山西省大同市2025屆高三上學期開學質量檢測聯考數學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知復數Z1=9,若復數Z2與Z1在復平面內對應的點關于原點對稱，則Z2=()

A.ITB.1+iC.-1—iD.—1+1

2.已知集合Z={x|x(2-x)>0],B=[x\y]x+1>1},則()

A.AnB=0B.XUB=RC.BQAD.A

3.已知向量a=(-1,%),b=(—%,2),若五與右方向相同，則久=()

A.0B.1C.A/2D.—V2

4.若cos^—a)=￥，則sin2a=()

1i?

A.-B.——C.-

5.已知雙曲線C:久2T=i(b>o)的一條漸近線與圓(萬一2)2+、2=4交于4B兩點，若網=孽，貝設的

昌心率為()

A.WB.手C.A/3D.在

6.已知函數/(無)=2sin(wc+$+t?>0)圖象的兩相鄰對稱軸之間的距離為全若存在卬%2e[0,^],

使得2/Qi)W/(冷)成立，貝股的最大值為()

A,-4B.-2C.4D.2

7.某商場舉辦購物抽獎活動，其中將抽到的各位數字之和為8的四位數稱為“幸運數”(如2024是“幸運

數”)，并獲得一定的獎品，則首位數字為2的“幸運數”共有()

A.32個B.28個C.27個D.24個

8.已知％1,第2是函數"%)=^ax2-2x+In%的兩個極值點，若不等式zn>+/(%2)+久1久2恒成立，則實

數血的取值范圍是()

A.(-3,+oo)B.[-2,+oo)C.(2,+oo)D.[e,+00)

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數/(%)=\loga(x+1)|(a>0,a91),則下列說法正確的是()

A./Q)的圖象恒過某個定點

B./(%)在(-L0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增

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C.f(x)圖象上存在兩個不同的點關于y軸對稱

D.若對任意久6[-1,2],/(x)<1恒成立，則實數a的取值范圍是(0,9U(3,+8)

10.記數列5｝的前n項和為Sn,若存在實數H,使得對任意的neN+，都有|Sn|<H,則稱數列｛an｝為“和

有界數列”.下列說法正確的是()

A.若｛斯｝是等差數列，且公差d=0,則｛斯｝是“和有界數列”.

B.若｛an｝是等差數列，且｛an｝是“和有界數列”，則公差d=0.

C.若｛an｝是等比數列,且公比⑷<1,則｛an｝是“和有界數列”.

D.若｛an｝是等比數列，且｛an｝是“和有界數列"，則｛an｝的公比⑷<1.

11.已知正方體2BCD-4中與。1的棱長為2,E,F分別是棱力的中點，動點P滿足Q=4荏+〃而，

其中兒〃G(0,1],則下列命題正確的是()

人.若4=2〃，則平面48』1平面DEF

B.若2=〃，貝UDiP與AG所成角的取值范圍為『,詈

C.若；1=〃—宏貝中小〃平面4停止

D.若4+〃=之則線段P尸長度的最小值為平

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.中國跳水隊素有“夢之隊”稱號，在剛剛結束的2024巴黎奧運會上，中國跳水隊取得了優異的成績淇

中單人跳水比賽的計分規則為：運動員做完一套入水動作后，由7位專業裁判進行打分，從打出的分數中

按照高低去掉前兩個和后兩個，剩余3個分數的總和再乘以這套動作的難度系數即為該運動員的最終得分.

若某位運動員在一輪比賽中入水動作的難度系數為3.2,7位裁判給他打出的分數分別為9.5、9.5、9、8、

9、9.5、8.5,則這7個數據的方差為,該運動員本輪比賽的得分為.

13.已知。10141)，20242)島(%3,%)是拋物線。丫2=2%上三個不同的點，它們的橫坐標X1，%2,久3成等差

數列，F是C的焦點，若儼29|=2,則以為的取值范圍是.

14.已知定義在(0,+8)的函數滿足對任意的正數X,y都有f(x)+f(y)=/(久y),若2熊)+得)=-2,則

/(2025)=.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知函數/'(X)=ax3+bx2-x(a,beR)的圖象在點(1)(1))處的切線方程為y+1=0.

(1)求函數/(%)的解析式;

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(2)若對于區間［—3,3］上任意兩個自變量的值小，久2,有If。。—〃>2)1Wc，求實數c的最小值.

16.(本小題12分)

已知"BC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中a=2,sinB+sinC=2sinA.

4

(1)右cos4=-,求△ABC的面積；

(2)若-ABC是銳角三角形，。為BC的中點，求2D長的取值范圍.

17.(本小題12分)

如圖，己知四棱錐P—4BCD中，AB//CD,AD=BC=1,CD=2AB=2也，AD1PC,PB1BC.

(1)證明：PB1CD；

⑵若四棱錐P-4BCD的體積為1,求直線PA與平面PCD所成角的正弦值.

18.(本小題12分)

2272

由半橢圓a+與=l(x20)與半橢圓叁■+方=l(xW0)合成的曲線稱作"果圓"，其中a2nb2+?2,

a>b>c>0.如圖，F,Fi，F2是相應橢圓的焦點，4，A和當，％分別是“果圓”與x,y軸的交點.

(1)若△尸％&是邊長為2的等邊三角形，求“果圓”的方程；

(2)若閡&吐出網，求:的取值范圍;

(3)連接“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦，是否存在斜率為定值k的“果圓”平行弦的中點軌

跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的k值；若不存在，說明理由.

19.(本小題12分)

某市教育局舉辦的校園足球比賽，其中小學生足球淘汰賽階段的比賽規則如下：①常規時間分上、下半

場，每個半場各30分鐘，在常規時間內進球多的一方獲得比賽的勝利并進入下一輪；②如果在常規時間內

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兩隊戰平，則雙方各派3名隊員進行3輪點球決戰，進球多的一方獲得比賽的勝利并進入下一輪；③如果點

球大戰依然戰平，則將進行抽簽決定哪支球隊進入下一輪，現有甲、乙兩隊進行淘汰賽階段的比賽.

(1)假設在常規時間內甲隊獲勝的概率為J，戰平的概率為占在點球大戰中甲隊獲勝以及戰平的概率均為

I;在抽簽環節，兩隊進入下一輪機會均等.已知在甲隊進入下一輪的條件下，求他們是通過抽簽進入下

一輪的概率；

(2)點球大戰中，當領先的一方提前獲得比賽的勝利，則剩下的隊員不再出場進行點球比賽(如甲方3：1領

先時，乙隊的最后一名隊員不必再出場比賽).假設甲隊每名隊員射進點球的概率均為|,乙隊每名隊員射進

點球的概率均為看點球大戰每一輪由甲隊先踢.

⑴記兩隊點球決戰一共出場的球員人數為X,求X的分布列與數學期望；

(ii)求甲隊在點球大戰中獲勝的概率.

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參考答案

l.A

2.D

3.C

4.B

5.D

6.C

7.B

8.B

9.ABD

10.BC

11.7IC

2

12.y；；；88

13.(-3,3)

14.4

15.解：⑴

???/(x)=3a/+26x—1,根據題意，得得);■即

［/(1)=013a+2b—1=0

a=-42

解得,33,故/(久)=-X3--X2-X.

b=——32

2

⑵

令/'(%)=2解得久=或汽=，

4x—3x—1=0,1—74

當久€(-3,—2乂1,3)時，f(%)>0；當久時，f'(x)<0,

故/(久)在(一,,1)為減函數，在(-3,-2(1,3)為增函數，

故f(久)max=max{/'(—1),/(3)}=max{||,當}=y,

/Wmin=min{f(l),/(-3))=min{一(，一引=-y->

因為對于區間［-3,3］上任意兩個自變量的值%i,X2，

都有1/(久1)一f(久2)|<l/WmaX-/(X)min|=66

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所以cN66,所以c的最小值為66.

16.解：(1)

因為sinB+sinC=2sin4由正弦定理可得b+c=2a,故b+c=4,

又4=按+c2—2bccosA=(b+c)2—=16—故be=孚

因為cosA=1,而4為三角形內角，故sinA=|,

所以S44BC=/csin4=1x|x^=l.

(2)

在△4BD中，liic2=^+AD2—axADcosZ.BDA；

在"CD中，由Z?2=—+4￡)2—0x4DCOSNC￡M；

4

而cosNCIM+cos^BDA=0,所以廿+c2=^+2AD2=2+2AD2,

故=爐+,-2=絲+(4”2_2=b2_4b+7=的一2)2+3,

,a2+Z?2>c24+匕2〉(4一瓦)2

2

而△ABC是銳角三角形，故爐+?2>(12即,b+(4-6)2>4,

c2+a2>b2[(4—Z))2+4>62

故l＜b吟

故2WAD?＜學即避＜4。（卑.

42

17.解：（1）證明：設。是CD的中點，連接08,由于〃。/MB=。。,

所以四邊形4B0D是平行四邊形，所以=0B=1,

由于。C=也BC=1,所以。B2+BC2=0C2,所以。81BC,

所以4D1BC,由于2D1PC,PCCiBC=C,PC,BCu平面PBC,

所以2。1平面PBC,由于PBu平面PBC,所以AD1PB,

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由于PB1BC,AD,BCu平面4BCD,且直線AD與直線BC相交，

所以PB_L平面ABCD,而CDu平面4BCD,故PB1CD.

(2)過4作4E1CD,垂足為E,過8作BF1CD,垂足為F,

則四邊形ZBFE是矩形，EF=AB=迎,DE=CF=#,

所以BF=AE=、口lT，

722

依題意UPTBCD=亞〉＜xPB=券=1,PB=2,

由于PB1平面ABCD,AB,BFu平面力BCD,所以PB1AB,PB1BF,

則B4BF,PB兩兩相互垂直，以B為原點建立如圖所示空間直角坐標系.

C

P(0,0,2)/(0,也0),C停一孝,0),喈,啜0),

PA=(0,也-2),麗=(￥，―孝,-2),而=住,￥，一2),

設平面PCD的法向量為五=(x,y,z),

n-~PC=^x-^y-2z=0一

則，一一52，故可設幾=(2",0,1),

n-PD=旺K+絲y-2z=0

22,

設直線P4與平面PCD所成角為仇貝Usin9=*：篇|=三宗=坐.

18.解：(1)由內?2|=2^^=2,|。尸|==避，a2=b2+c2,

解得匕=2,a=巾,

因此“果圓”的方程為亨+?=1(%>0),f+^=1(%<0)；

(2)因為MiAI>IB1&I，故a+c>2b,得上=F>26—a,

而(2力1>2b2>b2+c2=a2,即2b>a,

于是，a2—b2>4b2—4ah4-a2,-<7,

a5

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又a2=62+c2<2b2,貝葉>平，.4的取值范圍是(平,§；

Ct-乙Ct-乙J

(3)我們先證明一個結論：

若斜率為k的直線與橢圓7n%2+ny2=](7n>0,n>0,7n7m交于a,B兩點，則4、B中點在同一條直線.

證明：設3(%2,、2)，它們的中點為MQo,yo),

則m妊+nyj=1且m始+建禿=1,

從而根(就一蛀)+?1(胃一區)=0,故-久2)Oi+%2)+n(yi-y2)(yi+丫2)=。，

故mxo+nkyo=0,故/、B中點在直線mx+nky=0上.

對于“果園”的弦的中點，

若斜率k=0,則設直線y=t,

它與“果圓”的交點是(a(-c

弦的中點(叩)滿足卜

y=t

弦的中點軌跡方程是潑7+2=1，

而*a—c)—b=|(a-26-c)=|(^2+c2-2b-c)<|[(h+C)-2/J-C]<0,

即*a-c)Hb,所以，若“果圓”弦所在直線的斜率為0,則平行弦中點軌跡是橢圓，

若“果圓”弦的斜率上大0,則可平移過程總存在無數條斜率為k的直線與“果園”的左半橢圓相交，由前

述證明的結論，此時中點在直線上，

故平行弦中點軌跡不能總落在某個橢圓上.

綜上，斜率k=0時，“果圓”平行弦中點軌跡落在某個橢圓上；

斜率k力0時，“果圓”平行弦中點軌跡不能總落在某個橢圓上.

19.解:(1)

設為“甲進入下一輪”，B為“甲乙兩隊抽簽”，

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mx)=1+|x|+|x|x|=12+2+15P(^)=|x|x|=1