第第頁專題4.5函數的應用（二）-重難點題型精講1．函數的零點(1)函數零點的概念：對于一般函數y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.即函數的零點就是使函數值為零的自變量的值.(2)函數的零點與方程的解的關系函數y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數解，也就是函數y=f(x)的圖象與x軸的公共點的橫坐標.所以方程f(x)=0有實數解函數y=f(x)有零點函數y=f(x)的圖象與x軸有公共點.(3)幾種常見函數的零點①二次函數的零點一元二次方程SKIPIF1<0+bx+c=0(a≠0)的實數根也稱為函數y=SKIPIF1<0+bx+c(a≠0)的零點.②正比例函數y=kx(k≠0)僅有一個零點0.③一次函數y=kx+b(k≠0)僅有一個零點SKIPIF1<0.④反比例函數y=SKIPIF1<0(k≠0)沒有零點.⑤指數函數y=(a>0,且a≠1)沒有零點.⑥對數函數y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)僅有一個零點1.⑦冪函數y=,當a>0時,僅有一個零點0;當a≤0時,沒有零點.2．函數零點存在定理(1)函數零點存在定理：如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a,b)內至少有一個零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的解.(2)函數零點存在定理的幾何意義：在閉區間[a,b]上有連續不斷的曲線y=f(x)，且曲線的起始點(a,f(a))與終點(b,f(b))分別在x軸的兩側，則連續曲線與x軸至少有一個交點.3．二分法(1)二分法的定義：對于在區間[a,b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.(2)區間的中點：一般地，我們把x=SKIPIF1<0稱為區間(a,b)的中點.(3)用二分法求方程的近似解：用二分法求方程的近似解：先找一個包含根的區間，然后多次將包含根的區間一分為二，直至根落在要求的區間內，即用區間中點SKIPIF1<0將區間(a,b)一分為二，從而得到兩個區間(a,SKIPIF1<0)和(SKIPIF1<0,b)，其中一個區間一定包含根，如若f(a)<0，f(SKIPIF1<0)>0，我們便知區間(a,SKIPIF1<0)包含根，如圖，不斷重復上述步驟，根最終落在要求的區間內.(4)用二分法求函數零點的近似值的步驟給定精確度SKIPIF1<0，用二分法求函數y=f(x)零點SKIPIF1<0的近似值的一般步驟如下：1.確定零點SKIPIF1<0的初始區間[a,b]，驗證f(a)f(b)<0.2.求區間(a,b)的中點c.3.計算f(c)，并進一步確定零點所在的區間：(1)若f(c)=0(此時SKIPIF1<0=c)，則c就是函數的零點；(2)若f(a)f(c)<0(此時SKIPIF1<0∈(a,c))，則令b=c；(3)若f(c)f(b)<0(此時SKIPIF1<0∈(c,b))，則令a=c.4.判斷是否達到精確度SKIPIF1<0：若|a-b|<SKIPIF1<0，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟2~4.【題型1求函數的零點】【方法點撥】(1)代數法：根據零點的定義，解方程f(x)=0，它的實數根就是函數y=f(x)的零點.(2)幾何法或性質法：若方程f(x)=0的解不易求出，可以根據函數y=f(x)的性質及圖象求出零點.例如，已知f(x)是定義在R上的減函數，且f(x)為奇函數，求f(x)的零點；因為f(x)是奇函數，那么由奇函數的性質可知f(0)=0，因為f(x)是定義在R上的減函數，所以不存在其他的x使f(x)=0，從而y=f(x)的零點是0.【例1】函數fx=logA．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）【變式1-1】若32是函數fx=2x2A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）【變式1-2】函數y=x2?4x+3A．（1，0） B．（1，3）C．1和3 D．（1，0）和（3，0）【變式1-3】函數f(x)的零點與函數g(x)=4x+2x?2的零點之差的絕對值不超過0.25A．f(x)=4x?1 B．f(x)=C．f(x)=4x?1?1【題型2函數零點存在定理的應用】【方法點撥】確定函數的零點(方程的根)所在的區間時，通常利用函數零點存在定理將問題轉化為判斷區間的兩個端點對應的函數值是否異號.【例2】函數fx=6A．0，1 B．1，2 C．【變式2-1】函數f(x)=2x+3xA．0 B．1 C．2 D．3【變式2-2】函數y=lnx?2A．(1e,1)C．(2,e) 【變式2-3】若函數f(x)=?x2+(k?1)x+1?k在區間(?1,0)和(0,2)上各有一個零點，則實數kA．12,1 B．1,32 C．【題型3利用圖象交點來處理函數零點（方程的根）問題】【方法點撥】函數零點問題可看成與函數圖象有關的問題的行生與升華，研究此類問題除二分法外，多采用數形結合法，把方程的根的問題轉化為兩函數圖象的交點問題，解題時要準確把握各類函數的性質，畫出函數簡圖，準確找到交點所在的位置.【例3】函數f(x)=lnx?xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式3-1】已知函數fx=e?x+3,x≤0lnx,x>0A．24,25 B．24,25 C．21,25 D．21,25【變式3-2】已知函數fx=2x,0?x?1,ln?x,x<0,若關于A．[2,4] B．(22,4] C．[2,3] 【變式3-3】已知f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+1)是偶函數，當0≤x≤1時，f(x)=?log2(x+1)．若關于x的方程f(x)+f(xA．16,15 B．16,【題型4用二分法確定函數零點（方程的根）所在的區間】【方法點撥】根據二分法的步驟進行求解，即可確定.【例4】方程x3?2x2+3x?6=0A．?2,1上 B．52,4上 C．1,74上【變式4-1】用二分法求函數f(x)=x+lgx?2的零點，可以取的初始區間是（A．(0,1) B．(1,2) C．【變式4-2】在用“二分法”求函數f(x)零點近似值時，若第一次所取區間為[?2,6]，則第三次所取區間可能是（

）A．[?2,?1] B．[?1,1] C．[2,4] D．[5,6]【變式4-3】在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內近似根的過程中，已經得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0，則方程的根落在區間（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定【題型5用二分法求方程的近似解】【方法點撥】由函數的零點與相應方程根的關系，我們可用二分法來求方程的近似解，即對于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通過移項轉化為求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函數F(x)零點近似值的步驟求解.【例5】若函數fx=xx11.51.251.3751.3125f－10.875－0.29690.2246－0.05151則方程x3?x?1=0的一個近似根（誤差不超過0.05）為（A．1.375 B．1.34375 C．1.3125 D．1.25【變式5-1】若函數f(x)=x3+x2f(1)=?2f(1.5)=0.625f(1.25)≈?0.984f(1.375)≈?0.260f(1.4375)≈0.162A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【變式5-2】若函數fx=x3+ffffffA．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【變式5-3】函數f(x)的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算，參考數據如下：f1=?2

ff1.375=?0.260

f那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【題型6用二分法求函數的近似值】【方法點撥】用二分法求函數零點的近似值的步驟往往比較煩瑣，一般借助表格，利用表格可以清晰地表示逐步縮小零點所在區間的過程，有時也利用數軸來表示這一過程.【例6】某同學用二分法求函數fx=2x+3x?7的零點時，計算出如下結果：fA．1.4065是滿足精度為0.01的近似值.B．1.375是滿足精度為0.1的近似值C．1.4375是滿足精度為0.01的近似值D．1.25是滿足精度為0.1的近似值【變式6-1】用二分法研究函數fx=x5+8x3A．0,0.5，f0.125 B．0,0.5，C．0.5,1，f0.75 D．0,0.5，【變式6-2】已知函數fxx10.50.750.6250.5625f0.6321?0.10650.27760.0897?0.007那么函數fx的一個零點的近似值（精確度為0.01）為（

A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7【變式6-3】用二分法求函數fx的一個正實數零點時，經計算，f0.54<0，f0.72>0，fA．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6專題4.5函數的應用（二）-重難點題型檢測一．選擇題1．函數f(x)=x+2的零點為（

）A．2 B．1 C．0 D．?22．下列圖像表示的函數中能用二分法求零點的是（

）A．B．C．D．3．用二分法求函數fx=x3+x2?2x?2的一個零點的近似值（誤差不超過0.1）時，依次計算得到如下數據：A．已經達到對誤差的要求，可以取1.4作為近似值B．已經達到對誤差的要求，可以取1.375作為近似值C．沒有達到對誤差的要求，應該接著計算fD．沒有達到對誤差的要求，應該接著計算f4．用二分法研究函數fx=x3+2x?1的零點時，第一次計算，得f0<0，fA．1 B．?1 C．0.25 D．0.755．若函數f(x)=ax+b(a≠0)的零點為2，則函數g(x)=bx2?axA．0，?12 B．0，12 C．0，26．若函數fxx11.51.251.3751.3125f（x）-10.875-0.29690.2246-0.05151那么方程x3A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.257．已知一元二次方程x2+mx+3=0m∈Z有兩個實數根x1，x2，且0<A．-4 B．-5 C．-6 D．-78．已知定義在R上的函數fx的圖像連續不斷，若存在常數λ∈R，使得f(x+λ)+λf(x)=0對于任意的實數x恒成立，則稱fx是“回旋函數”．若函數fx是“回旋函數”，且λ=2，則fxA．至多有2022個零點 B．至多有1011個零點C．至少有2022個零點 D．至少有1011個零點二．多選題9．若函數f(x)的圖像在R上連續，且f(1)>0，f(2)<0，f(3)<0，則下列說法正確的是（

）A．函數f(x)在區間(1,2)上有且只有1個零點B．函數f(x)在區間(2,3)上一定沒有零點C．函數f(x)在區間(2,3)上可能有零點D．函數f(x)在區間(1,3)上至少有1個零點10．設f(x)=2x+3x?7，某學生用二分法求方程fx011.251.3751.43751.52f?6?2?0.87?0.280.020.333若依據此表格中的數據，則得到符合要求的方程的近似解可以為（

）A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.4411．下列說法正確的是（

）A．已知方程ex=8?x的解在k,k+1B．函數fx=x2C．函數y=3x，y=logD．用二分法求方程3x+3x?8=0在x∈1,2內的近似解的過程中得到f1<0，f12．已知f(x)=logaA．函數f(B．存在實數m使得函數g(C．當m∈[1,+∞)時，函數D．當m∈(-∞,0)∪三．填空題13．函數fx=x?5+ex的零點所在區間為n,n+1n∈Z，則n=14．根據下表，用二分法求函數f(x)=x3?3x+1在區間(1,2)上的零點的近似值（精確度0.1）是f（1）=-1f（2）=3f（1.5）=-0.125f（1.75）=1.109375f（1.625）=0.41601562f（1.5625）=0.1271972615．已知函數fx=2x?a+1,x≤0lnx,x>0，函數y=fx?b有四個不同的零點x1，x2，x3，16．對