重難點突破06弦長問題及長度和、差、商、積問題

目錄

01方法技巧與總結...............................................................2

02題型歸納與總結...............................................................2

題型一：弦長問題...............................................................2

題型二：長度和問題.............................................................3

題型三：長度差問題.............................................................5

題型四：長度商問題.............................................................6

題型五：長度積問題.............................................................7

題型六：長度的范圍與最值問題...................................................8

題型七：長度的定值問題........................................................10

03過關測試....................................................................12

亡法牯自與.柒年

//\\

1、弦長公式的兩種形式

①若A,8是直線丫=丘+〃?與圓錐曲線的兩個交點，且由兩方程消去y后得到一元二次方程

px1+qx+r-Q,2

貝&+去2-%2|=7I+^.

②若A,B是直線％=◎+〃與圓錐曲線的兩個交點，且由兩方程消去％后得到一元二次方程

22

py+qy+r=0,1+m一力

?pi

題型一：弦長問題

2

【典例1-1】已知點耳、工分別橢圓,+>2=1的左、右焦點，過工作傾斜角為］的直線交橢圓于A、B

兩點，貝后玄A3的長為.

221

【典例1-2】已知橢圓C：「+與=1(4>6>0)的左、右焦點分別為B,尸2,離心率為工，橢圓C上點M

ab2

滿足I町|+L|=4.

(1)求橢圓C的標準方程：

(2)若過坐標原點。(0,0)的直線/交橢圓C于P,。兩點，求線段P。長為JIZ時直線/的方程.

【變式山(2。24.海南.模擬預測)已知雙曲線C:?3。，…)的實軸長為2后，點小倔

在雙曲線C上.

(1)求雙曲線c的標準方程；

(2)過點P且斜率為2#的直線與雙曲線C的另一個交點為。，求|P0.

【變式1-2］已知拋物線比爐=>0)的焦點為尸(0,2).

⑴求P;

(2)斜率為2的直線過點下，且與拋物線E交于A8兩點，求線段A5的長.

【變式1-3】已知動圓過定點(4,0),且在V軸上截得的弦長為8,動圓圓心的軌跡方程為C,已知點

廠(2,0),直線/過點下且與軌跡C交于尸、。兩點，且|尸。卜16,求直線/的方程.

題型二：長度和問題

【典例2-1】已知F為拋物線E:/=4y的焦點，過點(0,2)的直線/與拋物線E交于A,B兩點，拋

物線E在A3兩點處的切線交于點L.

(1)設尸(%,%)是拋物線E上一點，證明：拋物線E在點P處的切線方程為了=芳-%,并利用切線

方程求點L的縱坐標的值；

(2)點C為拋物線E上異于AB的點，過點C作拋物線E的切線，分別與線段AL,BL交于M,N.

⑴若LM=ALA,LN=pLB,求幾+〃的值；

(ii)證明：|網+|理+|卜。>|到+|月^+|印|

【典例2-2】(2024.高三.河北承德?開學考試)已知VA5c的內角A,3,C的對邊分別為瓦c,面積為

9A/3,c=6,且sinAsinB=sin2c.

(1)證明：VABC為等邊三角形;

(2)設54的延長線上一點D滿足A9=2,又平面內的動點?滿足NPBA=2/上鉆20),求

|邙+|￡叼的最小值.

22

【變式2-1](2024?寧夏銀川?銀川一中校考一模)如圖所示，由半橢圓￡:土+2=1(”0)和兩個半圓

4b

222

C2:(x+l)+y=l(y>0)>。3：(*—1)+'2=1(”0)組成曲線。：尸(蒼丁)=0,其中點4，&依次為G的左、

右頂點，點3為G的下頂點，點耳鳥依次為G的左、右焦點.若點耳耳分別為曲線。2?3的圓心.

⑴求G的方程；

(2)若過點用，E作兩條平行線k3分別與G,C2和G,C3交與M,N和尸,Q,求1MM+|尸。|的最小值.

【變式2-2](2024.河南安陽.安陽一中校聯考模擬預測)定義：一般地，當2>0且Xwl時，我們把方程

22222

?+方=彳(°>6>0)表示的橢圓《稱為橢圓下方=l(a>b>0)的相似橢圓.已知橢圓C:.+yZ=l,

橢圓C/(彳>0且2大1)是橢圓C的相似橢圓，點尸為橢圓C，上異于其左、右頂點M,N的任意一點.

(1)當4=2時，若與橢圓C有且只有一個公共點的直線4,4恰好相交于點尸，直線4,4的斜率分別為匕，用，

求左他的值;

(2)當；l=e2(e為橢圓C的離心率)時，設直線與橢圓C交于點A,8,直線PN與橢圓C交于點,

求|AB|+|DE|的值.

題型三：長度差問題

22

【典例3-1】(2024?河南新鄉?模擬預測)已知橢圓C：T+2=l(a>b>0)的左、右焦點分別為0B，且

ab

閨門|=2,過點F?作兩條直線乙，，直線4與C交于兩點，EA8的周長為4應.

(1)求C的方程；

(2)若0月42的面積為：，求《的方程；

(3)若乙與C交于兩點，且4的斜率是4的斜率的2倍，求知的最大值.

【典例3-2】已知拋物線C:;/=2px經過點(2,-2#),直線4：y=履+”?(初—0)與C交于A,8兩點(異

于坐標原點。).

(1)若0408=0,證明：直線4過定點.

(2)已知左=2,直線4在直線乙的右側，4與4之間的距離3=有，4交C于N兩點，試問是否

存在機，使得若存在，求加的值；若不存在，說明理由.

22

【變式3-1】已知拋物線G：y=4x的焦點為橢圓C2：3+2=1(。>匕>0)的右焦點八點尸為拋物線

ab

G與橢圓c?在第一象限的交點，且舊司=:

⑴求橢圓c2的方程；

(2)若直線/過點凡交拋物線G于A，c兩點，交橢圓C?于2,。兩點(A,B,C,。依次排序)，且

|AC|-|B￡>|=^,求直線/的方程.

題型四：長度商問題

【典例4-1】(2024.內蒙古赤峰.二模)已知點尸為圓。：(》-2)?+y=4上任意一點，A(-2,0),線段外的

垂直平分線交直線PC于點M,設點M的軌跡為曲線H

(1)求曲線〃的方程；

(2)若過點M的直線/與曲線H的兩條漸近線交于S,T兩點，且M為線段ST的中點.

⑴證明：直線/與曲線H有且僅有一個交點；

21

(ii)求加廣后引的取值范圍.

【典例4-2](2024.高三.山東德州.開學考試)已知雙曲線E焦點在x軸上，離心率為后，且過點(0,4b

直線4與雙曲線E交于兩點，4的斜率存在且不為0,直線4與雙曲線E交于尸，。兩點.

(1)若MN的中點為直線所,"N的斜率分別為《論,。為坐標原點，求

1\TP\TN

(2)若直線4與直線4的交點T在直線x=g上，且直線4與直線4的斜率和為0,證明：1^1=—.

【變式4-1】拋物線C的焦點F到準線/的距離為2.

(1)求拋物線的標準方程；

(2)過焦點尸的直線(斜率存在且不為0)交拋物線C于A8兩點，線段AB的中垂線交拋物線的對稱軸于

FP

點產，求

AB

【變式4-2](2024?湖北黃岡?模擬預測)在生活中，我們經常看到橢圓，比如放在太陽底下的籃球，在地

22

面上的影子就可能是一個橢圓.已知影子橢圓C:=+2=l(a>b>0),C的上頂點為4兩個焦點為月，

ab

F2,離心率為9.過目且垂直于AB的直線與c交于。，E兩點，|DE|=6,則3、+一月的最小值

是.

【變式4-3](2024?高三?河北?開學考試)已知橢圓E的焦點在x軸上，離心率為好，對稱軸為坐標軸，且

3

經過點(2后

⑴求橢圓E的方程；

CP

(2)若過尸(0,1)的直線交橢圓E于C、。兩點，求萬萬的取值范圍.

題型五：長度積問題

22

【典例5-1】(2024?高三?北京海淀?開學考試)已知橢圓(7言+/=1(""0)的右頂點為42,0),上頂點

為8(0,拘.

⑴求橢圓C的方程；

(2)橢圓C的左焦點為E點P為橢圓C上不同于頂點的一點，直線AP,b與y軸的交點分別為若

\OM\-\ON\=^,求點P的橫坐標.

【典例5-2】已知拋物線C:Y=2py(p>0),尸為C的焦點，過點尸的直線/與C交于H,/兩點，且在

/兩點處的切線交于點T,當/與丁軸垂直時，Im1=4.

⑴求C的方程；

(2)證明：|FZHFHHFT|2.

【變式5-1］（2024?高三?江西?開學考試）已知雙曲線C：?-1=l（a>0,b>0）其左、右焦點分別為耳，耳,

ab

若國用=12,點4到其漸近線的距離為4應.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）設過點B的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于A,B兩點,且|的|=|班若|伍|,|知，忸局成

等比數列，則稱該雙曲線為“黃金雙曲線”，判斷雙曲線C是否為“黃金雙曲線”，并說明理由.

【變式5-2］（2024?高三?陜西安康?開學考試）已知動圓的圓心在無軸上，且該動圓經過點

（T0）,（x,0）,（0,y）.

⑴求點（羽田的軌跡c的方程；

⑵設過點E（-I,o）的直線/交軌跡C于A8兩點，若A（X0,4）,G為軌跡C上位于點A3之間的一點，點G關

于x軸的對稱點為點。，過點B作交A。于點"，求|人〃卜|4。|的最大值.

22

【變式5-3］已知橢圓G樵+5=1（。>"。）的離心率為g且直線4：：+1被橢圓G截得的弦長為

幣.

⑴求橢圓G的方程；

（2）以橢圓C1的長軸為直徑作圓c”過直線小y=4上的動點”作圓C2的兩條切線，設切點為A3,若直

線A5與橢圓CI交于不同的兩點C,D,求的取值范圍.

題型六：長度的范圍與最值問題

22

【典例6-1］（2024.安徽.一模）已知雙曲線C：當=1（“>0,。>0）的離心率為2.且經過點（2,3）.

ab

（1）求c的方程;

（2）若直線/與C交于A,8兩點，且。4.08=0（點。為坐標原點），求|AB|的取值范圍.

22

【典例6-2】（2024?高三?廣東?開學考試）我們把各邊與橢圓E:二+2=1（。＞6＞0）的對稱軸垂直或平行的

ab

E的內接四邊形叫做E的內接矩形.如圖，已知四邊形PQRS是￡的一個邊長為1的內接正方形，PS,

QR分別與無軸交于片，F2,且耳，尸2為E的兩個焦點.

（1）求E的標準方程；

⑵設41=1,2,,100）是四邊形PQRS內部的100個不同的點，線段尸。，部與V軸分別交于E2,記

100

〃=￡同闔，其中4=1,2,證明：4，4中至少有一個小于25（1+,）.

Z=1

22

【變式6-1］（2024.高三.浙江.開學考試）在直角坐標系xOy中，過橢圓E:，+2=1（。＞6＞0）的右焦點的

ab

直線與E截得的線段長的取值范圍是［3,4］.

⑴求E的方程；

（2）已知曲線C:X"+y”=l（x,y,機＞0）的切線/被坐標軸所截的線段長為定值.

Ci）求/與C截得的線段長；

（ii）求/與E截得的線段長的取值范圍.

22

【變式6-2］（2024.高三.北京咱主招生）雙曲線：土—乙=1有一點。在雙曲線上，分別過尸點作漸近線

169

平行線交無軸于A，8,且A在靠近原點的一側，過A點作x軸垂線交以。8為直徑的圓于點C,求|OC|的

取值范圍.

22

【變式6-3](2024?新疆?二模)已知橢圓°：土+匕=l(a〉b〉0)的左焦點為尸，C上任意一點到廠的

/b2

距離的最大值和最小值之積為1,離心率為

3

(1)求°的方程；

⑵設過點的直線/與C交于M,N兩點,若動點P滿足PM=XA/R,PN=-九NR，動點。

在橢圓C上，求|PQ|的最小值.

題型七：長度的定值問題

【典例7-1】(2024?山東濟南?三模)如圖所示，拋物線y2=2px(0>0)的準線過點(-2,3),

(1)求拋物線的標準方程；

(2)若角。為銳角，以角。為傾斜角的直線經過拋物線的焦點產，且與拋物線交于4B兩點,作線段

的垂直平分線/交無軸于點尸，證明：1尸尸1-1"1??2?為定值，并求此定值.

22

【典例7-2】已知橢圓c：.+方=ig〉6〉o）的短軸長為2,上頂點為。為坐標原點，A,8為橢

圓C上不同的兩點，且當A,0,5三點共線時，直線的斜率之積為

4

（1）求橢圓C的方程；

（2）若△042的面積為1,求的值.

22

【變式7-1］（2024?高三.廣東?開學考試）設小鳥為橢圓C：a+}=l（穌6>0）的左、右焦點,點A

在橢圓C上，點A關于原點的對稱點為B,四邊形A耳3乙的面積為

⑴求橢圓C的方程；

11

（2）若過F2的直線/交橢圓C于兩點，求證：而對+同W為定值?

【變式7-2】已知橢圓。：3+==1（。>>>0）過點4一2,0）,且。=力.

ab

⑴求橢圓。的方程；

（2）設。為原點，過點C（l,0）的直線/與橢圓。交于P,。兩點，且直線/與x軸不重合，直線AP,AQ分

別與y軸交于N兩點.求證|OM|?|ON|為定值.

【變式7-3］（2024?重慶沙坪壩?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系尤0y中，雙曲線

22

￡-==1.>0,6>0）的上下焦點分別為耳（0,。），6（0,-。）.已知點卜，君）和（0,3）都在雙曲線上，其

中e為雙曲線的離心率.

(1)求雙曲線的方程；

(2)設A,B是雙曲線上位于》軸右方的兩點，且直線A片與直線8耳平行，與8耳交于點P.

⑴若|9|-忸閭=2,求直線A片的斜率；

(ii)求證：|尸國+|尸耳|是定值.

【變式7-4](2024?高三?湖北武漢.開學考試)己知橢圓C:「+/=1(。>6>0)的離心率《=岑，連接四個

頂點所得菱形的面積為4.斜率為左的直線交橢圓于A8兩點.

⑴求橢圓C的方程；

⑵若％=1,求的最大值；

(3)設。為坐標原點，若A8,。三點不共線，且0A03的斜率滿足心?無B=%2,求證：lOAf+IOBf為定

值.

力過關測試』

22

1已知斜率為2的直線/經過橢圓十土1的右焦點小與橢圓相交于仆兩點，求弦,的長?

22

2.(2024.安徽蚌埠?模擬預測)已知雙曲線E:鼻-2=1(。＞0,6＞0)的左頂點是4-1,0),一條漸近線的方

ab

程為y=x.

(1)求雙曲線E的離心率；

(2)設直線y=與雙曲線E交于點P,Q,求線段P。的長.

2

3.(2024?浙江.模擬預測)已知尸為雙曲線C：爐-當=1上一點，。為坐標原點，線段OP的垂直平分線

a

與雙曲線C相切.

⑴若點P是直線x=與圓f+y2=2的交點，求①

(2)求|OP|的取值范圍.

221

4.已知橢圓C：3+2=1(〃＞匕＞0)的離心率為T，點A,8在橢圓上運動.當直線過橢圓右焦點并

ab2

3

垂直于X軸時，△OAB的面積為5(。為坐標原點).

(1)求橢圓C的標準方程；

3

⑵延長。4到使得。河=3。4,且“8與橢圓C交于點Q,若直線08的斜率之積為-^，求

聯的值?

5.在平面直角坐標系中，動點M到。，。)的距離等于到直線％=-1的距離.

(1)求M的軌跡方程；

（2）尸為不在彳軸上的動點，過點P作（1）中M的軌跡的兩條切線，切點為A,B；直線與尸。垂直（。

為坐標原點），與無軸的交點為R,與P。的交點為。；

（i）求證：R是一個定點；

PQ

（ii）求親的最小值.

6.（2024?安徽?模擬預測）已知拋物線E：y2=2px（p>0）的焦點為F,過點F且互相垂直的兩條動直線分

別與E交于點A,B和點C,D,當|45|=|8|時，|蝴=8.

（1）求E的方程；

（2）設線段AB,C。的中點分別為M,N,若直線的斜率為正，且盟=g，求直線A8和CO的方程.

7.（2024.高三.廣東.開學考試）已知雙曲線「:與-t=l（a>0,b>0）的離心率為亞，焦距為2G.

ab-2

（1）求「的標準方程；

（2）若過點（0,一9作直線/分別交「的左、右兩支于A8兩點，交r的漸近線于c,。兩點，求儒的取值范

圍.

8.（2024?河南安陽?一模）如圖，已知直線/i：y=6x4：y=—瓜，M是平面內一個動點，MA/4且MA

與4相交于點A（A位于第一象限），MB//llt且MB與4相交于點8（B位于第四象限），若四邊形OAAffi

（。為原點）的面積為3.

2

⑴求動點M的軌跡C的方程；

(2)過點/(2,0)的直線/與C相交于P,。兩點，是否存在定直線八x=f,使以PQ為直徑的圓與直線”目

交于E,尸兩點，且篇為定值，若存在，求出/的方程，若不存在，請說明理由.

22

9.若點網2,@為雙曲線C*-*=l(a,b＞0)上一點，必=1,點A為雙曲線的右頂點，過點P作直線

/交雙曲線C于點Q,