第二單元位置與方向（二）?思維素養篇【從課內到奧數】

-課內，一

精選?專訓

【課內精選一】確定物體的位置。

⑴小青家在學校（）方向（冰處。

（2）小華家在學校（）偏（)(）。的方向上。

⑶商店在學校（）方向（冰處。

（4）小紅家在學校（）偏（)(）。的方向上。

（5）汽車站在學校（）方向（）米處。

【答案】⑴正東1000

(2)東北34

(3)正北800

(4)西北34

(5)正西600

【分析】確定物體位置的三大要素是：方向、角度、距離，同時根據圖上的方向：上北下

南、左西右東，以及角度和距離就可以確定方位；

同時通過對圖的觀察，圖上一格代表實際距離200米，用圖上的的格子數量乘200即可得到

去每個地方的實際距離。

【詳解】（1）小青家距離學校有5格，即：5x200=1000（米）

小青家在學校正東方向1000米處。

（2）小華家在學校東偏北34。的方向上。

90°-34°=56°

還可以說小華家在學校北偏東56米。（共兩種答案）

（3）商店距離4格學校，即：4x200=800（米）

商店在學校正北方向800米處。

（4）小紅家在學校西偏北34。的方向上。

或者：90°-34°=56°,

還可以說小紅家在學校北偏西56。的方向上。（共兩種答案）

（5）汽車距離學校有3個格子，即：3x200=600（米）

汽車站在學校正西方向600米處。

【點睛】本題主要考查方向的辨別，明確判定物體位置的三要素是解答本題的關鍵。

05【專項訓練】

量一量，填一填。

）°的方向上，距離是（）

⑵鳥島在售票亭的（）偏（）（）°的方向上，距離是（）米。

（3）表演區在售票亭的（）偏（）（）°的方向上，距離是（）米。

（4）海洋館在售票亭的（）偏（）（）°的方向上，距離是（）米。

【答案】⑴東北40100

(2)北西45200

(3)西南25°100

(4)東南35200

【分析】觀察圖形可知，圖上1格表示50米，則野生動物館到售票亭的距離為2x50=100

米；鳥島到售票亭的距離為4x50=200米；表演區到售票亭的距離為2x50=100米；海洋館

到售票亭的距離為4x50=200米；再根據“上北下南，左西右東”及測量出的角度填空即可。

【詳解】CD2x50=100（米）

野生動物館在售票亭的東偏北40°（北偏東60。）的方向上，距離是100米。

（2）4x50=200（米）

鳥島在售票亭的北偏西45°（西偏北45。）的方向上，距離是200米。

（3）2x50=100（米）

表演區在售票亭的西偏南25°（南偏西75。）的方向上，距離是100米。

（4）4x50=200（米）

海洋館在售票亭的東偏南35°（南偏東55。）的方向上，距離是200米。

【點睛】本題考查方向和位置，明確“上北下南，左西右東”及測量出的角度是解題的關鍵。

口口【課內精選二】數對與位置。

看一看，填一填。

6

5

4

3

2

012345678910

⑴用數對表示體育中心的位置是（）。

（2）以植物園為觀測點，學校在植物園的（）面；以圖書館為觀測點，劇院在（

方向上。

【答案】（1）（1,4）

⑵南南偏東37。

【分析】（1）根據利用數對表示物體位置的方法，用數對表示物體的位置時，列數在前，行

數在后；

（2）根據地圖上方向的規定“上北下南，左西右東”，先以學校為觀測點，確定出植物園的位

置；再以圖書館為觀測點，確定出劇院的位置。

【詳解】（1）用數對表示體育中心的位置是（1,4）o

（2）90。-37。=53°

以植物園為觀測點，學校在植物園的南面；以圖書館為觀測點，劇院在南偏東37°（東偏南

53°）方向上。

03【專項訓練】

8

7

6

5

4

3

2

1

0

⑴小亮的位置用數對表示為（），數對（y,4）表示的位置可能是（）,也可能

是（）。

⑵小強在小明（）偏（）（）方向上。小明在小亮（）偏

（）（）方向上。

【答案】⑴（5,2）小明小紅

（2）北東60°北西45°

【分析】（1）用數對表示位置時，通常把豎排叫列，橫排叫行。表示列的數在前，表示行的

數在后，中間用逗號“，”隔開，數對加上小括號。據此解答。

（2）明確觀測點后，根據地圖“上北下南，左西右東”的規定，結合夾角進行描述。

【詳解】（1）小亮的位置用數對表示為（5,2）；數對（y,4）表示的位置是第y列第4

行，可能是小明，也可能是小紅。

（2）小強在小明北偏東60。方向上。小明在小亮北偏西45。方向上。

口口【課內精選三】描述并繪制路線圖。

一輛客車從起點站向東偏北30。方向行駛6千米，再向正東方向行駛4千米到達終點站。

①根據上面的描述，把客車行駛的路線補充完整。

②根據路線圖，說說客車沿原路返回時所行駛的方向和路程。

【答案】①見詳解

②見詳解

【分析】①以圖上的“上北下南，左西右東”為準，圖例表示圖上1厘米相當于實際距離2千

米。

在客車行駛到6千米處的正東方向上畫4+2=2厘米長的線段，即是終點站。

②根據位置的相對性，觀測點不同，方向相反，夾角的度數相同；由此寫出客車沿原路返回

時所行駛的方向和路程。

②一輛客車從終點站向正西方向行駛4千米，再向西偏南30°（或南偏西60。）方向行駛6千

米到達起點站。

03【專項訓練】

操作。

北

(1)一輛汽車從起點出發，先向()偏()()°方向行駛()千米

到達A站。

(2)到達A站后，再向正西方向行駛2千米到達B站，最后向西偏北40。方向行駛4千米到

達終點站。請在圖中標出B站與終點站的位置。

【答案】(1)西；南；30；3

(2)見詳解

【分析】以圖上的“上北下南，左西右東”為準，圖例表示圖上1厘米相當于實際距離1千

米。

(1)從圖中可知，起點站與A站相距3厘米，那么實際相距1x3=3千米，根據圖上的方

向、角度和距離，描述出汽車從起點出發到A站的路線。

(2)以A站為觀測點，在A站的正西方向上畫2勺=2厘米長的線段，即是B站；

再以B站為觀測點，在B站的西偏北40。方向上畫4口=4厘米長的線段，即是終點站；

據此在圖中標出B站與終點站的位置。

【詳解】(1)一輛汽車從起點出發，先向西偏南30°(或南偏西60。)方向行駛3千米到達

A站。

(2)如圖：

終點站

口口【奧數拓展一】在圖形中確定物體的位置。

圖中三角形ABC是等腰三角形。已知N2=40。，AC=BC。點B在點?的（）方向

上，點A在點C的東偏北（）。方向上。

【答案】正西80

【分析】以點C為觀測點，根據“上北下南，左西右東”描述方向，則點B在點C的正西方

向，等腰三角形中兩個底角相等，根據三角形的內角和求出N3的度數，N3與N4的和等于

一個平角的度數，Z4=180°-Z3,求出N4的度數，即可求得。

【詳解】三角形ABC中，Zl=Z2=40°,且三角形的內角和為180。。

180°-40°-40°

=140°-40°

=100°

180。-100°=80°

所以，點B在點C的正西方向上，點A在點C的東偏北80。方向上。

【點睛】掌握等腰三角形的特征，并根據三角形的內角和與一個平角的度數求出N4的度數

是解答題目的關鍵。

03【專項訓練】

已知下圖中每個方格的邊長是1厘米，三角形ABC是一個等邊三角形，那么，點C在點A

的（）偏（）（）。方向（）厘米處。

【答案】北東304

【分析】觀察題意可知，AB長4厘米，根據等邊三角形的特征，可知AC長也是4厘米，

NBAC是60。；根據平面圖上方向的規定：上北下南，左西右東，以A點為觀測點即可確定

C點的方向；據此解答。

【詳解】點C在點A的東偏北60。或北偏東30。方向4厘米處。

【點睛】此題主要考查依據方向（角度）和距離確定物體位置的方法，明確等邊三角形的特

征是解答本題的關鍵。

CD【奧數拓展二】數對與位置綜合應用。

看圖填空。

（1）如果A點的位置用數對（1,2）表示，那么B點的位置可用數對（）表示。

（2）如果一個小正方形的對角線長10米，點C在點B的南偏東45度方向20米處，請在圖

上標出C點；點D在A點的東偏南45度方向20米處，請在圖上標出D點。

（3）連接ABCD四點，再畫出將四邊形ABCD向右平移3格后的圖形。

【答案】（1）（3,6）

（2）（3）見詳解

【分析】（1）用數對表示位置，數對的第一個數表示列，第二個數表示行，據此分析；

（2）弄清要標示的物體在哪個方位上，有多少度，按要求的方位和度數準確畫圖；注意各場

所離中心點的距離，根據要求的比例畫出相應的長度。

（3）作平移后的圖形步驟：找點一找出構成圖形的關鍵點；定方向、距離一確定平移方向和

平移距離；畫線一過關鍵點沿平移方向畫出平行線；定點一由平移的距離確定關鍵點平移后

的對應點的位置；連點一連接對應點。

【詳解】（1）如果A點的位置用數對（1,2）表示，那么B點的位置可用數對（3,6）表

ZjFO

【點睛】用數對表示位置時，通常把豎排叫列，橫排叫行。一般情況下，確定第幾列時從左

往右數，確定第幾行時從前往后數。確定一個圖形平移后的位置，除需要原來的位置外，還

需要知道平移的方向、平移的距離。

@3【專項訓練】

曾正同學是個數學迷。他在一張紙上畫了10x10的方格用以研究有關圖形的數學問題，假定

一個方格的對角線長代表10m,所研究的點都是網格的交點。

(1)點(0,0)北偏東45。方向30m是點A,它的位置用數對表示是()。

(2)點A北偏西45方向20m是點B,點B北偏東45。方向20m是點C,點C南偏東45。方

向20m是點D。用A、B、C、D四個點順次連接圍成一個四邊形，它的面積是多少？

(3)請你設計不同于點D的另一個點E使得以A、B、C、E為端點的線段圍成四邊形的面

積與第(2)題用A、B、C、D四個點順次連接所圍成的四邊形面積相等。點E可以有不同

的設計，這樣的點共有()個，寫出其中的四個點E：()、()、

()、()。

【答案】圖見詳解；

(1)(3,3)

(2)1600m2

(3)11；(5,2)、(5,3)、(5,6)、(5,8)

【分析】(1)根據用數對表示點的位置的方法，第一個數字表示列數，第二個數字表示行

數、平面圖上方向的辨別“上北下南，左西右東”、方格的對角線長代表10m,即可描出點

A,并用數對表示它的位置。

(2)同理，分別以點A的位置為觀測點即可描出點B的位置、以點B的位置為觀測點即可

描出點C的位置、以點C的位置為觀測點即可描出點D的位置，然后再把A、B、C、D連

結成一個封閉圖形。連結成的封閉圖形是一個正方形，其邊長是(20x2)米，根據正方形的

面積計算公式“S=a2”即可求出它的面積。

(3)正方形ABCD看作是由三角形ABC與三角形ADC的面積之和，且三角形ABC與三角

形ADC的面積相等。三角形ACD看作底為4格，高為2格三角形，當底不變，高是2格

時，其面積也不會變，因此，第5列上的任一點為E,與AC組成的三角形面積都與三角形

ADC的面積相等。這樣四邊形ABCE的面積就與正方形ABCD的面積相等。這樣的點在本

圖上共有8個：（5,0）、（5,2）、（5,3）、5,4）、（5,6）、（5,7）、（5,

8）、（5,10）o可以寫出其中四個（答案不唯一）。

【詳解】（1）點（0,0）北偏東45。方向30m是點A,它的位置用數對表示是（3,3）

（2）點A北偏西45方向20m是點B,點B北偏東45。方向20m是點C,點C南偏東45。方

向20m是點D。用A、B、C、D四個點順次連接圍成一個四邊形，它的面積是：

（20x2）2

=402

~1600（m2）

（3）設計不同于點D的另一個點E使得以A、B、C、E為端點的線段圍成四邊形的面積與

第（2）題用A、B、C、D四個點順次連接所圍成的四邊形面積相等。點E可以有不同的

設計，這樣的點共有8個，寫出其中的四個點E：（5,2）、（5,3）、（5,6）、（5,

8）（答案不唯一）。

【點睛】此題考查的知識有：數對與位置、根據方向和距離確定物體的位置、正方形面積的

計算、三角形面積的計算等。

日日【奧數拓展三】描述并繪制路線圖。

如圖是芳芳每天從家到學校的路線圖。

（1）根據路線圖把表格中的數據補充完整。

路線方向路程時間

家一?超市5分鐘

超市一醫院10分鐘

醫院一學校9分鐘

（2）芳芳每天從家出發到學校走多少米？平均每分鐘走多少米?

北

【答案】（1）見詳解。

（2）960米;40米

【分析】（1）先以家參照點建立方向標，向東偏北60°（或北偏東30。）方向走200米到超

市；再以超市為參照點建立方向標，向東走400米到醫院；最后以醫院為參照點建立方向

標，向東偏南30。（或南偏東60。）方向走360米到學校。

（2）把家到超市、超市到醫院、醫院到學校這三段路程加起來，即200+400+360,可求出

芳芳每天從家出發到學校走的米數；再用5+10+9求出芳芳從家出發到學校走的分鐘數（24

分鐘）；最后根據路程一時間=速度，用芳芳每天從家出發到學校走的米數?從家出發到學校

走的分鐘數，可求出平均每分鐘走的米數。

【詳解】（1）如下圖：

路線方向路程時間

家一超市東偏北60°（或北偏東30。）200米5分鐘

超市一?醫院東400米10分鐘

醫院一學校東偏南30°（或南偏東60。）360米9分鐘

（2）200+400+360=960（米）

9604-（5+10+9）

=960+24

=40（米）

答：芳芳每天從家出發到學校走960米，平均每分鐘走40米。

03【專項訓練】

小華從家出發，先向東走200米到達A地，再向東偏北45。方向行500米到達B地，最后向

西偏北30。方向行300米到達終點C地。

(1)根據上面的描述，把小華走的路線圖畫完整。

(2)如果從終點C原路返回家里用了12分30秒，那么他返回時每分鐘行多少米？

【答案】(1)見詳解

(2)80米

【分析】(1)以圖上的“上北下南，左西右東”為準，圖例表示圖上1厘米相當于實際距離

100米。

小華從家出發，在家的正東方向畫(200-100)厘米長的線段，即是A地；

在A地的東偏北45。方向上畫(500-100)厘米長的線段，即是B地；

在B地的西偏北30。方向上畫(300-100)厘米長的線段，即是C地。

(2)已知從終點C原路返回家里用了12分30秒，根據“1分=60秒”可知，用時12.5分；

用加法求出從C地返回家的總路程，再根據“速度=路程一時間”，即可求出他返回時的速度。

【詳解】(1)200X00=2(厘米)

500X00=5(厘米)

300-100=3(厘米)

（2）12分30秒=12.5分

（300+500+200）-12.5

=1000-12.5

=80（米）

答：他返回時每分鐘行80米。

日日【奧數拓展四】數列與位置。

已知數列;，*，!…，則第10個數是（）。

31j03

【答案】

【分析】通過觀察可知，］=白，白=工…，以此類推，第n個數是

31x3153x5635x7

（2/1-1）x（2/1+1）;據此解答。

【詳解】根據分析可知，第10個數是

________1________

（2X10-1）x（2X10+1）

________1______

一（20-1）x（20+1）

1

19x21

_1

-399

03【專項訓練】

1.找規律；1、*g*…，這串數中第7個數是（）。

【答案】n

【分析】根據￥、g2可得相鄰兩個分數的分子之差為3,分母之差為4,又因為:和毛

的分子之差為6,分母之差為8,即兩數之間應該是白，所以這串數中第7個數應該

是二的分子加上3,分母加上4之后所得的數。

【詳解】16+3=19

19+4=23

所以這串數中第7個數是去

2.一列分數：；、［、；、；、［、.，按規律，(是這列分數中的第()個。

233444s3

【答案】28

【分析】觀察數列可知，分母是2的分數有1個，分母是3的分數有2個，分母是4的分數

有3個，發現分母是n的分數有(n-1)個，分子從1到n—1依次排列，據此解答即可。

【詳解】由分析可知：

分母是2的分數有1個，分母是3的分數有2個，分母是4的分數有3個，分母是5的分數

有4個，分母是6的分數有5個，分母是7的分數有6個，分母是8的分數有7個；

1+2+3+4+5+6+7

=(1+2+7)+(4+6)+(3+5)

=10+10+8

=20+8

=28

則按規律，(是這列分數中的第28個。

【點睛】本題考查數列的排列規律，發現規律，利用規律是解題的關鍵。

3.瑞士數學教師巴爾末成功地從光譜數據……中得到巴爾末公式，從而打開

了光譜奧妙的大門。按這種規律寫出的第5個數是()，第8個數是()。

【受案】-理

【分析】根據題意可知，分子的規律依次是32、42、52、62……分母的規律是：1x5、2x6、

3x7、4x8……；通過上述分子和分母的規律，可知，第幾個數，分子就是這個數加2的平方,

即(n+2)2,分母可以寫成兩個數相乘，后面的數比前面的數多4,則第幾個數，它的分母

就是n(n+4),由此即可解答。

【詳解】當n=5時，

(n+2)2

=(5+2)2

=72

=49

n(n+4)

=5x(5+4)

=5x9

=45

49

即第5個數是工；

當n=8時，

(n+2)2

=(8+2)2

=1()2

=100

n(n+4)

=8x(8+4)

=8x12

=96

即第8個數是瞿。

9o

【點睛】本題主要考查分數的變化規律，仔細的找到分子和分母的變化規律是解答的關鍵。

QG【奧數拓展五】方格游戲。

“掃雷”是一款經典的益智游戲，規則如下：

①圖中陰影部分是雷區，共有10個雷；

②方格中的數字表示這個方格周圍雷的個數。

例如：左圖中標有“★”的方格周圍有8個方格(標數的方格)。

請你根據上面的例圖，完成下圖。(是雷的標。，不是雷的標x)

【【答答案案】】見見詳詳解解

【分析】根據題目規則，數字5周圍的陰影部分都是雷，據此第四行的數字2周圍已經有2

個雷，所以這個數字2周圍其他陰影部分都不是雷；第四行的數字3也已經有3個雷，所以

這個數字3周圍其他陰影部分都不是雷；第四行的數字3右邊的數字1已經有1個雷，所以

這個數字1周圍其他陰影部分都不是雷；數字4已經有1個陰影部分不是雷，有3個是雷,

說明還有1個是雷；第二行的數字3已經有3個雷，則這個數字3周圍其他陰影部分不是

雷；第六行第一個數字1,周圍已經有2個不是雷，說明剩余1個陰影部分是雷；第七行第

一個數字2,周圍有2個雷；第七行第二個數字2已經有2個雷，說明剩余1個陰影部分不

是雷；第六行第三個數字1有1個雷；第六行第二個數字1已經有1個雷，說明這個數字1

周圍其他陰影部分都不是雷；第五行第二個數字2已經有1個雷，2個不是雷，說明剩余1

個是雷；第四行第二個數字2已經有2個雷，說明這個數字2周圍其他地方都不是雷；據此

作圖。

【詳解】如圖所示:

【點睛】本題從數字一個個分析，能確定的地方先做好標記，是雷的標。，不是雷的標x,然

后不能確定的地方根