考點(diǎn)20.與圓有關(guān)的位置關(guān)系及計(jì)算（精講）【命題趨勢(shì)】與圓相關(guān)的位置關(guān)系也是各地中考數(shù)學(xué)中的必考考點(diǎn)之一，主要內(nèi)容包括點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會(huì)考查切線的性質(zhì)和判定，和直角三角形結(jié)合的求線段長(zhǎng)的問(wèn)題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)綜合，考查形式多樣，多以動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖的形式給出，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，力爭(zhēng)拿到全分。【知識(shí)清單】1：點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系類(lèi)（☆☆）1）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：已知⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則：圖1圖2(1)d<r?點(diǎn)在⊙O內(nèi)，如圖1；(2)d=r?點(diǎn)在⊙O上，如圖2；(3)d>r?點(diǎn)在⊙O外，如圖3．解題技巧：掌握已知點(diǎn)的位置，可以確定該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。2）直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下：圖1圖2圖3(1)d>r?相離，如圖1；(2)d=r?相切，如圖2；(3)d<r?相交，如圖3。2：切線的性質(zhì)與判定（☆☆☆）1）切線的性質(zhì)：（1）切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑；（3）切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。解題技巧：利用切線的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，通常連過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。2）切線的判定（1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）；（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線（數(shù)量關(guān)系法）；（3）經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線（判定定理法）。切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證垂線段等于半徑。3）切線長(zhǎng)定理定義：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。解題技巧：切線長(zhǎng)定理經(jīng)常用來(lái)證明線段相等，通常要連接圓心與切點(diǎn)構(gòu)造直角三角形來(lái)求解。3：三角形的外接圓與內(nèi)切圓（☆☆☆）1）三角形外接圓：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。2）三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。3）三角形的外心：三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，叫該三角形的外心。4）三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫該三角形的內(nèi)心。5）常見(jiàn)結(jié)論（1）三角形內(nèi)切圓半徑：，其中S為三角形的面積；C為三角形的周長(zhǎng)；（2）直角三角形內(nèi)切圓半徑：，其中a，b為直角三角形的直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)。【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】1.由于圓是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，當(dāng)題目中未給出具體圖形時(shí)，要結(jié)合題意畫(huà)出符合題意的圖形，并進(jìn)行分類(lèi)討論，否則比較容易漏解。2.一個(gè)三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓和一個(gè)外接圓，而一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形和內(nèi)接三角形?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系類(lèi)

典例1：（2023·上海閔行·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且，如果圓是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（

）

A．點(diǎn)，均在圓外 B．點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)C．點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外 D．點(diǎn)，均在圓內(nèi)變式1．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知的半徑為3，點(diǎn)P到圓心O的距離為2，則點(diǎn)P與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)P在外 B．點(diǎn)P在上 C．點(diǎn)P在內(nèi) D．無(wú)法確定變式2．（2023年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)真題）在同一平面內(nèi)，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．8變式3．（2024·山東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，D為的中點(diǎn)．以A為圓心，r為半徑作⊙A，若B、C、D三點(diǎn)中只有一點(diǎn)在內(nèi)，則的半徑r的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）的半徑r和圓心O到直線l的距離d分別為關(guān)于x的一元二次方程的兩根和與兩根積，則直線l與的位置關(guān)系是．變式1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知的直徑為4，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法確定變式2．（2023年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)真題）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、r為半徑作．若對(duì)于符合條件的任意實(shí)數(shù)k，一次函數(shù)的圖像與總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則r的最小值為．變式3．（2023·陜西西安·校考一模）在中，，，．若與相離，則半徑為r滿足（

）A． B． C． D．例3：（2023·上海·校考一模）已知與兩圓外切，，的半徑為3，那么的半徑為．變式1．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在梯形中，已知，，，，，分別以、為直徑作圓，這兩圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．外離變式2．（2023·山東·統(tǒng)考一模）已知在中，，，那么以邊長(zhǎng)的倍為半徑的圓A與以為直徑的圓的位置關(guān)系是（

）A．外切 B．相交 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含變式3．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知在中，，，如果以A為圓心r為半徑的和以為直徑的相交，那么r的取值范圍（

）A． B． C． D．核心考點(diǎn)2.切線的性質(zhì)與判定例4：（2023年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，切于點(diǎn)B，連接交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．變式1.（2023年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的切線，A為切點(diǎn)，連接﹐點(diǎn)C在上，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，連接．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．變式2.（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（B卷））如圖，為的直徑，直線與相切于點(diǎn)C，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例5：（2023年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，點(diǎn)在斜邊上，以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)是（）

A． B． C． D．變式1．（2023年湖南省湘西初中學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)試題）如圖，為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，與相切，切點(diǎn)分別為C，D．若，則等于（

）

A． B． C． D．變式2．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的半徑，是的弦，于點(diǎn)D，是的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若，，則線段的長(zhǎng)為．

例6：（2023年湖北省潛江、天門(mén)、仙桃、江漢油田中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則．

變式1．（2023·山東菏澤·校聯(lián)考一模）如圖，、切⊙O于點(diǎn)A、B，，切于點(diǎn)E，交、于C、D兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（）A．10 B．18 C．20 D．22變式2．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，中，，與相切于D，與的延長(zhǎng)線分別相切于E、F，則的半徑為

例7：（2023年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)O在上，以點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)．(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若的半徑為3，求的長(zhǎng)．

變式1.（2023年遼寧省盤(pán)錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，連接，過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F，交點(diǎn)于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作．交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：與相切．(2)若，，求的長(zhǎng)．

變式2.（2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，是上（異于點(diǎn)，）的一點(diǎn)，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，于點(diǎn)，且平分．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)．

變式3．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，和相交于點(diǎn)F，平分，點(diǎn)C在上，且，交于點(diǎn)P．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)已知，求的值．

考點(diǎn)三三角形的外接圓與內(nèi)切圓例8：（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長(zhǎng)為21，則的長(zhǎng)為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3變式1．（2023·浙江杭州·校考二模）如圖，O為等腰三角形的外心，，連接，記，，則滿足的關(guān)系式為（）

A． B． C． D．變式2．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)在上，連接交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．變式3．（2023·湖北襄陽(yáng)·校考二模）已知兩邊長(zhǎng)分別是和，則它的外接圓的半徑是．例9：（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是的內(nèi)切圓，，則的大小為（）

A． B． C． D．變式1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)I是內(nèi)心，則的大小為（

）A． B． C． D．變式2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是邊長(zhǎng)為的正三角形的內(nèi)切圓，與邊、均相切，且與外切，則的半徑為．

例10：（2023年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)O是外接圓的圓心，點(diǎn)I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．變式1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）圖，是△ABC的外接圓，點(diǎn)I是△ABC內(nèi)心，連接AI并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，則的值是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·河北邢臺(tái)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在⊙O中，，BC＝6，AC．I是△ABC的內(nèi)心，則線段OI的值為（）A．1 B． C． D．例11：（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）已知的周長(zhǎng)為，其內(nèi)切圓的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．變式1.（2023年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個(gè)直角三角形，短直角邊的長(zhǎng)為8步，長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為15