2025屆甘肅省甘南州卓尼縣柳林中學數學高二上期末學業質量監測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．繞著它的一邊旋轉一周得到的幾何體可能是（）A.圓臺 B.圓臺或兩個圓錐的組合體C.圓錐或兩個圓錐的組合體 D.圓柱2．彬塔，又稱開元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內西南紫薇山下.某同學為測量彬塔高度，選取了與塔底在同一水平面內的兩個測量基點與，現測得，，，在點測得塔頂的仰角為60°，則塔高（）A.30m B.C. D.3．已知點是拋物線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為（）A. B.C. D.4．過雙曲線Ω：(a＞0，b＞0)右焦點F作x軸的垂線，與Ω在第一象限的交點為M，且直線AM的斜率大于2，其中A為Ω的左頂點，則Ω的離心率的取值范圍為()A.(1,3) B.(3，＋∞)C.(1,) D.(，＋∞)5．如圖，樣本和分別取自兩個不同的總體，它們的平均數分別為和，標準差分別為和，則（）AB.C.D.6．在等比數列中，，則的公比為（）A. B.C. D.7．已知函數，若，則等于（）A. B.1C.ln2 D.e8．已知為虛數單位，復數滿足為純虛數，則的虛部為（）A. B.C. D.9．圓與圓的位置關系為（）A.內切 B.相交C.外切 D.相離10．設，直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11．點到直線的距離為A.1 B.2C.3 D.412．饕餮（tāotiè）紋，青銅器上常見的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現在距今五千年前長江下游地區的良渚文化玉器上．有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為，有一點從點出發每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經過次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路線到達點的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數，則_______14．若“x2－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分條件，則m最大值為________15．已知等差數列滿足，公差，則當的前n項和最大時，___________16．如圖，在正四棱錐中，為棱PB的中點，為棱PD的中點，則棱錐與棱錐的體積之比為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點E在橢圓C上，且，，.（1）求橢圓C的方程：（2）直線l過點，交橢圓于點A，B，且點P恰為線段AB的中點，求直線l的方程.18．（12分）某城鎮為推進生態城鎮建設，對城鎮的生態環境、市容市貌等方面進行了全面治理，為了解城鎮居民對治理情況的評價和建議，現隨機抽取了200名居民進行問卷并評分（滿分100分），將評分結果制成如下頻率分布直方圖，已知圖中a，b，c成等比數列，且公比為2（1）求圖中a，b，c的值，并估計評分的均值（各段分數用該段中點值作代表）；（2）根據統計數據，在評分為“50～60”和“80～90”的居民中用分層抽樣的方法抽取了6個居民．若從這6個居民中隨機選擇2個參加座談，求所抽取的2個居民中至少有1個評分在“80～90”的概率19．（12分）已知函數（1）當時，求的單調區間；（2）當時，證明：存在最大值，且恒成立.20．（12分）已知橢圓：，是坐標原點，，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，過作的外角的平分線的垂線，垂足為，且（1）求橢圓方程：（2）設直線：與橢圓交于，兩點，且直線，，的斜率之和為0（其中為坐標原點）①求證：直線經過定點，并求出定點坐標：②求面積的最大值21．（12分）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線上，且在第一象限，的面積為(O為坐標原點).（1）求拋物線的標準方程；（2）經過點的直線與交于，兩點，且，異于點，若直線與的斜率存在且不為零，證明：直線與的斜率之積為定值.22．（10分）已知曲線C的方程為（1）判斷曲線C是什么曲線，并求其標準方程；（2）過點的直線l交曲線C于M，N兩點，若點P為線段MN的中點，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】討論是按直角邊旋轉還是按斜邊旋轉【詳解】按直角邊選擇可得下圖圓錐：如果按直角邊旋轉可得下圖的兩個圓錐的組合體：故選：C2、D【解析】在△中有，再應用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【詳解】由題設知：，又，△中，可得，在△中，，則.故選：D3、C【解析】分析可知圓的圓心為拋物線的焦點，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.【詳解】設點的坐標為，有，由圓的圓心坐標為，是拋物線的焦點坐標，有，由圓的幾何性質可得，又由，可得的最小值為故選：C.4、B【解析】求點A和M的坐標，進而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，從而可解得離心率的范圍.【詳解】F(c,0)，設M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.答案：B【點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.5、B【解析】直接根據圖表得到答案.【詳解】根據圖表：樣本數據均小于等于10，樣本數據均大于等于10，故；樣本數據波動大于樣本數據，故.故選：B.6、D【解析】利用等比數列的性質把方程都變成和有關的式子后進行求解.【詳解】由等比數列的等比中項性質可得，又，所以，因，所以，所以,故選：D.7、D【解析】求導，由得出.【詳解】，故選：D8、D【解析】先設，代入化簡，由純虛數定義求出，即可求解.【詳解】設，所以，因為為純虛數，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.9、C【解析】寫出兩圓的圓心和半徑，求出圓心距，發現與兩圓的半徑和相等，所以判斷兩圓外切【詳解】圓的標準方程為：，所以圓心坐標為，半徑；圓的圓心為，半徑，圓心距，所以兩圓相外切故選：C10、A【解析】由可求得實數的值，再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】若，則，解得或，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.11、B【解析】直接利用點到直線的距離公式得到答案.【詳解】，答案為B【點睛】本題考查了點到直線的距離公式，屬于簡單題.12、B【解析】本題首先可根據題意列出次跳動的所有基本事件，然后找出沿著饕餮紋的路線到達點的事件，最后根據古典概型的概率計算公式即可得出結果.【詳解】點從點出發，每次向右或向下跳一個單位長度，次跳動的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿著饕餮紋的路線到達點的事件有：（下，下，右），故到達點的概率，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】先對函數求導，然后令可求出的值【詳解】因為，所以，則，解得故答案為：14、【解析】解不等式，得到或，，根據必要不充分條件，得到是A的真子集，從而求出，得到m的最大值.【詳解】，解得：或，所以記或，；若“x2－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分條件，則是A的真子集故，所以m最大值為故答案為：-215、3【解析】根據公式求出前n項和，再利用二次函數的性質.【詳解】因為等差數列，，所以，當時，取到最大值.故答案為：3.16、【解析】根據圖形可求出與棱錐的體積之比，即可求出結果【詳解】如圖所示：棱錐可看成正四棱錐減去四個小棱錐的體積得到，設正四棱錐的體積為，為PB的中點，為PD的中點，所以，而，同理，故棱錐的體積的為，即棱錐與棱錐的體積之比為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據橢圓的定義可求出，由結合勾股定理可求出，最后根據的關系求出，即可求出橢圓方程；（2）分直線的斜率存在或不存在兩種情況討論，當直線斜率存在時，設出直線方程與橢圓聯立，利用中點的關系求出即可.【小問1詳解】∵點E在橢圓C上，∴，即.在中，，∴橢圓的半焦距.∵，∴橢圓的方程為.【小問2詳解】設，，若直線的斜率不存在，顯然不符合題意.從而可設過點的直線的方程為，將直線的方程代入橢圓的方程，得，則.∵P為線段AB的中點，∴，解得.故直線的方程為，即（經檢驗，所求直線方程符合題意）.18、（1），，，均值為65.6（2）【解析】（1）根據a，b，c成等比數列且公比為2，得到a，b，c的關系，利用頻率之和為1，求出a，b，c，估計評分的均值；（2）利用列舉法得到基本事件，求出相應的概率.【小問1詳解】由題意得，，，有，所以，即，解得，于是，評分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分別為0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05，則均分估計值為【小問2詳解】評分在“50～60”和“80～90”分別有40人和20人則所抽取的6個居民中，評分在“80～90”一組有2人，記為A1，A2，評分在“50～60”一組4人，記為B1，B2，B3，B4從這6人中選取2人的所有基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共15個其中至少有1個評分在“80～90”的基本事件有9個則所求的概率，即抽取的2個居民中至少有1個評分在“80～90”的概率為19、（1）的單增區間為，；單減區間為，，；（2）證明見解析.【解析】（1）先求出函數的定義域，求出，由，結合函數的定義域可得出函數的單調區間.(2)當時，定義域R,求出，從而得出單調區間，由當時，，當時，，以及極值點與2的大小關系可得出當時，函數有最大值，然后再證明即可.【詳解】解：（1）定義域，可得且且，，可得且3無0無0減無減增無增減所以，的單增區間為，；單減區間為，，.（2）當時，定義域R因為，當時，，當時，，所以的最大值在時取得；由，即，得由，得，或由，得所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減.當時，，且，由所以當時，函數有最大值.所以，因為，所以,設，則所以化為由，則，則，所以所以20、（1）；（2）①證明見解析，；②.【解析】（1）根據橢圓的定義以及角平分線的性質可得，，結合點在橢圓上，以及即可求出的值，進而可得橢圓的方程.（2）①設，，聯立直線與橢圓方程，求得，，利用斜率之和等于得出關于的方程，解得即可得所過的定點，②由弦長公式求出，點到直線的距離公式求得高，由面積公式表示三角形的面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】（1）如圖，由題意可知，由橢圓定義知，則，連接，所以，所以又在橢圓上則，解得：，，所以橢圓的方程為：；（2）①證明：設，，聯立，整理可得：，所以，可得，，，設直線，，的斜率為，，，因為直線，，的斜率之和為0，所以，即所以，由，所以，所以直線恒過定點；②由①可得：，原點到直線的距離，所以，因為，當且僅當時，即，即時取等號，所以，即面積的最大值為1【點睛】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結論能體現出明確的函數關系，則可先建立目標函數，再求這個函數的最值．在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，然后結合面積公式可得，即求；（2）通過分類討論，利用韋達定理法結合斜率公式計算即得.【小問1