第三章三角恒等變形§1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（一）課時目標(biāo)1．理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及常見變形．2．能運用平方關(guān)系和商的關(guān)系進行求值．1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：________________________．(2)商數(shù)關(guān)系：________________________(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)2．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形(1)sin2α＋cos2α＝1的變形公式：sin2α＝____________；cos2α＝____________；(sinα＋cosα)2＝_________________________________________________________；(sinα－cosα)2＝_________________________________________________________；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝________；sinα·cosα＝__________________________＝______________________________．(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的變形公式：sinα＝__________________；cosα＝_______________________________________．一、選擇題1．已知α是第四象限角，tanα＝－eq\f(5,12)，則sinα等于()A．eq\f(1,5)B．－eq\f(1,5)C．eq\f(5,13)D．－eq\f(5,13)2．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，則sin4α－cos4α的值為()A．－eq\f(1,5)B．－eq\f(3,5)C．eq\f(1,5)D．eq\f(3,5)3．記cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()A．eq\f(\r(1－k2),k)B．－eq\f(\r(1－k2),k)C．eq\f(k,\r(1－k2))D．－eq\f(k,\r(1－k2))4．已知tanα＝－eq\f(1,2)，則eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)的值是()A．eq\f(1,3)B．3C．－eq\f(1,3)D．－35．已知sinα－cosα＝－eq\f(\r(5),2)，則tanα＋eq\f(1,tanα)的值為()A．－4B．4C．－86．若cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，則tanα等于()A．eq\f(1,2)B．2C．－eq\f(1,2)D．－2二、填空題7．若sinα＝eq\f(4,5)，且α是第二象限角，則tanα＝________．8．已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝_____________________________．9．已知sinαcosα＝eq\f(1,8)且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，則cosα－sinα＝____________________________．10．若sinθ＝eq\f(k＋1,k－3)，cosθ＝eq\f(k－1,k－3)，且θ的終邊不落在坐標(biāo)軸上，則tanθ的值為________．三、解答題11．已知eq\f(4sinθ－2cosθ,3sinθ＋5cosθ)＝eq\f(6,11)，求下列各式的值．(1)eq\f(5cos2θ,sin2θ＋2sinθcosθ－3cos2θ)；(2)1－4sinθcosθ＋2cos2θ．12．已知α是第三象限角，f(α)＝sin(α－eq\f(π,2))cos(eq\f(3,2)π＋α)tan(π－α)(1)化簡f(α)；(2)若cos(α－eq\f(3,2)π)＝eq\f(1,5)，求f(α)的值．能力提升13．設(shè)定義在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上的函數(shù)y＝6cosx的圖像與y＝5tanx的圖像交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為P1，直線PP1與函數(shù)y＝sinx的圖像交于點P2，則線段P1P2的長為________．14．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，θ∈(0，π)．求：(1)sinθ－cosθ；(2)sin3θ＋cos3θ．1．對基本關(guān)系的理解注意“同角”，這里“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，與角的表達(dá)形式無關(guān)．如：sin23α＋cos23α＝1；eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝taneq\f(α,2)；而sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．2．已知角α的某一種三角函數(shù)值，求角α的其余三角函數(shù)值時，要注意公式的合理選擇．一般是先選用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系．在應(yīng)用平方關(guān)系求sinα或cosα?xí)r，其正負(fù)號是由角α所在象限來決定，切不可不加分析，憑想象亂寫公式．3．熟悉sinθ＋cosθ，sinθ·cosθ，sinθ－cosθ這三個式子之間的關(guān)系，已知其中一個式子的值，可求出另外兩式子的值，但應(yīng)注意符號選取．第三章三角恒等變形§1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(一)答案知識梳理1．(1)sin2α＋cos2α＝1(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)2．(1)1－cos2α1－sin2α1＋2sinαcosα1－2sinαcosα2eq\f(sinα＋cosα2－1,2)eq\f(1－sinα－cosα2,2)(2)cosαtanαeq\f(sinα,tanα)作業(yè)設(shè)計1．D[∵α是第四象限角，且tanα＝－eq\f(5,12)，∴sinα＝－eq\f(5,\r(122＋52))＝－eq\f(5,13)．]2．B[sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×eq\f(1,5)－1＝－eq\f(3,5)．]3．B[∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝eq\r(1－k2)．∴tan80°＝eq\f(\r(1－k2),k)．∴tan100°＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k)．]4．C[eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosαsinα＋cosα,sinα＋cosαsinα－cosα)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(－\f(1,2)＋1,－\f(1,2)－1)＝－eq\f(1,3)．]5．C[tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα)．∵sinαcosα＝eq\f(1－sinα－cosα2,2)＝－eq\f(1,8)，∴tanα＋eq\f(1,tanα)＝－8．]6．B[方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋2sinα＝－\r(5),cos2α＋sin2α＝1))聯(lián)立消去cosα后得(－eq\r(5)－2sinα)2＋sin2α＝1．化簡得5sin2α＋4eq\r(5)sinα＋4＝0∴(eq\r(5)sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－eq\f(2\r(5),5)．∴cosα＝－eq\r(5)－2sinα＝－eq\f(\r(5),5)．∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2．方法二∵cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，∴cos2α＋4sinαcosα＋4sin2α＝5，∴eq\f(cos2α＋4sinαcosα＋4sin2α,cos2α＋sin2α)＝5，∴eq\f(1＋4tanα＋4tan2α,1＋tan2α)＝5，∴tan2α－4tanα＋4＝0，∴(tanα－2)2＝0，∴tanα＝2．]7．－eq\f(4,3)8．eq\f(4,5)解析sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)，又tanθ＝2，故原式＝eq\f(4＋2－2,4＋1)＝eq\f(4,5)．9．－eq\f(\r(3),2)解析(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(3,4)，∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα．∴cosα－sinα＝－eq\f(\r(3),2)．10．eq\f(3,4)解析∵sin2θ＋cos2θ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋1,k－3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k－1,k－3)))2＝1，∴k2＋6k－7＝0，∴k1＝1或k2＝－7．當(dāng)k＝1時，cosθ不符合，舍去．當(dāng)k＝－7時，sinθ＝eq\f(3,5)，cosθ＝eq\f(4,5)，tanθ＝eq\f(3,4)．11．解由已知eq\f(4sinθ－2cosθ,3sinθ＋5cosθ)＝eq\f(6,11)，∴eq\f(4tanθ－2,3tanθ＋5)＝eq\f(6,11)．解得：tanθ＝2．(1)原式＝eq\f(5,tan2θ＋2tanθ－3)＝eq\f(5,5)＝1．(2)原式＝sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θ＝eq\f(sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ－4tanθ＋3,1＋tan2θ)＝－eq\f(1,5)．12．解(1)f(α)＝eq\f(sinα－\f(π,2)cos\f(3,2)π＋αtanπ－α,tan－α－π·sin－π－α)＝eq\f(－sin\f(π,2)－α·sinα－tanα,－tanα·sinα)＝eq\f(cosα·sinα·tanα,－tanα·sinα)＝eq\f(sin2α,－tanα·sinα)＝－eq\f(sinα,tanα)＝－cosα．(2)∵cos(α－eq\f(3,2)π)＝cos(eq\f(3,2)π－α)＝－sinα＝eq\f(1,5)∴sinα＝－eq\f(1,5)，∵α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(2\r(6),5)∴f(α)＝－cosα＝eq\f(2,5)eq\r(6)．13．eq\f(2,3)解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝6cosx，,y＝5tanx))消去y得6cosx＝5tanx．整理得6cos2x＝5sinx,6sin2x＋5sinx－6＝0，(3sinx－2)·(2sinx＋3)＝0，所以sinx＝eq\f(2,3)或sinx＝－eq\f(3,2)(舍去)．點P2的縱坐標(biāo)y2＝eq\f(2,3)，所以|P1P2|＝eq\f(2,3)．14．解(1)由sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)兩邊平方得，sin2θ＋2sin