15.1軸對稱圖形第15章軸對稱圖形與等腰三角形逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2軸對稱圖形軸對稱線段的垂直平分線軸對稱的性質利用軸對稱性質畫軸對稱圖形平面直角坐標系中的軸對稱知識點軸對稱圖形知1－講11.

定義如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.我們也說這個圖形關于這條直線(成軸)對稱.知1－講特別解讀軸對稱圖形的三個條件：1.一個整體圖形；2.一條直線：對稱軸；3.直線兩旁的部分完全重合.知1－講2.幾種常見的軸對稱圖形及對稱軸名稱圖形對稱軸對稱軸條數線段線段本身所在直線和過線段中點的垂線2角角平分線所在的直線1等腰三角形底邊上的高所在直線1知1－講續表：名稱圖形對稱軸對稱軸條數等邊三角形各條邊上的高所在直線3長方形經過對邊中點的直線2正方形(1)經過對邊中點的直線(2)對角線所在的直線4知1－講續表：名稱圖形對稱軸對稱軸條數圓經過圓心的任意一條直線無數正n邊形n為奇數：過頂點與對邊中點的直線；n為偶數：過兩條對邊中點的直線或過相對頂點的直線n知1－講溫馨提示1.軸對稱圖形是對于一個圖形來說的，它被對稱軸分成的兩部分能夠完全重合，其對稱點在同一圖形上.2.對稱軸是一條直線，而不是射線或線段.3.一個軸對稱圖形的對稱軸可以有1條，也可以有多條，還可以有無數條.知1－練例1下面四種化學儀器的示意圖(圖15.1-1)是軸對稱圖形的是()解題秘方：根據軸對稱圖形的定義識別.解：觀察圖形，只有C選項是軸對稱圖形.C知1－練方法點撥：判斷軸對稱圖形的方法:根據圖形的特征，如果能找到一條直線，沿著這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，即可確定這個圖形是軸對稱圖形，否則就不是軸對稱圖形.知1－練1-1.[中考·天津]在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形.下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是()A知1－練1-2.[中考·深圳]下列圖形中，為軸對稱圖形的是()D知2－講知識點軸對稱21.

定義平面內兩個圖形在一條直線的兩旁，如果沿著這條直線折疊，這兩個圖形能夠重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸.折疊后重合的兩點叫做對應點(也叫對稱點).知2－講特別解讀◆軸對稱的三個條件：1.有兩個圖形；2.存在一條直線；3.一個圖形沿著這條直線折疊后與另一個圖形重合.◆軸對稱的兩個特性：1.成軸對稱的兩個圖形全等.但全等的兩個圖形不一定成軸對稱.2.軸對稱是圖形的一種全等變換.知2－講2.

軸對稱與軸對稱圖形的區別與聯系名稱軸對稱軸對稱圖形區別對象不同兩個圖形一個圖形意義不同兩個圖形的特殊位置關系一個具有特殊形狀的圖形對稱點位置不同對稱點分別在兩個圖形上對稱點在同一個圖形上知2－講續表：名稱軸對稱軸對稱圖形區別對稱軸位置不同兩個圖形成軸對稱，其對稱軸可能在兩個圖形的外部，也可能經過兩個圖形的內部或它們的公共邊(點)軸對稱圖形的對稱軸一定經過這個圖形的內部對稱軸數量不同只有一條對稱軸有一條或多條知2－講續表：名稱軸對稱軸對稱圖形聯系(1)定義中都有一條直線，都要沿著這條直線折疊(2)把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形.把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關于這條軸對稱知2－練如圖15.1-2的四組圖形中，成軸對稱的有()A.4組 B.3組 C.2組 D.1組例2知2－練答案：D解題秘方：根據軸對稱的定義，沿著某條直線折疊，直線兩旁的兩個圖形能完全重合，即成軸對稱.解：根據軸對稱的定義，可以判斷只有④中的兩個圖形沿著某一條直線折疊后，兩個圖形能夠重合，所以成軸對稱的只有1組.知2－練方法點撥：判斷兩個圖形是否成軸對稱的方法：嘗試找一條直線，將圖形沿著這條直線折疊，看直線兩旁的部分是否能夠重合.知2－練2-1.下列圖形中，不成軸對稱的是()C知2－練2-2.如圖，小手蓋住的是兩個三角形中的一個，若這兩個三角形成軸對稱，則小手蓋住的三角形是(

)A知3－講知識點線段的垂直平分線31.

定義經過線段的中點并且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫做線段的中垂線.知3－講2.

幾何語言如圖15.1-3，∵DC⊥AB，AC＝BC，∴DC是AB的垂直平分線.反過來也成立：∵DC是AB的垂直平分線，∴DC⊥AB，AC＝BC.知3－講特別解讀1.線段的垂直平分線必須滿足兩個條件：(1)經過線段的中點；(2)垂直于這條線段.兩者缺一不可.2.線段的垂直平分線的定義反過來也成立.知3－練如圖15.1-4，直線AE是線段BC的垂直平分線，垂足為點E，D是直線AE上任意一點，求證：∠ABD＝∠ACD.例3解題秘方：緊扣線段的垂直平分線的定義進行解答.知3－練

知3－練3-1.如圖，AC＝AB，DC＝DB，AD與BC相交于O.求證：(1)△ACD≌△ABD；證明：∵AC＝AB，DC＝DB，AD＝AD，∴△ACD≌△ABD.(SSS)知3－練(2)AD垂直平分BC.證明：∵△ACD≌△ABD，∴∠CAO＝∠BAO.又∵AC＝AB，AO＝AO，∴△CAO≌△BAO，(SAS)∴∠COA＝∠BOA＝90°，CO＝BO，∴AD垂直平分BC.知4－講知識點軸對稱的性質41.軸對稱的性質如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線，如圖15.1-5.特別地：成軸對稱的兩個圖形的對應線段所在直線平行或者重合或者相交于某一點，且該點一定在對稱軸上.知4－講2.

反之成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分.知4－講特別解讀1.軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對應線段、對應角相等；2.軸對稱圖形被對稱軸分成的兩部分全等，并且這兩部分關于對稱軸成軸對稱.知4－練如圖15.1-6，△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，P為MN上任意一點，下列說法不正確的是()A.AP＝A′PB.MN垂直平分AA′，CC′C.這兩個三角形的面積相等D.直線AB，A′B′的交點不一定在MN上例4知4－練解題秘方：根據軸對稱的性質對各選項分析判斷.解：A.P到點A，A′的距離相等，正確，不符合題意；B.∵△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，∴MN垂直平分AA′，CC′，正確，不符合題意；C.∵△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，∴這兩個三角形的面積相等，正確，不符合題意；D.直線AB，A′B′的交點一定在MN上，此選項錯誤，符合題意.答案：D知4－練4-1.如圖，△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，連接AA′交對稱軸l于點M，若∠A＝50°，∠C′＝30°，則下列說法不正確的是(

)A.△ABC與△A′B′C′的周長相等B.AM＝A′M且AA′⊥lC.∠B＝100°D.連接BB′，CC′，則AA′，BB′，CC′三條線段不僅平行而且相等D知4－練[模擬·深圳]如圖15.1-7，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，點A與點E關于直線CD對稱.若AB＝7，AC＝9，BC＝12，則△DBE的周長為(

)A.9B.10C.11D.12例5知4－練解題秘方：根據軸對稱的性質得到AD＝DE，AC＝CE，結合已知條件和三角形周長公式解答.解：∵點A與點E關于直線CD對稱，∴

AD＝DE，AC＝CE.∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周長＝BD＋DE＋BE＝BD＋AD＋BC－CE＝AB＋BC－AC＝7＋12－9＝10.答案：B對稱軸上的點到每組對應點的距離都相等.知4－練5-1.如圖，∠BAC＝110°，若A，B關于直線MP對稱，A，C關于直線NQ對稱，則∠PAQ的大小是(

)A.70°B.55°C.40°D.30°C知5－講知識點利用軸對稱性質畫軸對稱圖形51.

方法幾何圖形都可以看作由點組成.對于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點(如線段端點)關于對稱軸的對稱點，再連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.知5－講特別提醒1.找特殊點一定要找全，否則畫出的圖形不準確或不完整.2.常見的特殊點，除線段的端點外，還有線與線的交點、中點等.3.若某點在對稱軸上，則它的對應點是它本身.知5－講2.

步驟畫軸對稱圖形的方法可簡單歸納為“一找二畫三連”.找：在原圖形上找特殊點；畫：畫出各個特殊點關于對稱軸的對稱點；連：依次連接各對稱點.知5－練如圖15.1-8，畫出下列各圖形關于直線l對稱的圖形.例6知5－練解題秘方：找全確定已知圖形形狀的特殊點，畫出這些特殊點關于直線l的對稱點，然后按原圖順序連接所畫的對稱點.解：如圖15.1-9.知5－練6-1.如圖，以虛線為對稱軸畫出下列圖形的另一半.解：所作圖形如下所示：知6－講知識點平面直角坐標系中的軸對稱61.關于坐標軸對稱的點的坐標規律(1)點(x，y)關于x軸對稱的點的坐標是(x，－y)，其特點是橫坐標相同，縱坐標互為相反數；(2)點(x，y)關于y軸對稱的點的坐標是(－x，y)，其特點是縱坐標相同，橫坐標互為相反數.知6－講特別解讀1.關于坐標軸對稱的點的坐標規律可簡記為：橫對稱，橫不變，縱相反；縱對稱，縱不變，橫相反.2.關于坐標軸對稱的點的坐標只有符號不同，其絕對值相同.知6－講2.

關于非坐標軸對稱的點的坐標規律(1)點(a，b)關于直線x＝m對稱的點為(2m－a，b)；(2)點(a，b)關于直線y＝n對稱的點為(a，2n－b)；(3)點(a，b)關于原點對稱的點為(－a，－b).知6－練已知點A(2a＋b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b).(1)若點A，B關于x軸對稱，求a，b的值；(2)若點A，B關于y軸對稱，求(4a＋4b)2025的值.例7知6－練解題秘方：根據關于坐標軸對稱的點的坐標規律列出方程組求解即可.若點P1(a1，b1)，P2(a2，b2)關于x軸對稱，則a1＝a2，b1＋b2＝0；若點P1(a1，b1)，P2(a2，b2)關于y軸對稱，則a1＋a2＝0，b1＝b2.知6－練(1)若點A，B關于x軸對稱，求a，b的值；

知6－練(2)若點A，B關于y軸對稱，求(4a＋4b)2025的值.

知6－練7-1.已知點M(a＋1，2a－1)關于x軸的對稱點在第一象限，求a的取值范圍.知6－練△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖15.1-10，已知A，B，C三點在格點上，請分別畫出與△ABC關于x軸和y軸對稱的圖形，并寫出對稱圖形頂點的坐標.例8知6－練解題秘方：利用關于x軸、y軸對稱的點的坐標特征，作出△ABC三個頂點關于x軸、y軸的對稱點，然后連接各對稱點即可.知6－練解：△ABC關于x軸和y軸對稱的圖形分別為△A′B′C′和△A″B″C″，如圖15.1-10.∵