第15講等比數列

第一關求某一項

【知識點】

等比數列是說如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數.這個常數叫做

等比數列的公比，公比通常用字母q表示(qWO),等比數列alWO

第n項：a=aqn-i(q^V)

n1

【例1】找規律，填數：1,2,4,8,,32,,

【答案】16,64,128

【例2】找規律，填數：,,9,27,81,

【答案】1,3,243,729

【例3】找規律，填數：4,,64,256,，

【答案】16,1024,4096

【例4】找規律，填數：i11

o24'麗

【答案】54得

11

【例5】找規律，填數：

125'625

【答深】石"‘適''商西'

【例6】一個等比數列的第3項和第4項分別是12和18,求它的第1項。

16

【答案】y

【例7】一個等比數列的第6項是右，公比是求它的第2項。

962

【答案】:

O

【例8】一個等比數列的第1項和第6項分別是64和2,求它“的第2項。

【答案】32

【例9]這家事務所的小春香有著一碰到水就會增殖的特性（一個小春香碰到水后就會以每秒鐘一個的

速度增殖出一個新的小春香），小春香的本體碰到水就會增值，她的增殖體，誕生出1秒鐘后，碰到

水也會開始增殖，現在把小春香扔到水池里，12秒后會有多少個小春香？

【答案】377

【例10]如果我們將正方形按如圖所示有規律地分割下去，到第11次分割時，這個“樓梯”級數等于

【例11】某集團炒股票，以每天增加一倍的速度欠銀行的資金.在第三天時欠資金1200萬，到第七天

時，欠銀行的資金多少萬？

【答案】19200

【例12】有一個七層塔，每一層所點燈的盞數都等于上一層的2倍，一共點了381盞燈.求頂層點了多

少盞燈？

【答案】3

【例13】有6個數排成一列，從第2個數起每個數都是前一個數的2倍，且這個數的和是78.75,求第2

個數.

【答案】2.5

【例14】“火樹銀花樓七層，層層紅燈加倍，共有紅燈三八一，試問四層幾紅燈？”

【答案】24

【例15】一個等比數列，第1項和第5項的和是164,第2項和第6項的和是492,那么第1項是多少？

【答案】2

【例16】一個等比數列，第2項和第5項的和是54,第3項和第7項的和是204,那么第1項是多少？

【答案】3

第二關求項數

【知識點】

【例17】有一個數列：1,2,4,……,1024,這個數列共有多少項？

【答案】11

【例18】某種細菌在培養過程中，每半小時分裂一次（由一個分裂成兩個）.若這種細菌由1個分裂成

16個，這個過程要經過多少小時？

【答案】2

【例19】第一次把一根一米長的木棒鋸成相等的兩段，第二次再把鋸成的兩段各鋸成相等的兩段.至少

經過幾次這樣的操作后，每段木棒的長度小于1厘米？

【答案】7

【例20】向電腦輸入漢字，每個頁面最多可輸入1677個五號字.現在頁面中有1個五號字，將它復制

后粘貼到該頁面，就得到2個字；再將這2個字復制后粘貼到該頁面，就得到4個字.每次復制和粘

貼為1次操作，要使整個頁面都排滿五號字，至少需要操作多少次？

【答案】11

【例21】黎明同學看一本書，如果他每天看的頁數比前天增加一倍，6天正好看完.已知這本書有126

頁，他第幾天看到24頁？

【答案】4

【例22】一只螞蟻“偵察兵”在洞外發現了食物，它立刻回到蟻穴通知同伴.假設一只螞蟻在一分鐘內

可以把信息傳達給4個同伴，那么，不超過多少分鐘,蟻穴里的全部2000只螞蟻都“知道了這個消息.（結

果取整數）？

【答案】5

【例23】小吉參加了一次數學測試.計分,規則是：每答對1題得5分，時間是1小時.她答對了所有她

回答的問題.如果她回答第一題用了1秒鐘，第二題用了2秒鐘，第三題用了4秒鐘…，如此下去，

每一題都用了前一題答題時間的2倍，則小吉得了多少分？

【答案】55

【例24】一個等比數列前三項的積為2,后三項的積為4,且所有項的積為64,則該數列有多少項？

【答案】12

【例25】一個等比數列的前三項的積為3.最后三項的積為9.且所有項的積為729.則該數列的項數

【答案】12

第三關求公比

【知識點】

、,a

公，比：q=-?-

a

n-l

【例26】一個等比數列，第1項和第5項的和是164,第2項和第6項的和是492,那么公比是多少？

【答案】3

【例27】一個等比數列，第2項和第5項的和是54,第3項和第7項的和是204,那么公比是多少？

【答案】2

【例28】一個等比數列，前三項和為7,積為8,求公比

【答案】2

41

【例29】一個等比數列，前三項和為1g，積為力，求公比

【答案】I

【例30]在等比數列的前3項之積為1,第4.項等于1/9,求它的公比。

【答案】首項為3,公比為1/3；或首項為-3,公比為-1/3

【例31]若等比數列｛an｝的前三項的和等于首項的3倍,則該等比數列的公比q是多少？

【答案】1或-2

【例32】如果每n件貨物為一扎，每n扎貨物為一包，每n包貨物為一捆，每n捆為一袋，每n袋貨物

為一箱，每n箱貨物裝一車.已知一車加一箱加一袋加一捆加一包加一扎加一件貨物共用137257件，

求n的值.

【答案】7

第四關求和

【知識點】

求和公式：S=[of（q力1）

n1-q

【例33】計算：6+12+24+48+96+192

【答案】378

【例34】計算：1+3+32+33+…+310。

3ioi-l

【答案】

2

【例35】計算:22003-22002-22001-…2-2

【答案】2

【例36】計算：1+J+J+...+焉

1023

【答案】1

1024

【例37】有七根竹竿排成一行，第一根竹竿長1米，其余每根的長都是前一根的一半.問：這七根竹竿

的總長是幾米？

【答案】二

【例38】把8個方格擺成一排，第一個方格內放1粒米，第二個方格內放2粒米，第三個方格內放4粒

米，…，每個方格內放米的粒數是它前一個方格內米粒數的2倍，依次進行，那么，這8個方格中所

有米的總和是多少粒？

【答案】255

【例39】一個人得到一個消息，他把這個消息告訴了別人.如果平均每個人每小時可以把這個消息告訴

給兩個認識的人，那么5小時后最多能有多少人知道這個消息？

【答案】243

【例40]科學家在培植一種細菌時，第一秒繁殖1個，第二秒繁殖2個，第三秒繁殖4個，第.四秒繁殖

8個.請同學們算一算，照這樣計算，15秒總共繁殖多少個細菌？

【答案】32767

【例41】一只小蜜蜂發現了一處蜜源，它立刻回巢招來10個同伴，可還是采不完.于是，每只蜜蜂回

去分頭各找來10只蜜蜂，大家再接著干，還是剩下很多蜜沒有采.于是，蜜蜂們又回去叫同伴，每

只蜜蜂又叫來10個同伴，但仍然采不完.蜜蜂們再回去，每只蜜蜂又叫來10個同伴.這一次，終于

把這一片蜜源采完了.你來算一算采這塊蜜源的蜜蜂一共有多少只？

【答案】14641

【例42】一只猴子發現了一片小桃林，它立刻回去叫來10個同伴，可還是摘不完，于是，每只猴子回

去分頭叫來10只猴子，還是摘不完，于是，猴子們又回去叫同伴，每只猴子又叫來10個同伴，這次，

終于將桃子摘完了.那么，摘桃子的猴子一共有多少只？

【答案】1J31

【例43】某珍寶旅游車司機分別到五間酒.店接旅客到香港迪斯尼樂園游玩，每間酒店都有旅客上車.很

奇怪，每間酒店上車人數都是前一間酒店上車人數的三分之一.問到達迪斯尼樂園時，旅游車上最少

有旅客多少位？

【答案】121

【例44】有一串自然數，后一個數是前一個數的2倍，其中最大的一個是128.這一串數的和最大是多

少？

【答案】255

【例45】我國古代的數學名著《九章算代》中有這樣一個問題，叫做“兩鼠對穿”.大意是：有一堵墻

厚5尺，兩只老鼠同時從墻的兩側相對挖過來，大老鼠第一天挖1