再由平行線的性質定理得到，，結合已知條件即可得到．【詳解】解：由題意可得：．如圖，過點E作，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即：．故答案為：20．【點睛】本題重點考查了平行線的性質定理的運用．從“基本圖形”的角度看，本題可以看作是“M”型的簡單運用．解法不唯一，也可延長BE交CD于點G，結合三角形的外角定理來解決；或連結BD，結合三角形內角和定理來解決．14．（2021春·甘肅慶陽·七年級校考期中）如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．【答案】540【分析】過點E作，過點F作，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可作答．【詳解】過點E作，過點F作，如圖，∵，，，∴，，∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案為：540．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，即兩直線平行，同旁內角互補．構造輔助線，是解答本題的關鍵．15．（2022·全國·七年級假期作業）如圖，若直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°則∠2的度數為___．【答案】150°##150度【分析】延長AB交l2于E，根據平行線的判定可得AB∥CD，根據平行線的性質先求得∠3的度數，再根據平行線的性質求得∠2的度數．【詳解】解：延長AB交l2于E，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°∵l1∥l2，∴∠3=∠1=30°，∴∠2=180°∠3=150°．故答案為：150°．【點睛】本題考查了平行線的性質和判定，熟練掌握平行線的性質和判定定理是解題的關鍵．16．（2022·全國·七年級假期作業）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關系式__________．【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°【分析】根據平行線的性質和平角定義求解即可．【詳解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，即∠2+∠3﹣∠1=180°．故答案為：∠2+∠3﹣∠1=180°．【點睛】本題考查平行線的性質、平角定義，熟練掌握平行線的性質是解答的關鍵．17．（2022·全國·七年級假期作業）如圖，，則____________________．【答案】【分析】過點作的平行線，利用平行線的性質，即可證明．【詳解】過點作的平行線，又又.故答案為：．【點睛】本題考查了通過平行線的性質求解角度問題，解題關鍵在于過中間的點作已知直線的平行線．18．（2021春·安徽安慶·七年級統考期末）如圖，直線AB//CD，點M、N分別在直線AB、CD上，點E為直線AB與CD之間的一點，連接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分線與∠CNE的角平分線交于點F，則∠MFN的度數為______________．【答案】40°或140°【分析】分兩種情況畫圖討論：分別過點E和點F作EG∥AB，FH∥AB，可得EG∥FH∥AB，根據AB∥CD，可得EG∥FH∥AB∥CD，情況一根據平行線的性質可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°；情況二根據平行線的性質可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．進而得到結論．【詳解】解：分兩種情況畫圖討論：分別過點E和點F作EG∥AB，FH∥AB，∴EG∥FH∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥FH∥AB∥CD，如圖，∵EG∥AB∥CD，∴∠AME=∠MEG，∠CNE=∠NEG，∴∠AME+∠CNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，∵∠AME的角平分線與∠CNE的角平分線交于點F，∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=40°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°，如圖，∵EG∥AB∥CD，∴∠BME=∠MEG，∠DNE=∠NEG，∴∠BME+∠DNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，∴∠AME+∠CNE=360°（∠BME+∠DNE）=280°∵∠AME的角平分線與∠CNE的角平分線交于點F，∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=140°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．綜上所述：∠MFN的度數為40°或140°．故答案為：40°或140°．【點評】本題主要考查了平行線的性質，解決本題的關鍵是掌握平行線的性質．19．（2022秋·貴州六盤水·八年級統考期末）如圖，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根據以上的規律求∠1+∠2+∠3+…+∠n=__________°．【答案】【分析】過點P作平行于AB的直線，運用兩次兩條直線平行，同旁內角互補即可得到三個角的和；分別過點P，Q作AB的平行線，運用三次平行線的性質，即可得到四個角的和；同樣作輔助線，運用（n1）次平行線的性質，則n個角的和是．【詳解】解：（1）如圖，過點P作一條直線PM平行于AB，∵AB∥CD，AB∥PM∵AB∥PM∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，∴∠1+∠APC+∠3=360°；（2）如圖，過點P、Q作PM、QN平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥PM∥QN∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°；根據上述規律，顯然作（n2）條輔助線，運用（n1）次兩條直線平行，同旁內角互補．即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n=180°（n1）．故答案為：【點睛】此題考查了平行線的性質．注意掌握輔助線的作法是解此題的關鍵．20．（2022·全國·七年級專題練習）如圖，已知AB//CD，，，，則____度．【答案】90【詳解】解：如圖，過點E作EH∥AB，過點F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，∴，，，，又∵，，∴，，∴，，∴，即：，∴．故答案為：90．【點睛】本題考查了平行線的性質，平行公理，作輔助線構造內錯角是解題的關鍵．21．（2022秋·全國·七年級統考期末）請閱讀小明同學在學習平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題.小明:老師說在解決有關平行線的問題時，如果無法直接得到角的關系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型一“豬蹄模型”.即已知:如圖1，，為、之間一點，連接，得到.求證:小明筆記上寫出的證明過程如下:證明:過點作，∴∵，∴∴.∵∴請你利用“豬蹄模型”得到的結論或解題方法，完成下面的兩個問題.（1）如圖，若，，則___________.（2）如圖，，平分，平分，，則___________.【答案】

240°

51°【分析】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如圖，根據平行線的性質得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代換計算∠B+∠F+∠C；（2）分別過G、H作AB的平行線MN和RS，根據平行線的性質和角平分線的性質可用∠ABG和∠DCG分別表示出∠H和∠G，從而可找到∠H和∠G的關系，結合條件可求得∠H．【詳解】（1）解：作EM∥AB，FN∥CD，如圖，AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180°，∵，∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；（2）解：如圖，分別過G、H作AB的平行線MN和RS，∵平分，平分，∴∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB=∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，∴∠BHC=180°∠RHB∠SHC=180°(∠ABG+∠DCG)，∠BGC=180°∠NGB∠MGC=180°(180°∠ABG)(180°∠DCG)=∠ABG+∠DCG180°，∴∠BGC=360°2∠BHC180°=180°2∠BHC，又∵∠BGC=∠BHC+27°，∴180°2∠BHC=∠BHC+27°，∴∠BHC=51°．故答案為：（1）240°；（2）51°．【點睛】本題考查了平行線的性質和判定的應用，能運用平行線的性質和判定進行推理是解此題的關鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內錯角相等，③兩直線平行，同旁內角互補，反之亦然．22．（2021·全國·九年級專題練習）如圖所示，已知，平分，平分，求證：【答案】見解析【分析】先根據平行線的性質得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根據三角形外角的性質即可得出結論．【詳解】解：如圖：∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC．∵∠3是三角形的外角，∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，，即∠E＋∠C＝∠C＋∠A，∴∠E＝（∠A＋∠C）．【點睛】本題考查的是平行線的性質，三角形的外角，以及角平分線等知識點，熟知以上知識點是解題的關鍵．23．（2022·全國·七年級假期作業）如圖，AB//CD，點為兩平行線間的一點．請證明兩個結論．（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）過點作，根據平行線的性質求證即可；（2）根據平行線的性質即可得證；【詳解】（1）過點作，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，，，．（2），，又∵∠BED=∠BEF+∠DEF，．【點睛】本題考查了平行線的性質和平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．24．（2021春·山東德州·七年級統考期中）（1）如圖1，，，，則；（2）如圖2，，點在射線上運動，當點在、兩點之間運動時，，，求與、之間的數量關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點在、兩點外側運動時（點與點、、三點不重合），請你直接寫出與、之間的數量關系．【答案】（1）；（2），理由詳見解析；（3）當點在射線上時，；當點在上時，．【分析】（1）做出輔助線，根據平行線的性質求解即可；（2）過點作交于點，然后根據平行線的性質求解即可；（3）根據題意做出輔助線，然后根據平行線的性質求解即可；【詳解】（1）如圖1，過作，，，又，，則（2）理由是：如圖2，過點作交于點，，（3）當點在射線上時，設CD與AP交于點P，如圖所示，∵，∴，又∵在△CHP中，，∴，即：．當點在上時，如圖所示，作PE∥AB，∴∠APE=∠BAP=∠α，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE=∠PCD=∠β，∴∠CPA=∠CPE∠APE=∠β∠α．答：∠CPA與∠α，∠β之間的數量關系為：∠CPA=∠β∠α．即．【點睛】此題考查了平行線的性質，解題的關鍵是根據題意作出輔助線．25．（2022·全國·七年級假期作業）綜合探究：已知，點、分別是、上兩點，點在、之間，連接、．

（1）如圖1，若，求的度數；（2）如圖2，若點是下方一點，平分，平分，已知，求的度數．【答案】（1）90°；（2）120°【分析】（1）過作，根據平行線的傳遞性、兩直線平行內錯角相等解題；（2）過作，過點作，根據兩直線平行，內錯角相等性質解得，再根據角平分線性質，求得，最后再用平行線定理解題，證明，進而計算的值即可．【詳解】解：（1）如圖1，過作，，，圖1（2）如圖2，過作，過點作設，，，，，平分，平分，，，平分，，，，，，，圖2【點睛】本題考查平行線的定理、角平分線的性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．26．（2022·全國·七年級假期作業）(1)問題情景：如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數．小明想到一種方法，但是沒有解答完：如圖2，過P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°∠PAB=180°130°=50°∵AB//CD，∴PE//CD．……請你幫助小明完成剩余的解答．(2)問題遷移：請你依據小明的解題思路，解答下面的問題：如圖3，AD//BC，當點P在A、B兩點之間時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，則∠CPD，∠α，∠β之間有何數量關系？請說明理由．【答案】(1)110°，見解析；(2)∠CPD=∠α+∠β，理由見解析【分析】(1)過P作PE∥AB，構造同旁內角，通過平行線性質，可得∠APC=50°+60°=110°(2)過P作PE∥AD交CD于E點，推出AD∥PE∥BC，根據平行線性質得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.【詳解】解：(1)剩余過程：∠CPE+∠PCD=180°，∴∠CPE=180°120°=60°∠APC=50°+60°=110°；(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如下圖，過P作PE∥AD交CD于點E，∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.【點睛】本題考查了平行線的性質和判定的應用，主要考察學生的推理能力，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角以及同旁內角.27．（2021春·廣西柳州·七年級統考期中）已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側，點P是直線EF上一動點（不與點E，F重合），設∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如圖，當點在線段上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2；(2)當點P在線段EF外運動時有兩種情況．①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關系（不要求證明）．【答案】(1)證明見詳解(2)①；證明見詳解；②；證明見詳解【分析】（1）如圖4過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據平行線的性質可知，，根據等量代換就可以得出；（2）①如圖5過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據平行線的性質可