2025屆黑龍江省綏化市青岡縣一中高二數學第一學期期末經典試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A. B.C. D.2．已知集合，,則（）A. B.C. D.3．若動圓的圓心在拋物線上，且恒過定點，則此動圓與直線（）A.相交 B.相切C.相離 D.不確定4．已知直線與直線平行，則實數a值為（）A.1 B.C.1或 D.5．音樂與數學有著密切的聯系，我國春秋時期有個著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經過一次“損”，頻率變為原來的，得到“微”，“微”經過一次“益”，頻率變為原來的，得到“商”……依此規律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個音階.據此可推得（）A.“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數列B.“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數列C.“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數列D.“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數列6．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.7．已知，若是函數一個零點，則的值為()A.0 B.C.1 D.8．已知拋物線的焦點為，為拋物線上第一象限的點，若，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.9．已知直線與圓交于A，B兩點，O為原點，且，則實數m等于（）A. B.C. D.10．直線（t為參數）被圓所截得的弦長為（）A. B.C. D.11．直線與圓相交于點，點是坐標原點，若是正三角形，則實數的值為A.1 B.-1C. D.12．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓上的一點，，分別為圓和圓上的點，則的最小值為______14．若函數，則_______15．已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是___.16．空間直角坐標系中，點，的坐標分別為，，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，半徑為3，圓M被直線截得的弦長為4.（1）求圓M的方程；（2）設P是直線上的動點，證明：以MP為直徑的圓必過定點，并求所有定點的坐標.18．（12分）雙曲線（，）的離心率，且過點.（1）求a，b的值；（2）求與雙曲線C有相同漸近線，且過點的雙曲線的標準方程.19．（12分）已知公差不為零的等差數列中，，且，，成等比數列.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）若，求數列的前項和.20．（12分）某校在全體同學中隨機抽取了100名同學，進行體育鍛煉時間的專項調查．將調查數據按平均每天鍛煉時間的多少（單位：分鐘）分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天體育鍛煉時間不少于60分鐘的同學定義為鍛煉達標，平均每天體育鍛煉時間少于60分鐘的同學定義為鍛煉不達標（1）求a的值，并估計該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數；（2）在樣本中，對平均每天體育鍛煉時間不達標的同學，按分層抽樣的方法抽取6名同學了解不達標的原因，再從這6名同學中隨機抽取2名進行調研，求這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內的概率21．（12分）已知函數，（1）討論的單調性；（2）若時，對任意都有恒成立，求實數的最大值22．（10分）已知直線，圓.（1）求證：直線l恒過定點；（2）若直線l的傾斜角為，求直線l被圓C截得的弦長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由已知可設，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質，考查數形結合思想、轉化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數學素養2、A【解析】由已知得，因為，所以，故選A3、B【解析】根據題意得定點為拋物線的焦點，為準線，進而根據拋物線的定義判斷即可.【詳解】解：由題知，定點為拋物線的焦點，為準線，因為動圓的圓心在拋物線上，且恒過定點，所以根據拋物線的定義得動圓的圓心到直線的距離等于圓心到定點，即圓心到直線的距離等于動圓的半徑，所以動圓與直線相切.故選：B4、A【解析】根據兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經檢驗可知符合題意.故選：A5、C【解析】根據文化知識，分別求出相對應的頻率，即可判斷出結果【詳解】設“宮”的頻率為a，由題意經過一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經過一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經過一次“損”，可得“羽”頻率為a，最后“羽”經過一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數列，且公比為，故選：C【點睛】本題考查等比數列的定義，考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題6、A【解析】求出向量，的坐標，利用向量數量積坐標表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.7、A【解析】首先根據題意求出，然后設函數，利用以及的單調性，并結合對數運算即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，不妨設，()，故，從而，易知在上單調遞增，故，即，從而.故選：A.8、C【解析】設點，其中，，根據拋物線的定義求得點的坐標，即可求得直線的斜率，即可得解.【詳解】設點，其中，，則，可得，則，所以點，故，因此，直線的傾斜角為.故選：C.9、A【解析】根據給定條件求出，再求出圓O到直線l的距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心O，半徑，因，則，而，則，即是正三角形，點O到直線l的距離，因此，，解得，所以實數m等于.故選：A10、C【解析】求得直線普通方程以及圓的直角坐標方程，利用弦長公式即可求得結果.【詳解】因為直線的參數方程為：（t為參數），故其普通方程為，又，根據，故可得，其表示圓心為，半徑的圓，則圓心到直線的距離，則該直線截圓所得弦長為.故選：C.11、C【解析】由題意得，直線被圓截得的弦長等于半徑．圓的圓心坐標，設圓半徑為，圓心到直線的距離為，則由條件得，整理得所以，解得．選C12、D【解析】由向量線性運算得，利用數量積的定義和運算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】根據橢圓的定義、點到圓上距離的最小值，即可得到答案；【詳解】設為橢圓的左右焦點，則，等號成立，當共線，共線，的最小值為，故答案為：14、1【解析】先對函數求導，然后令可求出的值【詳解】因為，所以，則，解得故答案為：15、∪【解析】根據題意得出且與不共線，然后根據向量數量積的定義及向量共線的條件求出x的取值范圍.【詳解】∵與的夾角為鈍角，且與不共線，即，且，解得，且，∴x的取值范圍是∪.故答案為：∪.16、【解析】利用空間直角坐標系中兩點間的距離公式計算即得.【詳解】在空間直角坐標系中，因點，的坐標分別為，，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析，定點和.【解析】(1)根據給定條件設出圓心坐標，再結合點到直線距離公式計算作答.(2)設點，求出圓的方程，結合方程求出其定點.【小問1詳解】因圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，設圓心，且，圓心到直線的距離為，又由解得，從而，而，解得，所以圓M的方程為.【小問2詳解】由(1)知：，設點，，設動圓上任意一點當與點P，M都不重合時，，有，當與點P，M之一重合時，對應為零向量，也成立，，，，化簡得：，由，解得或，所以以MP為直徑的圓必過定點和.【點睛】方法點睛：待定系數法求圓的方程，由題設條件，列出等式，求出相關量．一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數，所以應該有三個獨立等式18、（1），（2）【解析】（1）根據已知條件建立關于a、b、c的方程組可解；（2）巧設與已知雙曲線同漸近線的雙曲線方程為可得.【小問1詳解】因為離心率，所以.又因為點在雙曲線C上，所以.聯立上述方程，解得，，即，.【小問2詳解】設所求雙曲線的方程為，由雙曲線經過點，得，即.所以雙曲線的方程為，其標準方程為.19、（1）（2）【解析】（Ⅰ）將數列中的項用和表示，根據等比數列的性質可得到關于的一元二次方程可求得的值，即可得到數列的通項公式；（Ⅱ）根據（Ⅰ）可求得的通項公式，用分組求和法可得其前項和.試題解析：（Ⅰ）設等差數列的公差為，因，且，，成等比數列，即，，成等比數列，所以有，即，解得或（舍去），所以，，數列的通項公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.點睛：本題主要考查了等差數列，等比數列的概念，以及數列的求和，屬于高考中常考知識點，難度不大；常見的數列求和的方法有公式法即等差等比數列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數列，裂項相消法類似于，錯位相減法類似于，其中為等差數列，為等比數列等.20、（1），中位數為64；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數a，根據中位數的性質，結合頻率直方圖求中位數.（2）首先由分層抽樣求6名同學的分布情況，再應用列舉法求概率.【詳解】（1）由題設，，可得，∴中位數應在之間，令中位數為，則，解得.∴該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數為64.（2）由題設，抽取6名同學中1名在，2名在，3名在，若1名在為，2名在為，3名在為，∴隨機抽取2名的可能情況有共15種，其中至少有一名在內的共12種，∴這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內的概率為.21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）利用導數與單調性的關系分類討論即得；（2）由題可得在上恒成立，構造函數，利用導數求函數的最值即可.【小問1詳解】的定義域為，且當時，顯然，在定義域上單調遞增；當時，令，得則有：極大值即在上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述，當時，在定義域上單調遞增；當時，在上單調遞增