2025屆河南省部分校高三數學上學期開學摸底考試卷

考試時間：120分鐘試卷滿分：150分

主要考試內容：高考全部內容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

已知集合4={-1，°，1}6{般—41＜。},則AB=1

1)

A.0B.{0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

若二一-=-i,則2=()

2.

z

11.

A.iB.2ic.-+-iD.1+i

22

3.已知向量］=（0,1）,若（a+2b）j_b,則無=（）

A.-1B.1C.2D.0

4.已知sin2a-cos2i=l,且cos。。。，則tana=()

A.0B.1C.；D.A/2

5.將4個不同的小球放入3個不同的盒子中，且每個盒子最多只能裝3個球，則不同的放法有（)

A60種B.64種C.78種D.81種

6.已知2"=42"=3,log86=c,則()

A.b+l=acB.3b+a=cC.ac+a=2bD.b=ac

7.已知函數/(X)=Asin(Gx+o)(A>0,G>0,0<°V7i)部分圖象如圖所示，將/(x)的圖象向左

平移:個單位長度，得到函數g(x)的圖象，若g(x0)=l，則,(%)|=()

1

A.1B.2C.2百D.幅

2

8.已知E是雙曲線C:V—2L=1左焦點，過點E的直線與。交于A3兩點（點A,3在C的同一支

3

上）,&\BF\=2\AF\,則|AB|=（）

1327

A.6B.8C.—D.—

24

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.為了解某新品種玉米的畝產量（單位：千克）情況，從種植區抽取樣本，得到該新品種玉米的畝產量

的樣本均值元=500,樣本方差$2=400.己知原品種玉米的畝產量X服從正態分布N（430,202）,假

設新品種玉米的畝產量F服從正態分布N（元,$2）,則（）（若隨機變量z服從正態分布N（〃,b2）,

則P（Z<"一a0.1587）

A.P(X>480)<0.2B,P(X<480)>0.8C.P(r<480)<0.2D.P(r>520)>0.2

io.已知函數了⑴的定義域為R/（◎）=wa）+?（y）,則（）

A./(O)=OB./(-l)=0C.y(x)是偶函數D.

11.如圖，球。被一個距離球心d（d>0）的平面截成了兩個部分，這兩個部分都叫作球缺，截面叫作球

缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直徑被截后所得的線段叫作球缺的高.球冠的面積公

式為S=2成球缺的體積公式為V=g?i（3R-"）”2,其中R為球的半徑，”為球缺的高，記兩

個球缺的球冠面積分別為S],S2（S]<S2）,兩個球缺的體積分別為乂，匕則下列結論正確的

是（）

13

A.若d=—R,則兩個球缺的底面面積均為一兀A9?

216

2

s.1y5

B.若另一§,則呢一句

RS.1

C.若則不《弓

3，

R匕、7

D.若公才則由今

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.已知等比數列｛%｝的前〃項乘積為北，若則"=

X

13.已知廠為橢圓。：一=1的右焦點，0為坐標原點，P為。上一點，若△OEP為等邊三角形,

a

則C的離心率為.

14.已知函數〃x)=4'+(a—2)x2—2女2有4個不同的零點，則4的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.ABC內角A8,C的對邊分別為a,瓦c,已知b+Lc=3Ea,A=”.

273

⑴求cos。；

(2)若c=2,。為3C邊上一點，且ADLAC,求.ACD的面積.

16.如圖，在三棱錐P—A5C中，0為AC的中點，平面P05,平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,

(1)證明：PA=PC；

(2)求二面角C—B4—5的正弦值.

3

17.在拋物線=2py（p〉0）上有一系列點6（石,%）,6（%2，%），?，%（X〃，%），“GN+，以點月

為圓心的圓匕與x軸都相切，且圓匕與圓月+i彼此外切.已知占=1,點4到c的焦點的距離為

（2）求數列｛4｝的通項公式;

2

（3）設2=袈，求數列｛%｝的前〃項和S”.

18.設函數7（%）的定義域為。，若存在正實數。，使得對于任意尤e。，有x+ae￡>,且

/（%+?）>/（%）,則稱"％）是。上的距增函數”.

⑴己知函數/（x）=x+sinx,證明：對于任意正實數a,“X）是R上的距增函數”；

（2）若/（無）=爐—%是R上的“a距增函數”，求。的取值范圍；

/、fx+l,x<0,

（3）已知/（九）=《，,八是定義在R上的“2距增函數”，求力的取值范圍.

yx\nx+bx,x>（）

19.甲、乙兩人各有六張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1』,3,3,5,5,乙的卡

片上分別標有數字2,2,4,4,6,6,兩人進行六輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨

機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪

所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.

（1）求甲的總得分為0的概率；

（2）求甲的總得分為1的概率；

（3）若X,為隨機變量，則E'fx/=fE（Xj.記甲的總得分為丫，求￡”）

[i=\yz=i

4

【答案】

1.C

【分析】解一元二次不等式得集合2,再進行交集運算即可.

【詳解】B=[x\4x—1<。},:.5={用2-75<X<2+75}

A5={0,1}.

故選：C.

2.D

【分析】利用復數運算求出z即可.

2-z22

【詳解】依題意，——=——l=-i,則一=1—i,

ZZZ

22(1+i)2+2i

所以z===l+i.

2

故選：D

3.A

【分析】由向量的數量積的運算性質結合向量的數量積的坐標運算公式可得答案.

【詳解】由a=(l,l)力=(0,1),則。必=1，

因為(a+4b)j_b,所以「“+無;2=o，即1+2=0，解得4=-1.

故選：A

4.B

【分析】利用二倍角公式公式推導出sino=cosa,即可求出tana.

【詳解】因為sin2cr—cos2a=1,所以2sin℃osa-2cos20+1=1，

sina

即sinocosa=cos2。，因為cosaw。，貝！Jsin。=cosa,所以tana=----=1.

cosa

故選：B

5.C

【分析】利用間接法，4個不同的小球放入3個不同的盒子中的放法減去將4個球放入同一個盒子中的

放法即得.

【詳解】不考慮每個盒子最多只能裝3個球，有34種放法.

5

若將4個球放入同一個盒子中，有3種放法.

故不同的放法有34-3=78種.

故選：C.

6.A

【分析】根據指對數互化、對數的運算性質和換底公式計算找到關系式;

【詳解】因為2“=b,2"=3,所以a=log246=log23,,

ac=log,/??logft6=log26=log23+1,故Z?+l=ac

故選：A.

7.D

【分析】由圖象找到周期求出根據圖象中已知點代入求出口A,得到函數解析式，再利用函數的圖

象變換規律得出g@),計算得出結果.

OO2兀

【詳解】由圖可知一7—二=——，則7=%=兀，解得悶=2.

4884囪11

因為。＞0,所以0=2.

因為/(%)的圖象經過點1個,0),所以/7兀

Asin^+J=0,

所以7+0=E(kwZ),解得夕=左兀一與■(左wZ)

JT

因為0＜夕＜兀，所以夕=

4

因為“X)的圖象經過點(0,2后)，所以/⑼二Asin：=2拒，解得A=4.

故/(%)=4sin[2x+：1g(x)=4sin27171=4cosf2x+：

XH--+—

44

￡

因為g(%)=4cos1,所以COS

4

故選：D.

8.D

6

【分析】首先由雙曲線方程求出點尸的坐標，并設出過點E的直線方程為=沖-2（切>0）,然后借助

直線與雙曲線聯立，得到M，%和與積的關系，再由忸司=2\AF\,得至U%,出的等量關系，從而解出m,%

的值，最后根據弦長公式求出|A3|得長.

由C:5=1可得F（-2,0）.根據對稱性，不妨設過點F的直線為x=my-2（〃/>0）,

x=my-2,

聯立<2y1可得(3加之一1),2一]2仍；+9=0.

x—1,

I3

設人(%,%),8(%2，%),則加+%=7^4，"%?①

//3m-13m-1

由忸同=2|AF],則3尸=2E4，又BF=(-2-％2，-％)，取=(無1+2，x)所以-%=2%.②

12m24m12m24m9

由①②可得％=—，所以——7—x——

3川-1'%-3療—13m2-13m25-13m2-1

解得m=痘或m=一正5(舍)，y=hHl,

3535-18

所以|AB|=J1+療J%-y\=—^xSlyJ=—=—.

111121底1"73584

故選：D.

9.ABC

【分析】根據正態分布的性質及3o■原則，以及條件一一判斷即可.

【詳解】依題可知，r-7V(5OO,2O2)

P(r<480)=P(Y<500-20)=P(Y>500+20)?0.1587<0.2,故C正確，D錯誤.

因為X~N(430,202),所以P(X>450)=P(X>430+20)=P(X<430-20)?0.1587,

7

P(X>480)<P(X>450)<0.2,A正確.

因為P(X<450)=1-P(X>450)。1—0.1587=0.8413,所以尸(X<480)>P(X<450)>0,8,B

正確.故選：ABC

10.ABD

【分析】A.令x=y=0求解判斷；B.分別令x=y=l,x=y=-l求解判斷；c.令y=—l利用函數奇

偶性定義判斷；口.令工=^,〉=2求解判斷.

【詳解】令x=y=0,得/(0)=0,A正確.

令x=y=l,得/。)=/(1)+/(1),所以/(1)=0.

令x=y=-1，得=所以/(—1)=0,B正確.

令y=-L得/■(—*)=—y(x),所以"％)是奇函數，c錯誤.

令x=g,y=2,得/(l)=2/[g[+g/(2)=0,所以

L—12

-2)…出，出卜(2)7屋]<0,D正確.

故選：ABD

11.BCD

【分析】根據勾股定理結合圓的面積公式計算判斷A錯誤；根據截面的面積和球的體積公式根據不同條

件計算進行判斷BCD.

【詳解】對于A,設這兩個球缺的底面圓半徑為人則/+/=尺2,

133

因為嚴+[2=尺2,d=~R,解得，=—氏2,該圓的面積為一兀R2,A錯誤.

244

對于B,設兩個球缺的高分別為4,用(％<4)，則"+色=2心

S112兀H/i11R3

由丁二工，得cEH=Z，則4=3%,所以4+3%=2R,解得％=—,/z2=-H.

1

S232兀尺色322

匕=!兀(3尺—4)4=，兀(3R—=變1,同理得匕=畫1,所以J=正確.

13V?312)(2)2428匕27

8

RR

S[_2兀H4_\_R-d_d

對于c,.設——xf由一<d<R,得lvx<3,則

S22nRh2bR+d?+]d3

d

S_2

xC正確.

S2x+1x+1

g（3R一%調2

對于D,1(2R+d)(R-1產_(2x+l)(x-l)2X3-3X2+1

(2R-d)(R+d￥-(2X-1，(X+1)2

；兀（3尺_均）狀2X3+3X2-1

12x2(x2-l)

2X3-3X2+1

由得x23.設函數〃x）=,貝J(x)=

322

2X3+3X2-1(2X+3X-1)

/'（可＞0在［3,+8）上恒成立，即〃龍）在［3,w）上單調遞增,

7V7

所以〃x”〃3）=方即片而D正確.

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：關于球的截面問題常用勾股定理求解截面半徑和球的半徑;

12.1

【分析】依題意可得。3%=1，再由下標和性質計算可得.

【詳解】因為(=￡，即?1?2=3a4，顯然4/0，所以a3a4=1,

貝！]a3a4=aYa6-a2a5=1，故"=a。％-4=1.

故答案為：1

13.73-1##-1+^

【分析】由條件可知△片為直角三角形，結合橢圓定義確定。，c關系，由此可求離心率.

【詳解】取橢圓C的左焦點￡,連結PF1,

由△OEP為等邊三角形，則10H=|。司=|。耳|,

7T

可知△公尸尸為直角三角形，且/母片=4，

設歸￡|=2c,貝ij|PF|=c,歸用=氐，

2

可得2a=|P^|+|PF|=（V3+I）C,則；|=^7i=Gi,

所以橢圓。的離心率是e=f=6—1.

a

故答案為：V3-1,

14.（-op,-2）＜J（-2,-eln2）

【分析】由方程（2'+6）（2*-2%）=0有4個不同的根，且方程2，-2尤=0有1，2兩個根，則方程

2，+雙=0有2個不同的根，且aw—2,進而轉化為函數y=2*與函數丁=一?的圖象有兩個交點求

解.

【詳解】解：由題意可得方程（2工+汨（2＜2x）=0有4個不同的根，

方程2*—2x=0的2個根為占=1,々=2,

則方程2"+ax=0有2個不同的根，且aw—2,

即函數y=2、與函數丁=一?的圖象有兩個交點.

當直線丁=一?與函數y=2,的圖象相切時，

設切點為（后，2'°），因為y'=21n2,所以＜:“一

—CIXQ_/,

解得%~~~-loge,a=-eln2.

In22

要使函數y=2"與函數丁=一依的圖象有兩個交點，

只需直線y=-ax的斜率大于eln2,

故〃的取值范圍為（—8,—2）D（—2,—eln2）.

故答案為：（—8,-2）D（―2,—eln2）

10

15.（1）cosC=氈-（2）B

74

【分析】（1）根據正弦定理進行邊角互化，sinB+-sinC=—,再由三角形內角和可得

27

sinB=^-cosC--sinC>即可求解；

22

（2）先應用正弦定理和余弦定理求邊長。力，再結合面積公式即可求解.

【小問1詳解】

因為b+=c=^-a，所以sin3+LsinC=^^sinA=^^sin^=@.

2727737

因為sinB=sin（A+C）=乎cosC-gsinC，

所以^^cosC-LsinC+'sinC=,解得cosC=■

22277

【小問2詳解】

?「一叵

sinC—-----

7

由正弦定理一J=解得a=J7.

sinAsmC

由余弦定理a?=b2+/-2）OCOSA，得/+26—3=0，解得Z?=1（/?=—3舍去）.

在RtzXAC。中，S==立，

cosC2

所以s,=-CA-CDsinC=—.

-ACrDa24

16.（1）證明見解析（2）B

3

【分析】（1）由等腰直角三角形的性質可得AC，08,結合面面垂直的性質可得AC，平面尸03,

然后根據等腰三角形的性質結合條件可得.

（2）作PD_L8O,垂足為D,連接DA,。。，由面面垂直的性質可得PD_L平面A3CD，再由三角

11

形全等，得出m，。。，從而建立空間坐標系利用空間向量解決問題.

【小問1詳解】

證明：因為A5C是等腰直角三角形，A5L5C,。為AC中點，

所以ACLOB,ACu平面A3C,

又因為平面P05L平面A3C,平面P08】平面ABC=O5,

所以AC,平面P08

因為POu平面尸03,所以ACLPO,又。為AC的中點，

所以△B4C是等腰三角形，故B4=PC.

【小問2詳解】

在平面「03上，作PD上BO,垂足為。，連接

平面平面ABC,平面尸05平面ABC=05,

又PDu平面尸05,所以？D_L平面ABCZ）.

由（1）PA=PC,又AC=PA=?，則△Z4C為等邊三角形.

所以。必=Ja/2一4。2=逅,。5=生=受，

222

所以cosZBOP=。匕+0B--8匕=—立，所以cosNDOP=—，

2OPOB33

DO=P0yosNDOP=%,DP=>JOP2-DO2=1-

所以AD=DC=JAP?—DP?=1,在等腰直角三角形-ABC中,AB=BC=1,

所以ABC與△QAC全等，故NADC=NA5C=90°，即ZMLDC,

以。為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則P(0,0,1),A。,0,0),5(1,1,0)((0,1,0).

12

PA=(1,0,-1),AB=(0,1,0),AC=(-1,1,0).

設平面PAB的法向量為〃=(菁,％,4),

n-PA-0,Xy~Zy=0,

則即｛二取石=1,可得〃=(1,0,1).

n-AB-0,

設平面PAC的法向量為加=(X2，》2，Z2)，

m-PA=0,x2-z2=0,

則《即《取必二L可得沅=(1,1,1).

m-AC=0,-%2+%=°，

設二面角c—以―3的大小為e,

回i=逅sin￡=也

貝|]cos6)=|cosn,77z|=

14H-33

故二面角C—K4—3的正弦值為且

3

17.(1)p=l(2)a“=n(3)S=6-，；+477+6

nn2八

【分析】⑴先計算片1,—,結合設拋物線定義可得歸川=丁+4=1,解得夕的值.

I2p2

(2)因為圓匕與圓RM彼此外切，得一X用『+(%—%+)=%+%+]，結合拋物線方程化簡得

11,11〕

-----------=1,從而數列〈一卜是以1為首項，1為公差的等差數列，進而4.

Xn+1Xn[%.

222

(3)由(2)得么=L*,S?=1上+2—+3'++n—,利用錯位相減進而求得答案;

"2"22223V

【小問1詳解】

耳1,—,設拋物線。焦點、為F,根據題意可知歸川=丁+￡=1,解得P=L

(2p)2p2

【小問2詳解】

因為圓巴與圓匕M彼此外切，所以=%+y1M，

貝乂七一x“+i『=(yn+%+1『一(％—y”+i『=4%%+1=看看+1.

13

11,

即--------=1

因為0<xn+l<xn,所以％—x〃+i=xnxn+x,

x“+ixn

1,11

因為一=i,所以數列4一卜是以1為首項,1為公差的等差數列，即一="

Xn

故a“=〃.

【小問3詳解】

,_H2_12232+"s〃12232n2

b-^^C--+-+----1-----1-----1-H-----,

n+2223242"+i

兩式相減得gs“=g+宇+萬1x75+芟1x7-+lx（2n-l）n2

2"

“13571352n—l

+中+了+夢+，則----1-----1-----FH-----：-

2"3=2223242用

1112n-l

兩式相減得5北=—+2

+了+夢++吩2向

11

1-

1c?2'T2n—l32n+3

=—+2x——

22"+i22"+I

所以7；=3-誓

所以'”=3-2n+3n2n2+4”+6n2+4〃+6

=3-即S,,=6-

2〃2八+i2n+12"

18.(1)證明見解析(2)(2,+8)(3)(0,+。)

【分析】(1)根據函數導數判斷函數單調性，結合增函數得/(尤+。)>/(%)證明了(%)是R上的“。距

增函數”；

(2)根據“。距增函數”的定義，可得(x+a)3—解不等式求得。的取值范圍;

(3)根據"％)是定義在R上的“2距增函數"，有〃x+2)>/(x),對x分類討論結合函數的單調性

求得〃的取值范圍;

【小問1詳解】

14

證明：因為/(x)=x+sinx,所以/''(xNl+co&x之0,所以在R上單調遞增.

對于任意正實數a，x+a>無，所以/(x+a)>/(%),

所以〃龍)是R上的距增函數”.

【小問2詳解】

因為=是R上的“。距增函數”，所以/(x+a)>/(x),

即(x+a)'—(x+a)>/一x,化簡得3犬+2)ax+tz2-1>0>

所以#+3御+/-1=0無解,即A=9a2-12(a2—i)<0,

解得a>2(a<—2舍去).所以a的取值范圍為(2,+8).

【小問3詳解】

因為〃龍)是定義在R上的“2距增函數"，所以/(x+2)>/(x).

①若xe(-oo,-2],則x+2e(-oo,0].

因為"％)在(—8,0]上單調遞增，所以/(x+2)>/(￡)恒成立.

②若2,0],則x+2e(O,2].

因為/(x+2)>/(x),所以(％+2)111(1+2)+》(1+2)>彳+1.

令f=x+2e(0,2],貝！Jdn/+初>/-1,即b>lTnt—

令函數g?)=1_1皿_；/€(0,2],則g'("=_；+5=^^.

當此(0,1)時，/(。>0；當時，g'⑺<0.

所以g⑺在(0,1)上單調遞增，在(1,2]上單調遞減，

所以g⑺max=g(l)=°，所以》>0.

③若X￡(0,+oo),則X+2G(2,+a?),ln(x+2)>0.

由(2)可得，要使得/(力是定義在R上的“2距增函數”，則必須滿足匕>0.

15

當6>0時，/(x+2)=(x+2)ln(x+2)+》(x+2)>xln(x+2)+Zzx>xlnx+Z?x=/(%).

綜上，〃的取值范圍為(0,+。).

19.(1)—(2)-(3)2

909

【分析】(1)根據對稱性，不妨固定乙六輪選卡的數字依次為(2,2,4,4,6,6),由甲的總得分為0,得

到甲六輪選卡的數字依次為(1,1,3,3,5,5),再由甲六輪選卡的數字有C；Cj=